连乘积公式计算哥猜数误差分析

liugongqin

yangchuanju 发表于 2022-7-4 17:17
复录138楼帖子，并对其中的个别错误做了修改：

几个素数连乘积数值表及数理意义                        ...

回答错误0分。哥德巴赫猜想是数学专用名词，不能用“哥猜”一词。

yangchuanju

愚工688 发表于 2022-7-5 14:00
不想与您叫真，当自然数X趋近于无穷大时，素数个数趋近于无穷大，这是一个不争的定理；在[X，2X]区间的 ...

请将自然数域X分成10份、100份、1000份、10000份，算一算最后一份和第一份数域中的素数个数和几率，看一看它们如何变化。
注意：X要尽量大一些，如X≥10^10。
看一看各段素数各有多少个，素数个数和几率是不是逐渐减少？

再设法计算一下10X、100X、1000X、10000X中的素数个数和几率，看一看X、10X、100X、1000X、10000X中的素数个数和几率如何变化？是不是素数个数逐渐增大但素数几率逐渐减少？

yangchuanju

请打开网页《Tables of values of pi(x) and of pi2(x)》，其中有大量的素数个数和孪生素数个数统计表，供参考。
网址：http://sweet.ua.pt/tos/primes.html

yangchuanju

取第1段数大小为10^12，则第10000段为9999*10^12--100000*10^12，
其中第1段中有37607913018个素数，几率0.037608；
第10000段中有27143458517个素数，几率0.027143；
第10000段中的素数是第1段素数的72.1749%，几率也是72.1749%。

可以推知第1亿段中的素数是第1段素数的(72.1749%)^2=52.0921%，几率也是52.0921%;
第1万亿段中的素数是第1段素数个数和几率的(72.1749%)^3=37.5974%;
第1亿亿段中的素数是第1段素数个数和几率的(72.1749%)^4=27.1359%;
第1万亿亿段中的素数是第1段素数个数和几率的(72.1749%)^5=19.5853%;
第1亿亿亿段中的素数是第1段素数个数和几率的(72.1749%)^6=14.1356%;
……
第10^176段中的素数个数和几率约是第1段素数个数和几率的0.000001（百万分之一）;
第10^228段中的素数个数和几率约是第1段素数个数和几率的0.00000001（亿分之一）;
第10^284段中的素数个数和几率约是第1段素数个数和几率的0.0000000001（百亿分之一）;
第10^340段中的素数个数和几率约是第1段素数个数和几率的0.000000000001（万亿分之一）;
第10^396段中的素数个数和几率约是第1段素数个数和几率的0.00000000000001（百万亿分之一）;
第10^452段中的素数个数和几率约是第1段素数个数和几率的0.0000000000000001（亿亿分之一）;
……

yangchuanju

愚工688 发表于 2022-7-4 23:21
实际存在的素数数量的数据中间隐藏的规律

2).看数x 每扩大10倍时实际素数数量的k(x)变化:倍率k(x)=π(10 ...

不应只看第1-10段素数个数和几率与第1段素数个数和几率的比值接近于10；还必须看第10段与第1段的比值，看第100段、1000段、10000段与第1段素数个数和几率的比值！

第1-1000段与1-100段、1-10000段与1-1000段中的素数和几率的比值可能更接近于10，但它们是“小/小”的比值，意义不大！

yangchuanju

自然数X        素数个数pi(x)        素数几率        小段素数个数        小段几率
1E+12        37607912018         0.037608         37607912018         0.037608
2E+12        73301896139         0.036651         35693984121         0.035694
3E+12        108340298703         0.036113         35038402564         0.035038
4E+12        142966208126         0.035742         34625909423         0.034626
5E+12        177291661649         0.035458         34325453523         0.034325
6E+12        211381427039         0.035230         34089765390         0.034090
7E+12        245277688804         0.035040         33896261765         0.033896
8E+12        279010070811         0.034876         33732382007         0.033732
9E+12        312600354108         0.034733         33590283297         0.033590
1E+13        346065536839         0.034607         33465182731         0.033465
……
1E+14        3204941750802         0.032049         31025849403         0.031026
1.01E+14        3235957953875         0.032039         31016203073         0.031016
1.02E+14        3266964657483         0.032029         31006703608         0.031007
1.03E+14        3297961919299         0.032019         30997261816         0.030997
1.04E+14        3328949899119         0.032009         30987979820         0.030988
1.05E+14        3359928666221         0.031999         30978767102         0.030979
1.06E+14        3390898336950         0.031990         30969670729         0.030970
1.07E+14        3421858875180         0.031980         30960538230         0.030961
1.08E+14        3452810475850         0.031970         30951600670         0.030952
1.09E+14        3483753161542         0.031961         30942685692         0.030943
1.1E+14        3514687156436         0.031952         30933994894         0.030934
……
1E+15        29844570422669         0.029845         28953375414         0.028953
1.001E+15        29873522873148         0.029844         28952450479         0.028952
1.002E+15        29902474529753         0.029843         28951656605         0.028952
1.003E+15        29931425514142         0.029842         28950984389         0.028951
1.004E+15        29960375470900         0.029841         28949956758         0.028950
1.005E+15        29989324687887         0.029840         28949216987         0.028949
1.006E+15        30018273055984         0.029839         28948368097         0.028948
1.007E+15        30047220566535         0.029838         28947510551         0.028948
1.008E+15        30076167229700         0.029837         28946663165         0.028947
1.009E+15        30105113201372         0.029837         28945971672         0.028946
1.01E+15        30134058317435         0.029836         28945116063         0.028945
……
9.99E+15        278966903431261         0.027925         27144000718         0.027144
9.991E+15        278994047468442         0.027925         27144037181         0.027144
9.992E+15        279021191558802         0.027924         27144090360         0.027144
9.993E+15        279048335392864         0.027924         27143834062         0.027144
9.994E+15        279075479310274         0.027924         27143917410         0.027144
9.995E+15        279102623102654         0.027924         27143792380         0.027144
9.996E+15        279129766814971         0.027924         27143712317         0.027144
9.997E+15        279156910342682         0.027924         27143527711         0.027144
9.998E+15        279184053940794         0.027924         27143598112         0.027144
9.999E+15        279211197575408         0.027924         27143634614         0.027144
1E+16        279238341033925         0.027924         27143458517         0.027143

独舟星海

\(1+{1\over P}+{1\over P^2}+{1\over P^3}+{1\over P^4}+{1\over P^5}+……+{1\over P^n}\)=S
则\(S\over P\)=\({1\over P}+{1\over P^2}+{1\over P^3}+{1\over P^4}+{1\over P^5}+……+{1\over P^{n+1}}\)，所以，S-\(S\over P\)=\(1-{1\over P^{n+1}}\)，当n→∞，\({1\over P^{n+1}}\)→0,\(1-{1\over P^{n+1}}\)→1,（P是任意素数），进一步获得：S=\(1\over{1-{1\over P}}\), 这就是无穷等比数列的求和公式（当公比小于1时，\(1\over P\)为公比Q）.

独舟星海

独舟星海 发表于 2022-7-5 20:54
\(1+{1\over P}+{1\over P^2}+{1\over P^3}+{1\over P^4}+{1\over P^5}+……+{1\over P^n}\)=S
则\(S\over ...

根据上边公式就可以获得自然数的倒数之和等于∏\(P\over{P-1}\)，所有素数形如\(P\over{P-1}\)的式子连乘积。这也是著名的欧拉公式。

愚工688

X→∞时无穷大π(x)与“无穷大”lnX 的真伪

从素数定理 x→∞时有 π(x)=x/lnx 出发，我们知道π(x)→∞ 成立。因此π(x)→∞是真无穷大；
由素数定理 可得：π(x)/x = 1/lnx ；
左端就是x中的素数实际存在率；右端就是依据素数定理得出的素数理论存在率；

有些高知认为：在自然数中，x→∞时素数的出现概率→0，有 1/lnx→0；那么其倒数就有 lnx→∞ 。
对此我是不认可的，故称lnx→∞为假无穷大；

怎么样辨别真假的无穷大呢？
通常两个同阶的无穷大的比，应该趋向一个有限的小数；
而一个非无穷大的函数与一个无穷大函数的比，则→0；

下面我们根据实际X内存在的素数数量，通过π(x)/x 以及lnx/x的比值随x→∞过程中的数据变化，我们来判断一下lnx→∞的真假吧：

  x=10^2:lnx=4.60517019;lnx/x=0.0460517;——π(x)/x=0.4；
  x=10^3:lnx=6.9077528; lnx/x=0.0069078;——π(x)/x=0.168;
  x=10^4:lnx=9.21034037;lnx/x=0.00092103;——π(x)/x=0.1229;
  x=10^5:lnx=11.5129255;lnx/x=0.000115129;——π(x)/x=0.09592;
  x=10^6:lnx=13.8155106;lnx/x=0.000013816；——π(x)/x=0.078498;
  x=10^7:lnx=16.1180957;lnx/x=0.0000016118;——π(x)/x=0.0664579;
  x=10^8:lnx=18.4206807;lnx/x=0.0000001842;——π(x)/x=0.05761455;
  x=10^9:lnx=20.7232658;lnx/x=0.00000002072;——π(x)/x=0.050847534;
  x=10^10:lnx=23.025851;lnx/x=0.000000002302；——π(x)/x=0.0455052511;
  x=10^11:lnx=25.328436; lnx/x=0.000000000253;——π(x)/x=0.0411805……;
  x=10^12:lnx=27.631021; lnx/x=0.0000000000276;——π(x)/x=0.0376079……;
  x=10^13:lnx=29.9336062;lnx/x=0.00000000000299;——π(x)/x=0.0346065……;
  x=10^14:lnx=32.2361913;lnx/x=0.000000000000322;——π(x)/x=0.032049……；
  x=10^15:lnx=34.5387764;lnx/x=0.0000000000000345;——π(x)/x=0.0298445……；
  x=10^16:lnx=36.8413615;lnx/x=0.00000000000000368;——π(x)/x=0.0279238……；
  x=10^17:lnx=39.1439466;lnx/x=0.000000000000000391;——π(x)/x=0.0262355……；
  x=10^18:lnx=41.4465317;lnx/x=0.0000000000000000414;——π(x)/x=0.024739……；
  x=10^19:lnx=43.7491168;lnx/x=0.00000000000000000437;——π(x)/x=0.0234057……；
  x=10^20:lnx=46.0517019;lnx/x=0.000000000000000000461;——π(x)/x=0.022208……；

很显然，在x→∞的过程中，lim(lnx/x)→0 ,因此lnx→∞为假；
而对应的在x→∞,lim[π(x)/x]则趋向一个有限的小数，π(x)→∞为真。两者的倒数为同阶的无穷小量。

不怕不识货，就怕货比货！
  
  

愚工688

愚工688 发表于 2022-7-6 04:10
X→∞时无穷大π(x)与“无穷大”lnX 的真伪

从素数定理 x→∞时有 π(x)=x/lnx 出发，我们知道π(x)→∞ ...

按照
yangchuanju
请先按数学界公认原则先定义——假无穷大！
的指示，我对 假无穷大的说明：

在X→∞的情况下，某些高知认为1/lnX→0,那么必然推导出X→∞，lnX→∞,推导出X/π(x)→∞.
我认为1/lnX→0,是错误的，因而只能称所谓的”lnX→∞“为假无穷大！正如皇帝的新衣那样名不符其实。

我只是业余爱好者，不是专业人士，我不知该怎么称呼一些高知认为的无穷大的lnX→∞，只能加个假字了。
或加个“殆”字“殆无穷大”显得更高尚时髦一些——但又不好意思蹭专家的“殆素数”的专业之光；
或称之“伪无穷大”也是可以的，因为其没有随X→∞以近似的速度增大。

实际的X/π(x)——两个同阶无穷大之比也不可能趋于无穷大——这是明眼人都能看到的。
而π(x)/X正如两个无穷小量的比较法则那样趋向于一个不为0的常数C——这是极限基础理论的阶的概念所判定的。