[分享]概率怪论

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/06/26 02:24pm 发表的内容：
例如圆内的点的集合与圆内的弦的集合可以1-1对应：点对应与以其为中的的弦...

是的！圆内的点的集合与圆内的弦的集合也可以1-1对应，但点集的均匀性能否保证弦集的均匀性呢？这是一个疑问。
而“任意弦”似乎隐含着均匀性的因素。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/06/29 00:48pm 第 2 次编辑]

我在第 126 楼提出的 Bertrand 怪论的解法，有一个缺点：
取弦的方法与取到的弦不是 1-1 对应的，同一根弦，可以重复多次取到。
为了克服这一缺点，下面我提出另一种取弦的方法，可以保证 1-1 对应，
求出的概率也是 P=0.60899778… ：

天茂

我认为，对于“任作一弦”的设定，应该以保证在尽量多的区域上“取点均匀（即概率相等）”为准，当然，此区域取点均匀就可能意味着彼区域取点不均匀，但是，我们总不能故意将“取点不均匀”作为“任作一弦”的标准吧？
下面我们考察各种解题方案“取点均匀”（包括“取角均匀”）数量的多少：
解法一：“在圆周上任取两点作为弦的两个端点”等价于“弦的中点在半径上的概率密度与弦长成反比”，结果均为1/3，“取点均匀”（在圆周上均匀取点2次）的数量＝2；
解法二：“沿着圆的半径任取一点做为弦的中点”等价于“设
弦的中点在半径上的概率密度为常数1”，结果均为1/2，“取点均匀”（对半径的方向均匀取角1次，又在半径上均匀取点1次）的数量＝2；
解法三：“在圆的内部任取一点做为弦的中点”等价于“弦的中点在半径上的概率密度与中点到圆心的距离成正比”，结果均为1/4，“取点均匀”（在圆内均匀取点1次或对半径的方向均匀取角1次）的数量＝1；
解法四：“在圆周上和圆内各取一点作为弦的两个端点”等价于“弦的中点在半径上的概率密度与弦长成正比”，结果均为0.60899778……，“取点均匀”（在圆周上和圆内各均匀取点1次）的数量＝2；
解法五：“在圆内任取两点作为弦的两个端点”等价于“弦的中点在半径上的概率密度与弦长的三次方成正比”，结果均为0.74683000……，“取点均匀”（在圆内均匀取点2次）的数量＝2；
解法六：“弦的中点在半径上的概率密度与弦长的平方成正比”的结果为0.6875，“取点均匀”（对半径的方向均匀取角1次）的数量＝1；
当然，还可以有解法七（弦的中点在半径上的概率密度与弦长的任意次方成正比）、解法八（弦的中点在半径上的概率密度与弦长的任意次方成反比）……等等。
因为确定一条弦需要 2 个独立因素，因此，任何解法“取点均匀”的数量最大值为2。上述6种解法（取弦的方法与取到的弦都是1-1对应的，）中，只有解法二和解法六、七、八……“取点均匀”的数量＝1，其余四种的“取点均匀”的数量＝2。因此，其结果的“正确性”似乎也存在着一定的差别。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2011/06/30 07:40am 第 1 次编辑]

关于什么是弦分布的均匀性，我们来看一下这个图：

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/06/30 08:29am 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2011/06/29 06:34pm 发表的内容：
关于什么是弦分布的均匀性，我们来看一下这个图：
考虑大圆的弦被其内两个相等的小圆‘捕获’的条件。
当且仅当大圆的弦的中点在橙色区域中，它们会在红色小圆中；当且仅当大圆的弦的中点在天蓝色区域中，它们会 ...

“它们”指的是什么？是指大圆的弦吗？但是大圆的弦怎么可能落在小圆内呢？

elimqiu

下面引用由天茂在 2011/06/30 08:28am 发表的内容：

“它们”指的是什么？是指大圆的弦吗？但是大圆的弦怎么可能落在小圆内呢？

大圆的弦穿过小圆，就算被小圆捕获，部分地落在小圆中了（那部分成了小圆的弦）

wangyangkee

胡思乱想------
1，驴滚者wangyangkee受------不狗屎堆的------ elimqiu 老师的“小圆捕获”的启发，认为确切的符合主楼题意的答案只有一个，即：1/2；这个1/2，本人在前面已述及，是elimqiu 老师给出的两个反正弦函数之比的极限值；
2，为了避免重复计量或者已计量弦的被再次的捕获计量，采取一个有效办法，即：在无穷大的平面上，考虑一个无穷大的园；
3，在原园内，前面已论述，有各个不同取向的概率答案（1/4,1/2,1/3,0.6至0.8之间，，，）在0与1之间；
4，在大于原园的任何一个圆周上，思考过原园的弦，必然穷及所有的弦；此答案在1/3至1/2之间；我们把“大于原园的任何一个圆周”扩展到原园与无穷大半径的圆周之间；
5，在无穷大平面，可以将思考的圆周半径扩展到原无穷大半径的无穷高阶次无穷大半径，答案仍然是1/2；
6，在上述的无穷大半径的圆周上，在所有的点，进行这种概率思考，可以包络随机做弦的一切；答案只一个；问题明朗，，，，

尚九天

下面引用由wangyangkee在 2011/06/30 01:35pm 发表的内容：
:em05: 胡思乱想------
1，驴滚者wangyangkee受------不狗屎堆的------ elimqiu 老师的“小圆捕获”的启发，认为确切的符合主楼题意的答案只有一个，即：1/2；这个1/2，本人在前面已述及，是elimqiu 老师给出的两个反正 ...

:em05: wangyangkee学好了，虽然言辞不够优美，但毕竟说出正经话来。继续努力，发扬光大。

elimqiu

wangyangkee 的结论，对于195楼提议的弦分布均匀性准则而言是正确的。所以198楼不是无聊无干的翻滚，更不是驴滚。

elimqiu

我们还差不太多，便可以得出所论概率怪论的数学小结了。相应地也应该有哲学上的结论。