求从 {1,2,…,9} 中取出 3 个不同数字组成的能被 3 整除的三位数的总和

wangyangkee

胡思乱想——修改
1，    11至99之间，共有99-11+1=89个数；
89个数中，3的倍数加1的数29个，3的倍数加2的数30个，3的倍数的数30个
2，,    89个数中，个位是0的数8个；此8个数中，3的倍数加1的数2个，3的倍数加2的数3个，3的倍数的数3个；
3，     89个数中，两位数相同的9个；此9个数中，3的倍数加1的数3个，3的倍数加2的数3个，3的倍数的数3个；
4，     由此，可知89个数中，用于符合题意的组合的数有89-8-9=72个；其中
3的倍数加1的数29-2-3=24个，
3的倍数加2的数30-3-3=24个，
3的倍数的数30-3-3=24个；
5，    用于百位上的1至9的9个数字，3、6、9只能与72个中的24个3的3的倍数的组合，这24个中，还得剔除与百位相同的个位、十位的数；
例如3，只能组合312、315、318、321、324、327、342、345、348、351、354、357、369、372、375、378、381、384、387、396，共20个；
再如6，只能组,612、615、618、621、624、627、639、642、645、648、651、654、657、672、675、678、681、684、687、693，共20个；
6，    用于百位上的1至9的9个数字，1、4、7只能与72个中的24个3的3的倍数加2数的组合，这24个中，还得剔除与百位相同的个位、十位的数；
例如1，只能组合123、126、129、134、137、143、146、149、152、155、158、164、167、173、176、179、182、185、194、197，共20个；
       由此可见，符合题意的组合共9的20倍，180个。
7，    请师长纠错，，，

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/11/07 11:38pm 第 4 次编辑]

从 {1,2,…,9} 中取出 3 个不同数字组成的能被 3 整除的三位数列举如下：
1 )   123       2 )   126       3 )   129       4 )   132       5 )   135      
6 )   138       7 )   147       8 )   153       9 )   156       10)   159      
11)   162       12)   165       13)   168       14)   174       15)   183      
16)   186       17)   189       18)   192       19)   195       20)   198      
21)   213       22)   216       23)   219       24)   231       25)   234      
26)   237       27)   243       28)   246       29)   249       30)   258      
31)   261       32)   264       33)   267       34)   273       35)   276      
36)   279       37)   285       38)   291       39)   294       40)   297      
41)   312       42)   315       43)   318       44)   321       45)   324      
46)   327       47)   342       48)   345       49)   348       50)   351      
51)   354       52)   357       53)   369       54)   372       55)   375      
56)   378       57)   381       58)   384       59)   387       60)   396      
61)   417       62)   423       63)   426       64)   429       65)   432      
66)   435       67)   438       68)   453       69)   456       70)   459      
71)   462       72)   465       73)   468       74)   471       75)   483      
76)   486       77)   489       78)   492       79)   495       80)   498      
81)   513       82)   516       83)   519       84)   528       85)   531      
86)   534       87)   537       88)   543       89)   546       90)   549      
91)   561       92)   564       93)   567       94)   573       95)   576      
96)   579       97)   582       98)   591       99)   594      100)   597      
101)   612      102)   615      103)   618      104)   621      105)   624      
106)   627      107)   639      108)   642      109)   645      110)   648      
111)   651      112)   654      113)   657      114)   672      115)   675      
116)   678      117)   681      118)   684      119)   687      120)   693      
121)   714      122)   723      123)   726      124)   729      125)   732      
126)   735      127)   738      128)   741      129)   753      130)   756      
131)   759      132)   762      133)   765      134)   768      135)   783      
136)   786      137)   789      138)   792      139)   795      140)   798      
141)   813      142)   816      143)   819      144)   825      145)   831      
146)   834      147)   837      148)   843      149)   846      150)   849      
151)   852      152)   861      153)   864      154)   867      155)   873      
156)   876      157)   879      158)   891      159)   894      160)   897      
161)   912      162)   915      163)   918      164)   921      165)   924      
166)   927      167)   936      168)   942      169)   945      170)   948      
171)   951      172)   954      173)   957      174)   963      175)   972      
176)   975      177)   978      178)   981      179)   984      180)   987      
这些三位数相加的总和为  99900 。

ysr

陆教授的方法是简捷的，180个数字是对的，数字总和不对下面是我算的：
1），从102---999，公差为3，总和165150，
2），最笨的法：
111---999，9个，公差111，和=111*9+36*111=4995，
120---990，30个，公差30，990-120=870=29*30，和=120*30+15*29*30=16650，
102---909，9个，102-201=-99，909-102=807=8*99+15，和=102*9+36*99+15=4497，
141---252---……---939，252-141=111，939-141=798=7*111+21，和=141*9+28*111+21=4398，
171---282---……---969，969-171=798=7*111+21，和=171*9+28*111+21=4668，
114---993，225-114=111，993-114=879=7*111+102，和=114*9+28*111+102=4236，
117---996，996-117=879=7*111+102，和=117*9+28*111+102=4263，
411---522---633---744---855---966---177---288---399，和=411*6+15*111+177*3+3*111=4131+864=4995，
711---822---933---144---255---366---477---588---699，和=711*3+3*111+144*6+15*111=2466+2529=4995，
108---906，906-108=798=99*8+6，和=108*9+36*99+6=4542，
105---903，903-105=798=8*99+6，和=105*9+36*99+6=4515，
个数=30+9*10=120，300-120=180，
上总和=62754，总和=165150-62754=102396，
3），简便的方法：
余数为000型的，共6个，3，6，9在各位置出现2次，（3+6+9）*2=18*2=36，
总和=3600+360+36=3996，
111型，1，4，7出现2次，12*2=24，
总和=2400+240+24=2664，
222型，2，5，8出现2次，15*2=30，
总和=3000+300+30=3330，
上共18个数字，
012性，27种组合，12……9，同1位置各出现3次，（1800+120+15）*3=1935*3=5805，
021新，27中，（1800+150+12）*3=1962*3=5886，
102新，27个，（1200+180+15）*3=1395*3=4185，
120心，27中，（1200+150+18）*3=1368*3=4104，
201新，27中，（1500+180+12）*3=1692*3=5076，
210新，27个，（1500+120+18）*3=1638*3=4914，
上总和=39960，
个数=27*6+18=162+18=180，
数字总和2次不同，大概错了，平均=71178，

ysr

教授对数的总和的计算看不懂，应该是对的！

awei

下面引用由ysr在 2012/11/08 10:32pm 发表的内容：
教授对数的总和的计算看不懂，应该是对的！

电脑验证总和99900是对的，陆老师做题仔细，俺们菜鸟不敢评论。

ysr

谢谢朋友的验证，教授的方法很好，简洁！

luyuanhong

下面引用由ysr在 2012/11/08 11:05pm 发表的内容：
谢谢朋友的验证，教授的方法很好，简洁！

有一个计算三位数总和的非常简便但不太严格的方法：
三位数的每一位数字都是从 {1,2,…,9} 中取出，取到各种数的可能性相同，
所以每一位数字的平均值是 5 ，三位数的平均值是 555 。由于共有 180 个
符合条件的三位数，所以三位数的总和为 555×180＝99900 。  

Ysu2008

[这个贴子最后由Ysu2008在 2012/11/09 02:13pm 第 1 次编辑]

ysr

楼上的方法是对的，还是有点麻烦！我的计算错在“012”---“210”型的数字，每个位置数字重复出现9次而不是3次，因为27个数字有3个位置，同1位置上的3种数字要出现9次，3*9=27，计算修改如下：
3），简便的方法：
余数为000型的，共6个，3，6，9在各位置出现2次，（3+6+9）*2=18*2=36，
总和=3600+360+36=3996，
111型，1，4，7出现2次，12*2=24，
总和=2400+240+24=2664，
222型，2，5，8出现2次，15*2=30，
总和=3000+300+30=3330，
上共18个数字，
012性，27种组合，12……9，同1位置各出现9次，（1800+120+15）*9=1935*9=17415，
021新，27中，（1800+150+12）*9=1962*9=17658，
102新，27个，（1200+180+15）*9=1395*9=12555，
120心，27中，（1200+150+18）*9=1368*9=12312，
201新，27中，（1500+180+12）*9=1692*9=15228，
210新，27个，（1500+120+18）*9=1638*9=14742，
上总和=9990+89910=99900，
个数=27*6+18=162+18=180，
这个还是繁琐！
教授的最简洁！