一个很难的不定方程证明题

任在深

[这个贴子最后由任在深在 2012/06/11 01:12pm 第 1 次编辑]

n=1
m=1?
     3ˆm=3
     3ˆm-1=1
     3ˆm-2=1/3
     3ˆm-3=1/9
                ?????????????????????
   显然题意不清！

谈谈看法

“方程都有整数解”应该是 n、m、k 都是整数。
   当 n=1、m=1时，方程：
   （2*1+1）3^1+3^0=2^k
   3*3+1=2^k
   10=2*5 ……？
   

0-1110

这个命题应该是错的：
命题：无论n为何数，总有m，使(2n+1)*3^m+3^(m-1)+…+1为2的k次方幂.
(2n+1)*3^m+3^(m-1)+…+1
=2n*3^m+3^m+3^(m-1)+…+1
=2n*3^m+(3*3^m-1)/2
=[(4n+3)*3^m-1]/2
即原命题等价于：
无论n为何数，总有m，使(4n+3)*3^m-1为2的k+1次方幂.
当然，
n=4，m=3，k=8
n=2*(4^a-1)/3， m=1，k=2a+2
是其解.

0-1110

反例n=1时就无解.
证：
(4n+3)*3^m-1=7*3^m-1
因
2^(3n)+1=8^n+1=(7+1)^n+1=2 mod(7)
2^(3n+1)+1=2*8^n+1=2*(7+1)^n+1=3 mod(7)
2^(3n+2)+1=4*8^n+1=4*(7+1)^n+1=5 mod(7)
即2^x+1恒非7的倍数
故7*3^m-1恒非2的方幂

技术员

下面引用由谈谈看法在 2012/06/11 01:34pm 发表的内容： “方程都有整数解”应该是 n、m、k 都是整数。
当 n=1、m=1时，方程：
（2*1+1）3^1+3^0=2^k
3*3+1=2^k
10=2*5 ……？

12楼，你把m加大点再试试。

大傻8888888

下面引用由技术员在 2012/06/11 00:49pm 发表的内容：
n=2时，5x3+1=16;  m=1,k=4，这是没错的。

n=2， m=1时
应该是
5x3+1+1=17
这是因为3的0次方等于1，3的负次方不符合题意就不考虑了。

技术员

下面引用由0-1110在 2012/06/11 04:36pm 发表的内容： 反例n=1时就无解.
证：
(4n+3)*3^m-1=7*3^m-1
因
2^(3n)+1=8^n+1=(7+1)^n+1=2 mod(7)
2^(3n+1)+1=2*8^n+1=2*(7+1)^n+1=3 mod(7)
2^(3n+2)+1=4*8^n+1=4*(7+1)^n+1=5 mod(7)
即2^x+1恒非7的　...

14楼，你说2^k+1除7不会是整数吗？有点看不懂你的证明。

技术员

下面引用由大傻8888888在 2012/06/11 09:07pm 发表的内容： n=2， m=1时
应该是
5x3+1+1=17
这是因为3的0次方等于1，3的负次方不符合题意就不考虑了。

m=1时 3^1=3, 3^0=1, m=1时，只有两项：5X3和1

任在深

不要乱争了！
     纯属问题的条件没说明白！
     1.定义域？
     2.值域？
     3.n=?,m=?,,,

大傻8888888

[这个贴子最后由大傻8888888在 2012/06/12 08:47am 第 1 次编辑]

下面引用由技术员在 2012/06/11 09:15pm 发表的内容：
m=1时
3^1=3,
3^0=1,
m=1时，只有两项：5X3和1

如果按楼主的说法m=1时，只有两项，那么楼主第一楼方程左边应该把+1去掉，因为无论m等于什么自然数，最后一项都是3的0次方等于1。