【解读黑格尔】 运动：“在这个地点又不在这个地点”

elimqiu

下面引用由天茂在 2011/04/18 10:05am 发表的内容：
请问：序集， 在这里指的是实数系。
那么，可不可以是有理数系、自然数系或者是超实数系呢？

序集（全序集的简称）是指定义了具有三岐性的大小关系的集合。我上面的戴德金分割的定义适合于任何序集。

elimqiu

下面引用由天茂在 2011/04/18 10:18am 发表的内容：
看到“如果只考虑全体有理数的集合 Q”这个前提了吗？
在这个前提下，“平方 = 2 的正数”是不存在的，所以按照“平方 > 2 ”来进行分割，是没有意义的。

不可理喻。
为什么【“平方 = 2 的正数”是不存在的，所以按照“平方 > 2 ”来进行分割是没有意义的】？
2^2 > 2 有问题吗？ B = {q ∈Q | q > 0, q^2 > 2} 不是Q的非空子集？ A = Q \ B 的任一元都小于 B 的元有问题吗？
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
这个分割确定的空隙在实数系中叫作 √2

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/04/18 03:46am 发表的内容：
序集（全序集的简称）是指定义了具有三岐性的大小关系的集合。我上面的戴德金分割的定义适合于任何序集。

这就是说，戴德金分割的定义不仅适合于实数集，而且还适合于自然数集、有理数集和超实数集。
您的定义是：“设 E 是一个序集， 它的一个戴德金分割是指一个集合对 (A,B), 它们都不是空集，它们的并是 E，且 B 的每个元均大于A 的任一元。”
考虑序集E={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
我们按照戴德金分割将其分为A={1,2,3,4,5}和B={6,7,8,9}两个闭集。
您的观点是：“如果A含有最大元a且B含有最小元b， 那么应有 a < b， 并在 a, b 之间没有 E 的元， 于是可以称E在a,b 自己有空隙。 这么看问题就知道N 自己作为全空间还是有空隙。”
现在假设a=5，b=6，5＜6，在5和6之间再也没有E的元了，到此为止，没有任何问题。
但是，接下来您却说：“于是可以称E在a,b 自己有空隙”，这句话的道理何在？
也就是在这里您为什么可以说“E在5,6 自己有空隙”呢？

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/04/18 03:52am 发表的内容：
不可理喻。
为什么【“平方 = 2 的正数”是不存在的，所以按照“平方 > 2 ”来进行分割是没有意义的】？
2^2 > 2 有问题吗？ B = {q ∈Q | q > 0, q^2 > 2} 不是Q的非空子集？ A = Q \ B 的任一元都小于 B 的元有问题吗？
这个分割确定的空隙在实数系中叫作 √2

您规定戴德金分割只对序集有意义，而序集是指定义了具有三岐性的大小关系的集合。
那么，在有理数集Q中，只有“平方＞2 ”和“平方＜2 ”，不存在“平方＝2 ”，这是满足三岐性吗？

elimqiu

对不起。不是【a,b 自己有空隙】，是【a,b之间有空隙】

luyuanhong

在实数域 R 中作戴德金分割，分割的定义中只用到与有理数有关的概念，不牵涉到
与无理数有关的概念，但是，这样的分割却可以得到一个无理数。
在超实数域 R* 中作戴德金分割，只要分割的定义中只用到标准的与实数有关的概念，
不牵涉到非标准分析中与非实数有关的概念，那么，这样的戴德金分割的结果，只能
得到一个实数，不会得到一个非实数。
例如，对 R* 作戴德金分割 C1={x|x^2＜2 或 x＜0} 和 C2={x|x^2≥0} ，只能得到
一个实数 √2 ，不会得到任何非实数。

elimqiu

下面引用由天茂在 2011/04/18 11:13am 发表的内容：
但是，接下来您却说：“于是可以称E在a,b 自己有空隙”，这句话的道理何在？
也就是在这里您为什么可以说“E在5,6 自己有空隙”呢？

应该是说【于是可以称E在a,b 之间有空隙】（打字出错，抱歉）
理由是我们可以定义一个元素 x 加入 a, b 之间。既然在E本身的序关系下还能插入，就是说E有空隙。
类似地， 如果A 没有最大元，B没有最小元，也还可以有东西插入，所以还是有空隙。

elimqiu

下面引用由天茂在 2011/04/18 11:22am 发表的内容：
您规定戴德金分割只对序集有意义，而序集是指定义了具有三岐性的大小关系的集合。
那么，在有理数集Q中，只有“平方＞2 ”和“平方＜2 ”，不存在“平方＝2 ”，这是满足三岐性吗？

复习一下三岐性： 序集的任何两个元 x,y, 关系 x < y, x = y, x > y 有且只有一个成立。
所以不存在 平方 = 2 的元这件事跟三岐性无干： 它是说 x^2 = 2 无解， 而三岐性从来也不声称方程必有解。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/04/18 11:29am 发表的内容：
在实数域 R 中作戴德金分割，分割的定义中只用到与有理数有关的概念，不牵涉到
与无理数有关的概念，但是，这样的分割却可以得到一个无理数。
在超实数域 R* 中作戴德金分割，只要分割的定义中只用到标准的与实数有关的概念，
不牵涉到非标准分析中与非实数有关的概念，那么，这样的戴德金分割的结果，只能
得到一个实数，不会得到一个非实数。
例如，对 R* 作戴德金分割 C1={x|x^2＜2 或 x＜0} 和 C2={x|x^2≥0} ，只能得到
一个实数 √2 ，不会得到任何非实数。

对 R 作戴德金分割 C1={x|x＜π} 和 C2={x|x≥π} ，这个分割有什么不可以呢？
当 β 是一个正无穷小量时，对 R* 作戴德金分割 C1={x|x＜β} 和 C2={x|x≥β} ，这个分割又有什么不可以呢？

elimqiu

没有什么不可以。只是割不出空隙来么。