已知正方体顶点到一个平面的距离为 0,1,2,3,4,5,6,7 ，求正方体的边长

luyuanhong

下面引用由天山草在 2012/08/09 08:30pm 发表的内容：
有趣！十二面体和二十面体，同时满足那样的等差距离，也许是不可能的吧？

天山草的猜想很对，不可能找到这样的正十二面体或正二十面体。

APB先生

下面引用由天山草在 2012/08/09 08:30pm 发表的内容：
有趣！十二面体和二十面体，同时满足那样的等差距离，也许是不可能的吧？

非常感谢luyuanhong老师和天山草老师的关注和给出证明。说到正十二面体，使我想起一件往事：30年前我在新疆罗布泊地区工作时，曾捡到过一个直径约 40 mm 的正十二面体的石头，白色的，回到哈密大营房，放在图板上，一时没注意，不知就被谁偷走了；那是我一生中捡到的最好看的一个石头，至今不忘。

APB先生

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/08/11 11:11pm 第 1 次编辑]

APB先生

很好！谢谢！

luyuanhong

APB先生

对于每边有 3 个结点的正四面体做不到，那么对于每边有 n＞3 个结点的正四面体是否都做不到呢？
看了您画的图，使我认识到每边有 n 个结点的正四面体的结点总数为：1+（1+2）+（1+2+3)+……+（1+2+……+n）；却又想到如下问题：
（一）每边有 n 个结点的正四面体内共有多少个小正四面体？含 4 结点正四面体，10 结点正四面体，20 结点正四面体，……，1+（1+2）+（1+2+3)+……+（1+2+……+n）结点正四面体；也即将 n 个结点正四面体视为一个集合，它有多少个子集？
（二）每边有 n 个结点的正四面体内共有多少个正三角形？含边长为 1,2，……，n 的全部三角形的子集总数？
（三）每边有 n 个结点的正四面体内共有多少条边？含边长为 1,2，……，n。

luyuanhong

APB先生

很好！很美！在《数学手册》和《数学百科辞典》中只能查到三维Euclid空间的五种正多面体：1正四面体，2正八面体，3正二十面体，4正六面体，5正十二面体；它们的棱长都是 1 即每边的结点都为 2 ，而每边结点多于 2 的图一个也没有；您主楼图中用绿线画出的应是一种新型的正二十四面体或正二十四面胞腔吧？我从未见过；在四维Euclid空间的正多面体，在n 维Euclid空间的正多面体中都没有；书上只给出了以正多面体的每一面中心点为顶点的正多面体。
您从每边结点为 3 时就可画出正二十四面体或正二十四面胞腔；如果每边结点多于 3，应可以画出更多更复杂更深奥的新型多面体出来；如果用3D技术或用实体线条做出模型，一定很动人！真是问题越来越多越深奥了。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/08/12 06:23pm 第 1 次编辑]

下面引用由APB先生在 2012/08/12 07:11am 发表的内容：
对于每边有 3 个结点的正四面体做不到，那么对于每边有 n＞3 个结点的正四面体是否都做不到呢？
看了您画的图，使我认识到每边有 n 个结点的正四面体的结点总数为：1+（1+2）+（1+2+3)+……+（1+2+……+n）；却又想到如下问题：
（一）每边有 n 个结点的正四面体内共有多少个小正四面体？含 4 结点正四面体，10 结点正四面体，20 结点正四面体，……，1+（1+2）+（1+2+3)+……+（1+2+……+n）结点正四面体；也即将 n 个结点正四面体视为一个集合，它有多少个子集？
（二）每边有 n 个结点的正四面体内共有多少个正三角形？含边长为 1,2，……，n 的全部三角形的子集总数？
（三）每边有 n 个结点的正四面体内共有多少条边？含边长为 1,2，……，n。

可以算出，每边有 n 个结点的正四面体，共有 n(n+1)(n+2)/6 个结点。
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从每边有三个结点的正四面体图像可以看出，在这个正四面体的四个角上，各有
一个小正四面体。将这四个小正四面体削去，剩下部分是一个正八面体。这个
正八面体无法再剖分成若干个小正四面体。这说明：一个每边有 n 个结点的大
正四面体，不可能完全剖分成若干个小正四面体。所以，问一个每边有 n 个结点
的大正四面体由几个小正四面体组成的问题，是没有意义的。