\(\huge^*\;\underset{n\to\infty}{\lim}(n+k)=\lim n\,(\forall k\in\mathbb{N})\)

elim

【定理】\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n+k)=\lim _{n\to\infty}n\,(\forall k\in\mathbb{N})\)
【证明】对\(n+k< \sup\mathbb{N}\,(n, k\in\mathbb{N})\) 关于\(n\)取极
\(\qquad\)限得 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n+k)\le\color{red}{\small\sup\mathbb{N}}=\lim_{n\to\infty}n\,(\forall k\in\mathbb{N}).\)
\(\qquad\)本定理由此得证.\(\small\qquad\square\)
【推论】\(\lim n\not\in\mathbb{N}\).
【证明】对\(v=\lim n\)有\(v=v+1.\)但自然数恒小
\(\qquad\)于其后继,  故\(v\)不是自然数.\(\small\qquad\square\)
【注记】在康托的序数理论中
\(\qquad\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n+k)=(\lim_{n\to\infty} n)+k\quad\)一般不成立．

春风晚霞

命题：皮亚诺公理对\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)依然成立。
        证明：因为在现行数学理论中只有形如\(j\cdot\omega\)\((j\in\mathbb{N})\)这样的数没有直接前趋(即极限序数)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)不是\(\omega\)的直接前趋，故此\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\ne\omega\),又因\(\omega\)的后继是\(\omega+1\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n+1\)\(\ne\omega+1\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n+1<\omega\)(实数三分律原理），所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\in\mathbb{N}\).所以皮亚诺公理对自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)成立.【证毕】。
        【推论】
①、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n+j\in\mathbb{N}\)
②、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\in\mathbb{N}\)
③、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\in\mathbb{N}\)
④、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\in\mathbb{N}\)
……

春风晚霞

      DeepSeek是公开的社会平台，谁都可以去平台发问，并且DeepSeek对\(ω=\mathbb{N}\)、\(\aleph_0=\mathbb{N}\)，……之类不伦不类的等式也有批判。你他妈的不信，亦可换个角度尽情试试！
      就\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是否属于\(\mathbb{N}\)，我与AI进行了交流。现将交流结果奉上：
【春风晚霞问】
        前面AI回答了根据北大周民强《实变函数论》P9页定义1.8算得Lim n属于N,是对的。现在又反复强lim n不属于N！到底lim n属不属于N？若lim n不属于N,那么lim(n-1)是不是也不属于N?lim(n-(n-k)）是不是也不属于N?是不是lim k也不属于N?,
【百度AI答】
        共参考18篇资料
        1. 极限集的定义与性质
        根据周民强《实变函数论》P9页定义1.8，集合列\(\{A_k\}\)的极限集N定义为：\(N=\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{1,2,3……，(n-1),n\}=\)\(\{1,2,3,，…，\displaystyle\lim_{n \to \infty}（n-1），\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}\)
        其中，A(k) = {1, 2, ..., k-1，k}。由于A(k)是单增集列，其极限集N为所有自然数的并集，即\(N=\mathbb{N}\)
        2. lim n是否属于N？
        lim n是自然数集N的极限点，根据实变函数论中聚点的定义，lim n属于N。因此，lim n ∈ \(\mathbb{N}\)。
        3. 对lim(n-1)和lim(n-(n-k))的影响
        若lim n ∈ N，根据极限集的性质，lim(n-1)和lim(n-(n-k))也属于N。因为自然数集的极限点集是其自身，这些极限点都是自然数的一部分。
        4. 对lim k的结论的影响
        lim k的结论不受影响，因为k是自然数，而自然数集N包含所有自然数，包括lim k
        5、总结
        (1) lim n属于N。
        (2) 若lim n属于N，则lim(n-1)和lim(n-(n-k))也属于N。
        (3) 这不影响lim k属于N的结论。

春风晚霞

        elim逾万个反人类数学的帖子都没弄清楚最小无穷数与最小无穷序数ω的关系。稍有数学常识的读者都知道，无穷（限)是相对有穷(限)而言的。因自然数集\(\mathbb{N}\)中没有最大自然数，故\(\mathbb{N}\)内外都不存在最小无穷自然数！在现行数学中ω是极限序数，也是最小超穷数。DeepSeek在任何时候都设有说过ω是最小无穷数这样狗屁不通的命题。DeepSeek最大的功能是检索大数据中各数学流派的资料，从而对各类数学用户给出满意或不满意的回答。如ω=N从遇辑角度看DeepSeek认为这是错误的。由于数和集合是不同范畴问概念，所以DeepSeek也认为只能数说N是序型集合，而不熊说ω=N！所以真正畜生不如的应是民科领袖elim！

春风晚霞

        不管你的定义在e氏数学中有多自洽，在现行数学体系中\(ω=\mathbb{N}\)都是不正确的！虽然在e氏数学中\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)但在现行数学中，若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}=\phi\)又是真命题。也就是说，在现行数学中目测法是正确的，你的臆测法是错误的。所以不管你的理论叫嚣得多兇，都不能否定\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！

春风晚霞

        不管你的定义在e氏数学中有多“自洽”，在现行数学体系中\(ω=\mathbb{N}\)都是错误的！虽然在e氏数学中\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，但在现行数学中若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}=\phi\)又是真命题。也就是说，在现行数学中目测法是唯一地把有操作方法推广应用到无穷的正确方法。如对你所给\(A_n=\{m∈\mathbb{N}:m>n\}\)\((n∈\mathbb{N})\)，\(N_∞=\displaystyle\bigcap_{n \in\mathbb{N}}A_n\)因集列\(\{A_n\}\)单调递减，根据北大周民强《实变函数论》定义1.8得：\(N_∞=\displaystyle\bigcap_{n \in\mathbb{N}}A_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{n+1，n+2，…\}\)\(≠\phi\).所以不管你叫嚣得多厉害，都不能否定\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！

春风晚霞

        不管你的定义在e氏数学中有多么“自洽”，在现行数学体系中\(ω=\mathbb{N}\)却是错误的！虽然在e氏数学中\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，但在现行数学中若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}=\phi\)又是真命题。也就是说，在现行数学中目测法是唯一地把有限操作方法推广应用到无穷的正确方法。如对你所给\(A_n=\{m∈\mathbb{N}:m>n\}\)\((n∈\mathbb{N})\)，\(N_∞=\displaystyle\bigcap_{n \in\mathbb{N}}A_n\)因集列\(\{A_n\}\)单调递减，根据北大周民强《实变函数论》定义1.8得：\(N_∞=\displaystyle\bigcap_{n \in\mathbb{N}}A_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{n+1，n+2，…\}\)\(≠\phi\).所以不管你叫嚣得多厉害，都不能否定\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！