[分享]——a、b、c还是整数，若a^2+b^2=c^2，求a+b与c同时为平方数的充要条件……

cwl

勾股函数的问题,是直角三角形各边的整数解问题,也即是以直角三角形斜边为半径画圆,在圆周X、Y轴座标上的值是整数的问题.勾股函数是直接将圆的半径作为函数的变量在圆周上与X、Y轴是整数的函数关系，对“勾三股四弦五”的问题建立了一个完整的函数理论.
三角函数是令圆的半径C等于1，X、Y轴的函数值是斜边和角度的函数关系,X、Y轴的值是小于或等于1.
定义[1]:  若素数p≡1    (mod 4)
则  p=x^2+y^2
在此我们令p^(1/2)为直角三角形的斜边,x、y为三角形的两直角边.则斜边与两直角边的三角函数关系为x=p^(1/2)*Cos(α),y=p^(1/2)*Sin(α),又由于x,y是整数,那么我们称x为股函数元,记为Cg(p);称y为勾函数元,记为Sg(p)；所以勾股函数和三角函数可直接变换.
引理1:  若素数p≡1  （mod 4）
则       p^2=(Cg(2*p))^2+(Sg(2*p))^2
这是一勾股函数关系式.我们称Cg(2*p)为股函数,称Sg(2*p)为勾函数.
证明:  根据定义  p=x^2+y^2,那么有
  p^2=(x^2+y^2)^2=x^2+2xy+y^2=(x^2-y^2)^2+(2*x*y)^2               
将  x= Cg(p),y= Sg(p)代入上式,得：
p^2=((Cg(p))^2-(Sg(p))^2)^2+(2*Sg(p)*Cg(p))^2
   =(Cg(2*p))^2+(Sg(2*p))^2
故得证.
例1:  设p=5≡1 （mod 4）,则5^2是勾股函数.
解:  5=1^2+2^2,5^2=(2^2-1^2)^2-(2*2*1)^2=3^2+4^2
故5^2符合“勾三股四弦五”的勾股函数关系.
在这里我们先了解自然数N=p1*p2*…*pm,其中p1、p2、…、pm各各互素,且各数仅被4整除余1,则p1、p2、…、pm都可表示为两个数的平方和,那么N的二次方都可以表示为勾股数.
定理1:  若素数 p1≡p2≡1  (mod 4)
则   (p1*p2)^2=(Cg2(p1±p2)Cg(p))^2)^2+(Sg2(p1±p2p))^2
证明:  因为 p1= Cg(p1)^2+ Sg(p1)^2,p2= Cg(p2)^2+ Sg(p2)^2
所以 p1*p2= (Cg(p1)^2+ Sg(p1)^2)(Cg(p2)^2+ Sg(p2)^2)
  =(Cg(p1)*Cg(p2)-Sg(p1)*Sg(p2))^2+(Sg(p1)*Cg(p2)+Cg(p1)*Sg(p2))^2
或   p1*p2=(Cg(p1)*Cg(p2)+Sg(p1)*Sg(p2))^2+(Sg(p1)*Cg(p2)-Cg(p1)*Sg(p2))^2
故   p1*p2=(Cg(p1±p2))^2+(Sg(p1±p2))^2
我们知道  ((Cg(p))^2+Sg(p)^2)^2=((Cg(p))^2-Sg(p)^2)*Cg(p))^2+(2*Sg(p)*Cg(p))^2
又因为   Cg(2*p)=(Cg(p))^2-Sg(p)^2,  Sg(2*p)=2*Sg(p)*Cg(p)
则     ((Cg(p))^2+Sg(p)^2)^2 =(Cg(2*p))^2+(Sg(2*p))^2
同理可得  (p1*p2)^2=(Cg(2*(p1±p2)))^2+(Sg(2*(p1±p2)))^2
故得证.

硬度

下面引用由任在深在 2012/09/18 02:22pm 发表的内容：
太厉害了！
实在是太厉害了！
负数都用上了？
-=-=-=-=- 以下内容由 任在深 在  时添加 -=-=-=-=-
...

哈哈，从帖子发出，只有LUYUANHONG老师给出了一个答案，而且是正确无疑的。
所以，LUYUANHONG 老师是值得我尊重的！
主任不能偏固执！不要忘记中国的阴阳学说！！不要忘记虚实！！
难道一个虚的三角形就不是三角形？？？！！

硬度

要是给出一个“实实在在”的整边三角形出来，至少需要3天时间，因为这个问题实在是太麻烦了！！！！！！！！

任在深

下面引用由硬度在 2012/09/18 03:22pm 发表的内容：
哈哈，从帖子发出，只有LUYUANHONG老师给出了一个答案，而且是正确无疑的。
所以，LUYUANHONG 老师是值得我尊重的！
主任不能偏固执！不要忘记中国的阴阳学说！！不要忘记虚实！！
难道一个虚的三角形就不是三角 ...

高哇！
    实在是高！！
    简直是高不可攀！！！
    你与里大梦相比是有过之而无不及！！！！
    如果是单纯的“玩”，你绝对正确！！！！！！
    如果从纯粹数学出发，从符合自然法则出发，你就是在亵渎数学！！！！！！
    那是你的自由！
    俺无话可说！
                  哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 任在深 在 时添加 -=-=-=-=-
A↔B↔A?!!!!!!!!!!!!!!!

任在深

计价：
     相当于尚九天一年所放的屁钱！很值钱啊！

任在深

  a=2MN
  b=M²-N²
  c=M²+N²
           看来已经成为“垃圾”？

任在深

知道素数，偶合数，奇合数都在第几象限吗？
陆教授是知道的！？

任在深

a²+b²=c²
a+b＞c ?
a+b＜c ?
a+b=c  ?
        你大概是走火入魔了？