[原创]k生素数群的数量公式

蔡家雄

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白新岭

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这两天几乎每天热度上升1°，成了三连涨了。

yangchuanju

以上已经理清了跨距18以内各生素数数量的关系 ，下面给出跨距30的2-9生素数数量相关计算表，并与实际数据进行了比对。

跨距30的2-9生素数数量表1               
生数        2-9生        3-9生        4-9生        5-9生
————        <2>        <3>        <4>        <5>
总系数K        3.520863        86.247651        855.67039        4408.1751
计算式        K2*x/lnx^2        K3*x/lnx^3        K4*x/lnx^4        K5*x/lnx^5
100        17        88        190        213
1000        74        262        376        280
10000        415        1104        1189        665
100000        2656        5652        4870        2179
1000000        18447        32707        23488        8758
10000000        135526        205971        126780        40522
1E+08        1037619        1379845        743163        207841
1E+09        8198469        9691091        4639527        1153368
1E+10        66407595        70648055        30439937        6810522
1E+11        548823098        530789296        207908866        42287983
1E+12        4.612E+09        4.088E+09        1.468E+09        273699602
1E+13        3.929E+10        3.216E+10        1.066E+10        1.834E+09
1E+14        3.388E+11        2.575E+11        7.924E+10        1.266E+10
1E+15        2.951E+12        2.093E+12        6.013E+11        8.969E+10
1E+16        2.594E+13        1.725E+13        4.645E+12        6.495E+11
1E+17        2.298E+14        1.438E+14        3.645E+13        4.797E+12
1E+18        2.05E+15        1.211E+15        2.9E+14        3.604E+13
表1（续）
生数        6-9生        7-9生        8-9生        9生
————        <6>        <7>        <8>        <9>
总系数K        12541.99        19272.48        14320.377        3780.3862
计算式        K6*x/lnx^6        K7*x/lnx^7        K8*x/lnx^8        K9*x/lnx^9
100        131        43        7        0
1000        115        25        3        0
10000        205        34        3        0
100000        539        71        5        0
1000000        1804        200        11        0
10000000        7153        681        31        1
1E+08        32102        2677        108        2
1E+09        158350        11741        421        5
1E+10        841535        56160        1812        21
1E+11        4750246        288190        8454        88
1E+12        28182842        1567325        42148        403
1E+13        1.74E+08        8950027        222168        1959
1E+14        1.12E+09        53275999        1228018        10056
1E+15        7.39E+09        3.29E+08        7071294        54047
1E+16        5.02E+10        2.09E+09        42195786        302354
1E+17        3.49E+11        1.37E+10        259799057        1752083

yangchuanju

跨距30的2-9生素数数量表2               
生数        相邻2生        相邻3生        相邻4生        相邻5生
————        <2-3>        <3-4>        <4-5>        <5-6>
100        ——        ——        ——        82
1000        ——        ——        96        165
10000        ——        ——        524        460
100000        ——        782        2691        1640
1000000        ——        9219        14730        6954
10000000        ——        79191        86258        33369
100000000        ——        636682        535322        175739
1E+09        ——        5051564        3486159        995018
1E+10        ——        40208118        23629415        5968987
1E+11        18033802        322880430        165620883        37537737
1E+12        523209409        2.62E+09        1.194E+09        245516760
1E+13        7.138E+09        2.15E+10        8.824E+09        1.66E+09
1E+14        8.135E+10        1.782E+11        6.657E+10        1.155E+10
1E+15        8.582E+11        1.492E+12        5.116E+11        8.23E+10
1E+16        8.692E+12        1.26E+13        3.995E+12        5.993E+11
1E+17        8.599E+13        1.074E+14        3.165E+13        4.448E+12
1E+18        8.382E+14        9.214E+14        2.539E+14        3.357E+13

生数        相邻6生        相邻7生        相邻8生        最密9生
————        <6-7>        <7-8>        <8-9>        <9>
100        88        36        7        0
1000        90        22        3        0
10000        171        31        3        0
100000        468        66        5        0
1000000        1604        189        11        0
10000000        6472        650        30        1
100000000        29425        2569        106        2
1E+09        146609        11320        416        5
1E+10        785375        54348        1791        21
1E+11        4462056        279736        8366        88
1E+12        26615517        1525177        41745        403
1E+13        165396034        8727859        220209        1959
1E+14        1.064E+09        52047981        1217962        10056
1E+15        7.059E+09        321620636        7017247        54047
1E+16        4.807E+10        2.05E+09        41893432        302354
1E+17        3.35E+11        1.343E+10        258046974        1752083
1E+18        2.382E+12        9.009E+10        1.634E+09        10474720

yangchuanju

经查对，白新岭计算的6倍最密9生素数数量和杨计算的4中最密9生素数数量及比值如下：
10的n次幂        白计算值        杨计算值        杨：白        杨：(白/6*4)
2         0        0        ——        ——
3         0        0        ——        ——
4         0        0        ——        ——
5         0        0        ——        ——
6         0        0        ——        ——
7         1        1        1        1.5
8         3        2        0.666666667        1
9         10        5        0.5        0.75
10         36        21        0.583333333        0.875
11         143        88        0.615384615        0.923076923
12         617        403        0.653160454        0.979740681
13         2872        1959        0.682103064        1.023154596
14         14226        10056        0.706874736        1.060312105
15         74256        54047        0.727846908        1.091770362
16         405348        302354        0.745912154        1.118868232
17         2300332        1752083        0.761665273        1.142497909
18         13506331        10474720        0.775541485        1.163312227

10的n次幂&#160;        实际        杨：实际        白：实际
2         3        ——        ——
3         3        ——        ——
4         4        ——        ——
5         5        ——        ——
6         8        ——        ——
7         8        0.125        0.125
8         9        0.222222222        0.333333333
9         17        0.294117647        0.588235294
10         47        0.446808511        0.765957447
11         135        0.651851852        1.059259259
12         615        0.655284553        1.003252033
13         2812        0.696657183        1.021337127
14         14337        0.701401967        0.992257795

杨：(白/6*4)的数值接近于1，二人计算结果相当；                       
与实际存在的最密9生素数相比，白：实际接近于1；随着数值的增大，杨：实际也将接近于1。

yangchuanju

计算k生素数数量时还经常用到一些连乘积：       
∏p*(p-2)/(p-1)^2，∏p^2*(p-3)/(p-1)^3，∏p^3*(p-4)/(p-1)^4，……
第1个连乘积表达式用于二生素数的计算，p的下界≥3，上界无穷大（下同，不再标明）；
第2个连乘积表达式用于3生素数的计算，p的下界≥5；
第3个连乘积表达式用于4生素数的计算，p的下界≥5；
第4-5个连乘积表达式用于5-6生素数的计算，p≥7；
第6-9个连乘积表达式用于7-10生素数的计算，p≥11；
第10-11个连乘积表达式用于11-12生素数的计算，p≥13；
第12-15个连乘积表达式用于13-16生素数的计算，p≥17；
第16-17个连乘积表达式用于17-18生素数的计算，p≥19；
…………                               
由于连乘积是无穷多项的，连乘积的数值随着p的增大，逐渐减少，最终趋近于一个常数！（？）
如与孪生素数有关的哈李常数0.660161816…       
经计算当p取到97,997,9973,99991时2-16生的连乘积数值分别是：
生\素数        97        997        9973        99991
2        0.661377085        0.660245744        0.660168297        0.660162345
3        0.638693965        0.635408722        0.635185061        0.635167883
4        0.31093309        0.307729675        0.307512992        0.307496359
5        0.417571399        0.410396823        0.409915128        0.409878173
6        0.191915967        0.186970992        0.186641782        0.186616543
7        0.384273349        0.370426839        0.369513691        0.369443735
8        0.244997193        0.233249871        0.232483241        0.232424556
9        0.128631037        0.120723802        0.120213693        0.120174678
10        0.045530014        0.042044564        0.041822527        0.04180556
11        0.104972474        0.09519622        0.094581897        0.094535
12        0.040155474        0.035692532        0.035416207        0.035395134
13        0.129755537        0.112821423        0.111789507        0.1117109
14        0.074900018        0.063579006        0.062900823        0.062849222
15        0.035838018        0.029638965        0.029274335        0.029246626
16        0.011653475        0.009370668        0.009238984        0.00922899
连乘积究竟要取多少位，或p的上限取到多少，可根据您计算的生数和精度需要而定；
如您已经得到了p取无穷大时的常数值，最好直接取常数值为好！

白新岭

退一步海阔天空。步步为营。一步一个脚印。失败是为了成功。逆水行舟不进则退。在这个知识大爆炸的时代，不进步就是倒退了。

白新岭

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晚安！

白新岭

Twins in prime numbers are a really interesting subject. Twins are nothing but, 2 prime numbers, which are separated by just one number (of course, the separating number will be an even number). Importance of twin numbers is that twin numbers do occur even in very large numbers. Do you know the years 1997 and 1999 were twin prime numbers. Can you guess which years will be the next twin prime numbers ? Find out by using this software or wait for 20 years !
素数双胞胎是个很有趣的话题。双胞胎只不过是两个素数，它们之间只有一个数字(当然，分开的数字是偶数)。孪生数的重要性在于，即使在非常大的数字中也会出现孪生数。你知道1997年和1999年是双素数吗。你能猜到下一个双素数是几年吗？要么用这个软件找到答案，要么等上20年！

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