今天高考 江苏最后压轴试题和广东压轴试题

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2012/06/12 00:42pm 第 2 次编辑]

将楼主的题目改成下面这样，好做吗？

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2012/06/12 05:14pm 第 1 次编辑]


上面 11 楼修改后的问题，比起原题，难度是提高了还是降低了？

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2012/06/13 08:57am 第 2 次编辑]


对于 11 楼的问题，举一些例子看看吧：
[color=#DC143C]（1） a1=10，b1=2
a( 1 )= 10                            b( 1 )= 2
a( 2 )= 1.1766968108291               b( 2 )= .282842712474619
a( 3 )= 1.20601876154965              b( 3 )= .339934634239519
a( 4 )= 1.2337906661059               b( 4 )= .398617488706518
a( 5 )= 1.25900490076744              b( 5 )= .456909161508825
a( 6 )= 1.2811540165419               b( 6 )= .513236392157349
a( 7 )= 1.30015756204768              b( 7 )= .566540679044596
a( 8 )= 1.3162163082827               b( 8 )= .616240319887896
a( 9 )= 1.3296720786511               b( 9 )= .662121729219155
.....................................................
a( 99990 )= 1.4142135612417           b( 99990 )= 1.41410042856413
a( 99991 )= 1.41421356124172          b( 99991 )= 1.41410042969543
a( 99992 )= 1.41421356124174          b( 99992 )= 1.41410043082672
a( 99993 )= 1.41421356124177          b( 99993 )= 1.41410043195798
a( 99994 )= 1.41421356124179          b( 99994 )= 1.41410043308921
a( 99995 )= 1.41421356124181          b( 99995 )= 1.41410043422043
a( 99996 )= 1.41421356124184          b( 99996 )= 1.41410043535162
a( 99997 )= 1.41421356124186          b( 99997 )= 1.41410043648279
a( 99998 )= 1.41421356124188          b( 99998 )= 1.41410043761394
a( 99999 )= 1.4142135612419           b( 99999 )= 1.41410043874506
[color=#DC143C]（2） a1=0.5，b1=0.1
a( 1 )= .5                            b( 1 )= .1
a( 2 )= 1.1766968108291               b( 2 )= .282842712474619
a( 3 )= 1.20601876154965              b( 3 )= .339934634239519
a( 4 )= 1.2337906661059               b( 4 )= .398617488706518
a( 5 )= 1.25900490076744              b( 5 )= .456909161508825
a( 6 )= 1.2811540165419               b( 6 )= .513236392157349
a( 7 )= 1.30015756204768              b( 7 )= .566540679044596
a( 8 )= 1.3162163082827               b( 8 )= .616240319887896
a( 9 )= 1.3296720786511               b( 9 )= .662121729219155
.....................................................
a( 99990 )= 1.4142135612417           b( 99990 )= 1.41410042856413
a( 99991 )= 1.41421356124172          b( 99991 )= 1.41410042969543
a( 99992 )= 1.41421356124174          b( 99992 )= 1.41410043082672
a( 99993 )= 1.41421356124177          b( 99993 )= 1.41410043195798
a( 99994 )= 1.41421356124179          b( 99994 )= 1.41410043308921
a( 99995 )= 1.41421356124181          b( 99995 )= 1.41410043422043
a( 99996 )= 1.41421356124184          b( 99996 )= 1.41410043535162
a( 99997 )= 1.41421356124186          b( 99997 )= 1.41410043648279
a( 99998 )= 1.41421356124188          b( 99998 )= 1.41410043761394
a( 99999 )= 1.4142135612419           b( 99999 )= 1.41410043874506
[color=#DC143C]（3） a1=15，b1=0.25
a( 1 )= 15                            b( 1 )= 0.25
a( 2 )= 1.01652549237359              b( 2 )= 0.0235702260395516
a( 3 )= 1.02291210675787              b( 3 )= 0.032791438663776
a( 4 )= 1.03152705931722              b( 4 )= 0.0453353684853927
a( 5 )= 1.04294298295888              b( 5 )= 0.0621543491158263
a( 6 )= 1.0577185328035               b( 6 )= 0.0842802769818715
a( 7 )= 1.07626993245147              b( 7 )= 0.112686227055517
a( 8 )= 1.0986950461613               b( 8 )= 0.14806916535481
a( 9 )= 1.12460139658262              b( 9 )= 0.190591031192558
.....................................................
a( 99990 )= 1.4142135612415           b( 99990 )= 1.4141004186063
a( 99991 )= 1.41421356124152          b( 99991 )= 1.4141004197378
a( 99992 )= 1.41421356124155          b( 99992 )= 1.41410042086928
a( 99993 )= 1.41421356124157          b( 99993 )= 1.41410042200074
a( 99994 )= 1.41421356124159          b( 99994 )= 1.41410042313218
a( 99995 )= 1.41421356124161          b( 99995 )= 1.41410042426359
a( 99996 )= 1.41421356124164          b( 99996 )= 1.41410042539498
a( 99997 )= 1.41421356124166          b( 99997 )= 1.41410042652635
a( 99998 )= 1.41421356124168          b( 99998 )= 1.4141004276577
a( 99999 )= 1.4142135612417           b( 99999 )= 1.41410042878902
[color=#DC143C]（4） a1=√2，b1=√2
a( 1 )= 1.4142135623731               b( 1 )= 1.4142135623731
a( 2 )= 1.4142135623731               b( 2 )= 1.4142135623731
a( 3 )= 1.4142135623731               b( 3 )= 1.4142135623731
a( 4 )= 1.4142135623731               b( 4 )= 1.4142135623731
a( 5 )= 1.4142135623731               b( 5 )= 1.4142135623731
a( 6 )= 1.4142135623731               b( 6 )= 1.4142135623731
a( 7 )= 1.4142135623731               b( 7 )= 1.4142135623731
a( 8 )= 1.4142135623731               b( 8 )= 1.4142135623731
a( 9 )= 1.4142135623731               b( 9 )= 1.4142135623731
.....................................................
a( 99990 )= 1.4142135623731           b( 99990 )= 1.4142135623731
a( 99991 )= 1.4142135623731           b( 99991 )= 1.4142135623731
a( 99992 )= 1.4142135623731           b( 99992 )= 1.4142135623731
a( 99993 )= 1.4142135623731           b( 99993 )= 1.4142135623731
a( 99994 )= 1.4142135623731           b( 99994 )= 1.4142135623731
a( 99995 )= 1.4142135623731           b( 99995 )= 1.4142135623731
a( 99996 )= 1.4142135623731           b( 99996 )= 1.4142135623731
a( 99997 )= 1.4142135623731           b( 99997 )= 1.4142135623731
a( 99998 )= 1.4142135623731           b( 99998 )= 1.4142135623731
a( 99999 )= 1.4142135623731           b( 99999 )= 1.4142135623731

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2012/06/14 05:26am 第 1 次编辑]

看来，除了 a1、b1 外，{an} 和 {bn} 都是有上界并且是递增的，因此它们都有极限。极限就是那个上界“根号 2”。
证明有上界容易，但是如何证明除了 a1、b1 外，以后的数列是递增的？困惑中……

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/06/15 01:02am 第 1 次编辑]

下面引用由天山草在 2012/06/14 05:26am 发表的内容：
看来，除了 a1、b1 外，{an} 和 {bn} 都是有上界并且是递增的，因此它们都有极限。极限就是那个上界“根号 2”。
证明有上界容易，但是如何证明除了 a1、b1 外，以后的数列是递增的？困惑中……

下面是我对天山草在第 11 楼提出的问题的证明：

天山草

上面陆教授的证明很精巧。佩服！

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/06/15 06:40pm 第 1 次编辑]

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/06/16 07:52am 第 1 次编辑]

网友天山草指出：其实不用证明 {an} 单调增加，只需要从 {bn} 单调增加
且有上界，就可以推知 bn 的极限存在，从  bn 极限存在，就可以推知 an
的极限为 √2 ，再从 an 的极限为 √2 ，就可以推知 bn 的极限为 √2 。
下面是根据天山草意见修改后的证明，比原来更简洁了：