三类H—构形，三种不同解法，正确！ ——兼论张彧典先生的九大构形纯是凑合而成

雷明85639720

三类H—构形，三种不同解法，正确！
——兼论张彧典先生的九大构形纯是凑合而成
雷  明
（二○一七年十二月二十六日）

1、三类H—构形，三种解法：
我把BAB型的H—构形共分为三类：即第一类a类，图中有一条经过五边形B—A—B三个顶点的A—B环形链；第二类b类，图中有一条只经过五边形C—D两个顶点的C—D链；第三类c类，图中没有以上的任何一条环形链。这三类构形的解决办法也各不相同：a类，至少可以交换经过五边形C—D两个顶点的C—D链，就可使图变成K—构形；b类，至少可以交换经过五边形B—A—B三个顶点的环形A—B链，也可使图变成K—构形；c类，交换B—C链和B—D链中的任一条，都可使图变成可同时移去两个同色C或D的K—构形，或者变成一定可约的b类H—构形。
1、1  对张先生图7•3—9四个构形的变型：
张彧典先生，只看到了他对米勒图的连续逆时针颠倒所得到的各个图中都有环形的A—B链，但没有看到这些图虽是同一个图，但却不是相同的构形；虽然都有环形的A—B链，但各A—B链的实质却是不同的。盲目的认为交换了环形的A—B链外的C—D链都可以解决问题。从表面上看，交换的都是A—B环形链外的C—D链，但这是不同类型构形中的A—B链和C—D链。只要把图都转化成相同的构形后，就可以看出，交换的链实质上是不同的。如果只看有没有A—B环形链，只会交换环形的A—B链外的C—D链，那么把米勒图（如图1，a）中的颜色符号互换一下（如图1，b），图中也仍然还有环形的A—B链。这时，你该如何去着色呢，交换环形的A—B链外的C—D链还能解问题吗。请张先生试一试。

现在我们把张先生的这几个图变型如下：
1、1、1  张先生的图7•3—9（1）就是米勒图，是一个BAB型的H—构形，图中有一条环形的经过了五边形B—A—B三个顶点的A—B环形链（如图1，a），还有一条不经过五边形C—D两顶点的环形的C—D链。该图是一个a类H—构形，至少可以交换经过五边形C—D两个顶点的C—D链，才能使图变成K—构形而解决问题。米勒图就是这样解决问题的。在这里，图7•3—9（1）不需要变形，只需把其他图变成与其相同的BAB型的构形就可以了。
1、1、2  张先生的图7•3—9（2）是对图7•3—9（1）进行了一次逆时针颠倒所得的图，是一个DCD型的H—构形，图中有一条经过了五边形A—B两个顶点的A—B环形链，却没有环形的C—D链（如图2，a）；把图中颜色符号互换后，转化成了一个BAB型的H—构形（如图2，b），图中却只有一条经过了五边形C—D两个顶点的C—D环形链，而没有环形的A—B链。这是b类构形的特征，所以图2，b是一个b类的H—构形，至少可以交换经过五边形B—A—B三个顶点的A—B链，也才能使图变成K—构形而解决问题。赫渥特图就是这样解决问题的。


1、1、3  张先生的图7•3—9（3）是对图7•3—9（1）进行了两次逆时针颠倒所得的图，是一个ABA型的H—构形，图中有一条经过了五边形A—B—A三个顶点的A—B环形链（如图3，a），也有一条不经过五边形C—D两顶点的环形的C—D链；把图中颜色符号互换后，转化成了一个BAB型的H—构形（如图3，b），图中不但有一条经过了五边形B—A—B三个顶点的A—B环形链，也有一条不经过五边形C—D两顶点的环形的C—D链。这与米勒图有了共同的特征，所以图3，b也是一个a类的H—构形，也至少可以交换经过五边形C—D两个顶点的C—D链，也才能使图变成K—构形而解决问题。所以图3，b也才真正是米勒图的同胎组妹图（张彧典先生所说的那个所谓的米勒图的恋生组妹图是错误的。张先生的那个图是一个如图2，b和图4，b型的b类的H—构形，完全与米勒图没有共同的特征）。

1、1、4  张先生的图7•3—9（4）是对图7•3—9（1）进行了三次逆时针颠倒所得的图，是一个CDC型的H—构形，图中有一条经过了五边形A—B两个顶点的A—B环形链，却没有环形的C—D链（如图4，a）；把图中颜色符号互换后，转化成了一个BAB型的H—构形（如图4，b），图中也却只有一条经过了五边形C—D两个顶点的C—D环形链，而没有环形的A—B链，这也是b类构形的特征。所以图4，b也是一个b类的H—构形，也至少可以交换经过五边形B—A—B三个顶点的A—B链，也才能使图变成K—构形而解决问题。
1、1、5  再对米勒图进行第四次逆时针颠倒，所得的图本身就是一个BAB型的构形，不需要再进行互换颜色符号而转型了。图中有经过五边形B—A—B三个顶点的环形的A—B链，也有不经过五边形C—D两个顶点的环形的C—D链（如图5）。完全与米勒图的构形相同，也是一个a类的H—构形，与米勒图的解决办法也是完全相同的。也是至少可以交换经过五边形C—D两个顶点的C—D链，也才能使图变成K—构形而解决问题。

1、1、6  对米勒图一直逆时针方向颠倒下去，图总是在a类H—构形和b类H—构形间不停的转化，总是没完没了。若对米勒图按顺时针方向进行倒时，也会产生同样的现象。这一现象说明了属于a类H—构形的米勒图与b类的H—构形是可以相互转化的。
1、1、7  这样一分析，就能看出张先生的四个构形中都含有环形A—B链和交换环形的A—B链外的C—D链的笼统提法是不妥当的，仅管他都能够把各构形给予解决。但这些构形却是不同类型的构形，只有把他们变成同一种类型的构形时，才能看出张先生的提法是不妥的。其实张先生的Z—换色程序中已包含了解决a类构形和解决b类构形的两种不同的方法，而他却硬要不承认这一事实。有什么办法呢。
1、2        a类构形和b类的特征和解法：
1、2、1  a类构形的特征和解法如图6所示。图中有经过五边形B—A—B三个顶点的环形的A—B链（如图6，a），交换经过五边形C—D两个顶点的C—D链就可以解决问题（如图6，b）。当图是九点形时，就是张先生的Z1—构形（如图6，c）。


1、2、2  b类构形的特征和解法如图7所示。图中有经过五边形C—D两个顶点的环形的C—D链（如图7，a），交换经过五边形B—A—B三个顶点的A—B链就可以解决问题（如图7，b）。当图是九点形时，就是张先生的Z2—构形（如图7，c）。
1、3  c类构形的特征和解法：
以上就是a类构形和b类构形的特征和解法。下面再看c类构形的特征和解法：当图中既没有经过五边形B—A—B三个顶点的A—B环形链，又没有经过五边形C—D两个顶点的C—D环形链时，就是我说的c类H—构形（如图8）。这类构形，A—C链，A—D链，A—B链，C—D链都不能交换；而B—C链和B—D链又不能同时交换，那么就只有先交换其中的一个，使图转换构形类型了。由于图8中的两个图，只是左右的分布不同，其实质是同一类构形，所以我们在以下就只研究一个就可以了。


1、3、1  对图8，a先从顶点1交换B—D链，若不能生成从3B到5C的B—C链时（图9，a），再从顶点3交换B—C链，就可以同时移去两个同色B（如图9，b），共两次交换；若从从顶点1交换了B—D链后，可以生成从顶3到顶点5的B—C链时（如图10，a中的虚线所示），则是不可以同时移去两个同色B的。但是，现在转型后的图10，a，却是一个451—DCD型的、可以同时移去两个同色D的构形。先从顶点4交换D—A链（如图10，b），再从顶点1交换D—B链，就可移去两个同色D（如图10，c），共计三次交换；


1、3、2  若对图8，a先从顶点3交换B—C链时，则得到一个345—CDC型的、有A—B环形链的b类H—构形（图11，a）。交换五边形C—D—C三个顶点的C—D链，就可以使构形变成K—构形而可约（如图11，b），也是最多只用三次交换（实际上图11，b已经是一个K—构形了）。
1、3、3  若对图8，b先从顶点1交换B—D，图则转化成为一个b类H—构形，若对图8，b先从顶点3交换B—C，图则转化成为一个可以同时移去两个同色C的K—构形。正好与图8，a的转化相反。
1、3、4  张先生的第4到第7构形，除了先从顶点3进行B—C链的交换，再从顶点1进行B—D链的交换，可以同时移去两个同色B以外，还可以采用对c类构形的解决办法，也是最多只用三次交换就可以解决问题。
张先生的第八构形就是c类构形，就可用以上这种方法进行解决，从一个方向进行颠倒时，得到一个可以同时移去两个同色C或D的K—构形，而从另一个方向进行颠倒时，则可得到一个b类H—构形。
1、3、5  图8若是九点形时，就变成了张先生的构形1和构形3，是两个可以同时移去两个同色B的K—构形（如图12）。

2、各类构形的解法的证明：
2、1  有A—B环形链的构形通过断链交换可转化成K—构形的证明：因为在图13，a和图14，a中，连通的A—C链和A—D链至少有五边形的4D与5C两个顶点是直接相邻的，也是两连通链的终点顶点。所以，无论经过1B—2A—3B的A—B环形链是从哪个地方穿过A—C链和A—D链的， A—B环形链的某一侧至少是存在着4D与5C这两个顶的。交换4D与5C的C—D链，就可以使A—C链和A—D链两条连通链同时断开，使构形转化成K—构形。


2、2  有C—D环形链的构形通过断链交换可转化成K—构形的证明：因为在图13，b和图14，b中，连通的A—C链和A—D链至少有顶点2A和顶点8A是两条链的公共顶点（如果没有这两个公共顶点，图也就不可能再是H—构形了），所以，无论经过4D—5C的C—D环形链是从哪个地方穿过A—C链和A—D链的，C—D环形链的某一侧至少也是存在着2A这个顶点的。交换1B—2A—3B的A—B链，也就可以使A—C链和A—D链两条连通链同时断开，使构形转化成K—构形。

2、3  无环型链的H—构形可以转化成可以同时移去两个同色的K—构形的证明：为统一画图方法，把图14，c和图14，d变形成图15，a和图15，b的画法。对图15，a中的构形从1B施行了一次逆时针转型交换后得到图16，a，是一个451—DCD型的5—轮构形。图16，a中C—A链和C—B链的交叉顶点是6C（即图中加大的顶点），5—轮轮沿顶点中用了两次的颜色是D，从6C到4D有一条C—D链（即图中加粗的边链）；当从顶点4交换了D—A后，生成了从2A到4A的A—C连通链（如图16，b中加粗的边链），使得从顶点1D到3B不可能再有连通的D—B链，从而可以再从1D交换D—B，同时移去两个同色D。这就证明了图15，a的无环形链的H—构形是一定可以转化成为可以同时移去两个同色D的K—构形的。

对图15，b的构形从3B施行了一次顺时针转型交换后，得到的345—CDC型的5—轮构形，也有同样的结果，也是可以同时移去两个同色C的K—构形。

2、4  无环形链的H—构形可以转化成b类H—构形，再转化成坎泊的K—构形的证明：在图15，a（或图15，b）的构形中，有通过顶点2A—1B…8A—6C—2A（或2A—3B…8A—7D—2A）的、且有缺口是6C（或7D）的A—B圈（见图17中加粗的边链），当对图15，a从顶点3交换B—C（或对图15，b从顶点1交换B—D）时，顶点6C变成了6B（或顶点7D变成了7B），就形成了一条完整的环形的A—B圈（见图18中加粗的环形链），把C—D链分成了环内、环外互不连通的两部分，构形具有了b类构形的特点了。是一个345—CDC型（或451—DCD型）的分别有经过五边形A—B两个顶点的A—B环形链的b类H—构形，一定也是可以转化为K—构形的（其证明方法可见前面的2、2“有C—D环形链的构形通过断链交换可转化成K—构形的证明”。注意，这里图18中的环形A—B链相当于前面2、2证明中图13，b和图14，b中所说的C—D环形链）。

3、对称性：
这里研究的对称性主要是指H—构形中可交换的链的对称性。图有左右对称与不对称之分，同样的，构形中可交换的链也有对称与不对称之分。对称的图中可交换的链有对称的，也有不对称的。如图6，图7，图13，以及图14的a和b的对称图中，可交换的链A—B和C—D都是对称的。对称的米勒图中可交换的链A—B和C—D也都是对称的；而图8，图9，图10，图11，图12，以及图14的c和d的对称图中，可交换的链A—B和C—D都是不对称的。不对称的图中可交换的链有对称的，也有不对称的。如赫渥特图是一个不对称的图，但其中的可交换的链A—B和C—D却都是对称的分布在构形的对称轴的两边；又如张先生的第八构形是一个不对称的图，其中可交换的链A—B和C—D也是不对称的。
我们已经研究了可交换的链是环形的，且是以构形的对称轴对称分布的构形（如图14，a和b的a类和b类H—构形，以及赫渥特图和米勒图），以及可交换的链是直链（非环形的），且对于图的对称轴是不对称分布的构形（如图14，c和d的c类H—构形，以及张先生的第八构形等），都是可约的。现在要问，有没有图是对称的，可交换的链又不成环形，但又是对称的构形（或图）呢。回答是，一定有。如图19，图20和图21三个图就是这样的图，其可交换链A—B和C—D都是直链且是对称的。


图19是一个可同时移去两个同色B的K—构形，不是H—构形；图21就是那个美国人给出的图12的对偶图，也是一个可同时移去两个同色B的K—构形，不是H—构形。这两个图都不在我们这里研究的范围之内。图20也是那个美国人给出的图11的对偶图，是一个H—构形，它是不可同时移去两个同色B的。
对于图20，我们已在前几天所发表的《与张彧典先生共同讨论》一文（网址是：）和《四色猜测的再证明——回答张彧典先生提出的问题》一文（网址是：）中都进行了4—着色，证明该构形也是可约的。但这个构形在进行颠倒（转型交换）时，前两次交换均没有起到构形转型的作用，到了第三次交换才进行了转型，变成了b类H—构形，然后再解决b类的H—构形，又需要两次交换，总共交换了五次。比不对称的且是直链的c类构形解决问题时的正常交换次数多了两次，这两次正好是不起转型作用的两次交换（该图逆时针方向颠倒和顺时针方向颠倒的结果都是一样的，都需要五次交换，且前两次交换都是不起转型作用的交换）。
现在问题出来了，这个图的交换次数比不对称的且是直链的c类构形解决问题时的正常交换次数多了两次，且这两次正好是不起转型作用的两次交换。那么类似于图20的图在解决问题时，是不是都会有两次不起转型作用的交换呢。这个可不一定。但这个不起转型作用的交换次数有没有一个界呢。可以肯定的说，应该是有的。这个上界是可以证明的，且是有限的。
我们知道，一个5—轮的H—构形进行同方向的颠倒（转型交换），要彻底使图中各顶点（特别是5—轮的5个轮沿顶点）所着的颜色要返回到最初始的着色状态，图与最初始时又是相同的构形类型时，总共要颠倒（交换）20次。解决问题一定只会在这20次交换之内的，绝对不会在交换的次数大于20之后才得到解决。若超过了二十次，这个问题就不可能解决。这20次交换之内一定会有某次交换是起了转型作用的，事实也已证明了这一点，的确各类构形的交换次数是远小于20次的，只有一个图20交换的次数稍多一点，但也只有5次，仍远小于20次。所以这个不起转型作用的交换次数的上界就应是19－3＝16（其中的3就是起到了转型作用的那次交换，与解决b类构形的两次交换的总和）。这就是说，这种图在解决问题时，最多只需要交换19次，不起转型作用的交换最多只可能是16次。
可见这种构形也是可约的。但由于它与其他的可交换链的A—B和C—D都是直链且是不对称的构形的解决方法还是有所不同的，所以可以考虑把它是否也可以单独的列为一类的H—构形，愿意在这里与其他爱好者网进行商量。
4、三类H—构形，三种不同解法，正确！
我的H—构形集共三类构形，各有各自独特的解决办法。体现了我在对构形分类时提出的构形“结构不同，解法不同”的原则是正确的。对于H—构形，由四种颜色可能形成的六种色链中，A—C和A—D是连通链，不能交换；B—C和B—D又不能同时交换，可交换的就只有A—B和C—D，与B—C和B—D二者其中之一。就A—B和C—D而言，两链是相反的色链，是不可能相交的，所以只能考虑图中分别只有A—B环形链和C—D环形链的情况（在A—B成环形链时，可以交换C—D解决问题；在C—D成环形链时，可以交换A—B解决问题），以及A—B和C—D都不成环形链（这种情况，A—B和C—D也不能进行交换，只能考虑交换B—C和B—D的其中之一解决问题）的三种情况，除此再没有别的情况了。所以我们把H—构形化分为三类，由这三类构形构成的H—构形的不可免构形集是完备的。对于这三类H—构形，用各自已具备的独特的解决办法，也都能证明各类构形在对称与不对称的情况下都是可约的，这就能证明四色猜测是正确的。
5、张彧典先生的九大构形是硬凑合起来的：
从张先生的构形中可以看出，每个构形在最后解决问题时的倒数第三个图，都是一个可以同时移去两同色的K—构形（注意，这时图中仍然含有两条相交叉的连通链），仅管张先生没有移去第二个同色，而是移去了与第二个同色是对角的另外一种颜色，但这并不影响开始的构形是一个可以同时移去两个同色的构形的实质。比如，张先生的第一构形（也是倒数第三个图，图中有两条相交叉的连通链），本来就是一个可以同时移去两个同色B的K—构形，他第一次颠倒，移去了一个B，本来第二次颠倒时是可以再移去第二个B的，但他没有这样做，而是移去了第二个B的对角的颜色C（当然这种做法也是可以的，只要能空出一种颜色就可以了）。
又如张先生的第八个构形，当颠倒到第七次后（也就是倒数第三个图），就得到的是一个可以同时移去两个同色C的K—构形（如图22）。


图22交换两次关于C的链后，就可以同时移去两个同色C（如图23和图24），第一次交换是从最上面的C顶点交换C—B链，第二次交换是从右下角的C顶点交换C—A链，同时移去了两个C；而张先生在第二次交换时，是从左上角的A顶点交换A—C链的，而移去了A（如图25）。


其实，张先生的第一，第三，第四到第七，共五个构形，都是可以同时移去两个同色B的K—构形，根本就不是什么H—构形。这是因为张先生不承认这些构形是可以同时移去两个同色B的原因，因为张先生认为只要是有了两条相交叉的连通链A—C和A—D，就都是H—构形。就是因为这个原因，张先生才在已经是可以解决问题的K—构形的条件下，错误的认为仍然是H—构形而继续的进行了颠倒。张先生的九个构形中，只有第二构形是我说的b类H—构形，第八构形是我说的c类H—构形，第九构形是我说的a类H—构形，其他的都是K—构形。
张先生在对他的八个构形进行颠倒的过程中，各图都多次出现b类构形的情况，也有出现可以同时移去两个同色的K—构形的情况，本来是可以及时解决问题的，但张先生却没有抓住时机，硬使颠倒的次数多了一些。这是没有必要的。多进行的颠倒，完全是为了凑够他提出的八个构形，或者是为了满足他的八次交换大循环的数字上的要求。
请问张先生，你能证明任何构形都能在你的九次颠倒内得到解决吗，你的九大构形之外，就再没有别的构形不能用九次颠倒解决的吗。别人找不出反例来，就能说明你的理论是正确的吗。找不出反例，如果能说明你的理论正确，那么一个半世纪以来，也没有人能找出那一个平面图是不能4—着色的，难道这就能说明四色猜测是正确的吗。为什么现在大家还要花大的气力去研究四色问题呢。所有这些你都证明了吗，你能证明吗。不能证明，只能说明你的颠倒法是一种着色的方法而已，你并没有证明四色猜测就一定是正确的。你要明白着色不等于证明，会着色不等于能证明。
请问张先生，你能把你的各种色链的“不同数量组合”与“不同相交组合”，与你的九个构形对应起来吗，你能说出你的九个构形的主要区别在什么地方吗。张先生，你能解释你的“构形最小”，“解法相同”，后来又成了“构形最小，解法不同”的原则具体的含义是什么吗。
许多爱好者朋友都指出了你并没有证明你的构形集是完备的，他们说得都是对的。的确你是没有证明的。你能证明所有的任何构形都能用颠倒法解决吗。最多需要多少次颠倒呢。从米勒图的颠倒上就可以看出你这个颠倒法是不能解决问题的。一个米勒图就可以否定你的的颠倒法了，你不是也紧接着自已否定了自已吗。不过你的自我否定还不彻底，只是在一个还没有证明颠倒次数的上限是多少的情况下，又增加了一个什么Z—换色程序。你的Z—换色程序不是已经分别体现在我对a类构和对b类构形的解决方法上了吗。的确，形用你的颠倒法着色时，的确很简单，不需要对图的构形类型再进行分析的，也不需要多想，只要按一个方向不变的进行颠倒就行了，总有解决问题的时候。但要注意，该解决问题的时候，就得及时的解决，不要象你的第八构形那样，错过了多次解决的机会。这里就有一个问题需要提出来了，颠倒的次数总得要有一个上限呀，颠倒到什么时候才是个头呢。如果没有上限，不等于还是说明不了任何平面图着色时四种颜色就够用了嘛。
6、关于H—构形的定义：
H—构形中一定有相交叉的连通链A—C和A—D，但这并不是构成H—构形的充分条件，只能是必要条件。没有它，就不成其为H—构形；但有了它，也并不一定都是H—构形。有些图中虽然含有相交叉的连通链A—C和A—D，但却是可以同时移去两个同色B的。这是一种非常简单的坎泊交换。所以这些图不能称之为H—构形，而应仍然是K—构形。因为H—构形的图中含有相交叉的连通链A—C和A—D，两链都不能交换，A，C，D三种颜色都是不能空出的，又因为H—构形不能同时移去两个同色B，所以H—构形实际上是不能空出任何颜色给待着色顶点的图。这就是我对H—构形的新定义。这样，张先生的构形集中就只有第二构形，第八构形和第九构形是属于H—构形了，其他的构形都是K—构形。

雷  明
二○一七年十二月二十六日于长安

注：此文已于二○一七年十二月二十八日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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