[原创]k生素数群的数量公式

yangchuanju

各生素数数量计算式的系数比对
跨距2-10的各生素数
网页《Prime Constellation》（网址：https://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html）中给出了2-4生素数的哈李常数，
每个哈李常数都由两部分构成，一个是从p=3，或p=5开始，直至无穷大的连乘积，一个是与k生素数相关的k有关联的分数。
孪生素数的哈李常数等于：2*∏p*(p-2)/(p-1)^2，连乘号的下界p≥3，上界正无穷大，数值等于2.660…；
跨距4的二生素数（p，p+4）的哈李常数与孪生素数的哈李常数完全相同；
跨距6的二生素数（p，p+6），包括相邻和非相邻的二生素数的哈李常数是孪生素数的哈李常数的2倍，计算式是4*∏p*(p-2)/(p-1)^2；
最密三生素数的哈李常数等于9/2*∏p^2*(p-3)/(p-1)^3，连乘号的下界p≥5，上界正无穷大，数值等于2.858…；
最密四生素数的哈李常数等于27/2*∏p^3*(p-4)/(p-1)^4，连乘号的下界p≥5，上界正无穷大，数值等于4.151…；

注意：上面各个计算式的分数系数：
对于二生素数当跨距等于2时是2，跨距等于4时还是2；跨距等于6时是4；
对于三生素数当跨距等于6时是9/2；
对于四生素数当跨距等于8时是27/2；跨距等于10时是27。
网页没有给出更多的常数构成。

结合上述网页中的《T1.txt.gz》常数表
预测跨距等于8的三生素数（包括相邻和非相邻的）哈李常数的分数部分仍然是9/2，计算式是9/2*∏p^2*(p-3)/(p-1)^3；
跨距等于8的二生素数（包括相邻和非相邻的）哈李常数的分数部分是2，计算式是2*∏p*(p-2)/(p-1)^2；
跨距等于10的三生素数（包括相邻和非相邻的）哈李常数的分数部分是27/4（9/2的1.5倍），计算式是27/4*∏p^2*(p-3)/(p-1)^3；
跨距等于10的二生素数（包括相邻和非相邻的）哈李常数的分数部分是8/3（2的1.333倍），计算式是8/3*∏p*(p-2)/(p-1)^2；

换一种写法，
相邻2的孪生素数数量公式为1.3203236…*∫1/ln(n)^2 dn = 2*0.6601618…*∫1/ln(n)^2 dn
相邻4的表兄弟生素数数量公式为1.3203236…*∫1/ln(n)^2 dn = 2*0.6601618…*∫1/ln(n)^2 dn

跨距6的二生素数（相邻和非相邻）的总数量公式为2*1.3203236…*∫1/ln(n)^2 dn = 4*0.6601618…*∫1/ln(n)^2 dn
跨距6的2种三生最密素数总数量公式为9*0.6351663…*∫1/ln(n)^3 dn = 2*2.858248596…*∫1/ln(n)^3 dn
相邻6的二生素数数量公式为2*1.3203236…*∫1/ln(n)^2 dn - 9*0.6351663…*∫1/ln(n)^3 dn
等于2.6406472…*∫1/ln(n)^2 dn - 2*2.8582486…*∫1/ln(n)^3 dn

相邻8的二生素数数量公式为1.3203236…*∫1/ln(n)^2 dn - 5.7164971…*∫1/ln(n)^3 dn + 4.1511808…*∫1/ln(n)^4 dn
等于2*0.6601618…*∫1/ln(n)^2 dn - 9*0.6351663…*∫1/ln(n)^3 dn + 27/2*0.3074948…*∫1/ln(n)^4 dn

相邻10的二生素数数量公式为1.7604315…*∫1/ln(n)^2 dn - 8.5747457…*∫1/ln(n)^3 dn + 8.3023617…*∫1/ln(n)^4 dn
等于3*0.66016…*∫1/ln(n)^2 dn - 27/2*0.6351663…*∫1/ln(n)^3 dn + 27*0.3074948…*∫1/ln(n)^4 dn

yangchuanju

跨距等于12-18的各生素数
对于跨距等于12的素数，最高生为5，连乘号应为∏p^4*(p-5)/(p-1)^5，下界p≥7，上界正无穷大，连乘积<0.4099151；
换成上述写法，相邻12的二生素数数量公式
为2.6406472…*∫1/ln(n)^2 dn - 20.0077401…*∫1/ln(n)^3 dn + 41.511808…*∫1/ln(n)^4 dn - 20.2635898…*∫1/ln(n)^5 dn
等于4*0.6601618…*∫1/ln(n)^2 dn - 63/2*0.6351663…*∫1/ln(n)^3 dn + 135*0.3074948…*∫1/ln(n)^4 dn - 49.5*0.4099151…*∫1/ln(n)^5 dn

对于跨距等于14的素数，最高生仍为5，连乘号应为∏p^4*(p-5)/(p-1)^5，下界p≥7，上界正无穷大，连乘积<0.4099151；
相邻14的二生素数数量公式
为1.5843883…*∫1/ln(n)^2 dn - 14.2912429…*∫1/ln(n)^3 dn + 38.7443547…*∫1/ln(n)^4 dn - 30.3953848…*∫1/ln(n)^5 dn
等于2.4*0.6601618…*∫1/ln(n)^2 dn - 45/2*0.6351663…*∫1/ln(n)^3 dn + 126*0.3074948…*∫1/ln(n)^4 dn - 74*0.4099151…*∫1/ln(n)^5 dn

对于跨距等于16的素数，最高生为6，连乘号应为∏p^5*(p-7)/(p-1)^6，下界p≥11，上界正无穷大，连乘积<0.1866419；
换成上述写法，相邻16的二生素数数量公式
为1.3203632…*∫1/ln(n)^2 dn - 14.2912429…*∫1/ln(n)^3 dn + 49.8141703…*∫1/ln(n)^4 dn - 60.7907697…*∫1/ln(n)^5 dn + 17.2988123...*∫1/ln(n)^6 dn
等于2*0.6601618…*∫1/ln(n)^2 dn - 45/2*0.6351663…*∫1/ln(n)^3 dn + 162*0.3074948…*∫1/ln(n)^4 dn - 148*0.4099151…*∫1/ln(n)^5 dn + 92.5*0.18664178…*∫1/ln(n)^6 dn

对于跨距等于18的素数，最高生仍为6，连乘号应为∏p^5*(p-7)/(p-1)^6，下界p≥11，上界正无穷大，连乘积<0.1866419；
相邻16的二生素数数量公式
为2.6406472…*∫1/ln(n)^2 dn - 32.8698588…*∫1/ln(n)^3 dn + 138.372695…*∫1/ln(n)^4 dn - 222.899488…*∫1/ln(n)^5 dn + 103.791673...*∫1/ln(n)^6 dn
等于4*0.6601618…*∫1/ln(n)^2 dn - 207/4*0.6351663…*∫1/ln(n)^3 dn + 450*0.3074948…*∫1/ln(n)^4 dn - 544*0.4099151…*∫1/ln(n)^5 dn + 556*0.18664178…*∫1/ln(n)^6 dn

yangchuanju

跨距2-18各生素数（相邻及非相邻）总系数汇总       
跨距        2次        3次        4次        5次        6次
2        2        ——        ——        ——        ——
4        2        ——        ——        ——        ——
6        4        9—        ——        ——        ——
8        2        9—        13.5        ——        ——
10        3        13.5        27        ——        ——
12        4        31.5        135        49.5        ——
14        2.4        22.5        126        74        ——
16        2        22.5        162        148        92.5
18        4        51.75        450        554        556

与白新岭二生相邻素数（P，P+18）的数量公式的系数进行比对：
白公式：2*1.32032372118072*∫1/ln(n)^2*dn - 23/2*2.85824917688516*∫1/ln(n)^3*dn + 100/3*4.15118255134627*∫1/ln(n)^4*dn - 22*10.1318018169296*∫1/ln(n)^5*dn + 6*17.2986298980835*∫1/ln(n)^6*dn
次数————        2————        3————        4————        5————        6————
连乘积———        0.6601618        0.635166        0.307495        0.409915        0.186642
系数1———        4————        51.75——        450——        544——        556——
连乘积*系数1        2.6406473        32.86986        138.3727        222.9938        103.7728
白系数2——        1.3203237        2.858249        4.151183        10.1318        17.29863
白系数1——        2————        11.5——        33.333        22———        6————
白2系数积—        2.6406474        32.86987        138.3714        222.8996        103.7918
二乘积比——        0.9999999        1————        1.00001        1.000423        0.999817
白系数2/连乘积        2.0000001        4.500001        13.50001        24.71683        92.68359
附注：表中的“——”仅起占位作用，使表格版面整齐一点。

白新岭

对于二生相邻素数（P，P+8）的（具体）数量我们可以先用程序获得一般二生素数（P，P+8），然后在它的基础上判断一般三生素数（两个位置，一个是P+2，另一个位置是P+6），继续在三生的基础上判断4生的，有了这些数据就可以获得二生相邻素数（P，P+8）的数量。这么统计的好处，是可以解决容量不足，文件太大这个弊端。先制作素数表可以一劳永逸，可是现在的软件，硬件不过关，无法完成。而这种方法虽然暂时避开了这弊端，但是不能重复利用，每次想要数据，就得重打锣鼓另开张，比较费时费力。虽然各有利弊，无奈第一种办法不现实。只能采取第二种处理问题的办法。

cz1

最小三位数，

白新岭

截止2021年6月1日星期二四月廿一 21：53分，浏览量33968人次，回复2399，热度99°。
截止2021年6月2日星期三四月廿二 09：54分，浏览量34138人次，回复2407，热度100°。
                                                                        浏览量 ↑ 170人次， 回复 ↑  8，热度↑ 1°
这半日浏览量猛增。突破百度（一语双关）大关有望了。

白新岭

yangchuanju 发表于 2021-6-1 23:10
跨距2-18各生素数（相邻及非相邻）总系数汇总       
跨距        2次        3次        4次        5次        6次
2        2        ——        ——        ——        ——

http://www.mathchina.com/bbs/for ... 7&fromuid=37263
这是计算数学中的蔡家雄先生的帖子，在这个网站上这个帖子的热度最高137°（我所知道，了解的）。
我的应该是2020年下半年的事情（有了热度标识，从50°开始，有火字标识），只要把鼠标移动到它附近，就可以显示出来。

兼听明偏听暗

你的这种情况仅仅说明了n以内的2奇素数之和只能落到2n以内的偶数上。并不能从一个偶数有解推出下一个偶数也有解。
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楼主，你是不是把概念理解错了？“n以内的2奇素数之和”这话从何而来？

白新岭

截止2021年6月1日星期二四月廿一 21：53分，浏览量33968人次，回复2399，热度99°。
截止2021年6月2日星期三四月廿二 21：27分，浏览量34264人次，回复2413，热度100°。
                                                                        浏览量 ↑ 296人次， 回复 ↑14，热度↑ 1°
如果一整天，浏览量300或许也能上。
晚安！

白新岭

白新岭 发表于 2021-6-2 21:29
截止2021年6月1日星期二四月廿一 21：53分，浏览量33968人次，回复2399，热度99°。
截止2021年6月2日星期 ...

在所有板块带有“火”字标识的帖子，这个子板块是最多，至少在一打以上（12个帖子以上），浏览量及热度属蔡家雄先生的多（浏览量大概34700多，热度137°）。本帖浏览量占据前三。