为何向量的运算没有“除法”？

宇宙无理数

宇宙无理数 发表于 2021-11-10 08:12
指的是形式除法。只要这种形式除法可以把向量空间中的向量形式地转换成为对应数域的运算即可，前提是这个 ...

不是。
如果不了解群论，就很难深刻理解向量空间。简单说吧，一个系统的代数结构不能简单移植到另外一个系统中。用一句时髦的词汇来说就是：这是数学界的“常态”。

denglongshan

宇宙无理数 发表于 2021-11-12 12:03
不是。
如果不了解群论，就很难深刻理解向量空间。简单说吧，一个系统的代数结构不能简单移植到另外一个 ...

上楼老师：
       听不懂，你一会说无法定义，一会又说特殊情况可以定义。如果我们的概念有错，请指正。

       Cresson老师：
       你说：已经提过多次了，与这里向量的除法对应的是向量的共轭乘积，你还是没明白，向量的共轭乘积由内积和外积定义，这是比向量商更基础些的运算。

       是不明白，我的方法不用共轭乘积，所以向量商是独立的，你23页，可能漏写\(\overrightarrow{BA}=z\overrightarrow{BC}\)，下面的证明引用了你的结论，非常感谢。
     

  
    你原文中是这样说的：
    除法
    一般来讲, 两个向量直接乘积的几何意义是不明确的, 我们不对向量的直接乘积做定义，这也并不影响平面几何的研究。
    而对于任意非 0 向量 a, b, 它们之间的旋转缩放变换 z 是唯一的, 因此可以定义非 0 向量的向量除法：
     我理解向量商不与共轭乘积对应，正在学习这种方法。
     图中的方法不用共轭乘积，结论比对称，很好看。
   
     
   楼主老师为什么不发言
   

uk702

我个人理解，宇宙老师说的，向量商因为不是某种运算（乘法）的逆运算，所以不可以定义为除法。它虽然不可以作为一种“除法”，但无碍于将它本身定义为一种运算（新乘法），只是这种运算满足的“定律”太少，以致于难以成为代数学上的研究对象。

向量商不能成为代数学上的研究对象，也不妨它成为几何学上的研究对象，或许更准确地说，不妨它成为几何学上的一种有用工具。

elim

二维向量空间同构于复数域因而有除法。高维空间的非零向量全体不构成乘法群，因此没有除法。

玉树临风

你是来抬杠的吗

denglongshan

有价值的问题

denglongshan

elim 发表于 2021-11-16 08:42
二维向量空间同构于复数域因而有除法。高维空间的非零向量全体不构成乘法群，因此没有除法。

完全赞成

天山草

复平面上的两个向量 \(\overrightarrow {OA} \)、\(\overrightarrow {OB} \) 的和差积商，图示如下：



图中 \(\overrightarrow {OC} \) 是两个向量的和，\(\overrightarrow {OD} \) 是两个向量的差，

\(\overrightarrow {OE} \) 是两个向量的积，\(\overrightarrow {ON} \) 是两个向量的商。

上面这个图有问题吗？

其中向量的和差积三种运算为中学生所熟知。另外还有两个向量的【点积】和【叉积】，人们都认可，

因为它们都有重要的应用。至于向量商。看来只有找到了它的重要应用，才能被大众接受。

还有人提出了【共轭乘积】的概念。所以只要能找到这些新名词的用途，就可以无中生有。

denglongshan

几何代数入门(上）：从点积和叉积开始这种积有除法，但是没有看到解初等几何题的案例

elim

向量能不能定义除法，与向量空间的维度有关。在平面上，向量加法乘法与复数的相应运算同构，后者构成复数域，所以向量乘法有逆运算除法，对于3维欧氏空间，非零向量与自身的乘积为0向量，故非零向量的乘法不构成乘法群，所以没有作为乘法逆的除法。

对这件事情不要感情用事，有了平面向量的除法已经很好了么。不是数学界排斥新思想，有点抽象代数基础就知道这件事没有什么办法。