用公式法求解特殊佩尔方程

蔡家雄

设 \(p\) 的素因子均为 \(8k -1\) 型 或 \(8k+1\) 型，

有 \(p\) 的素因子 \(= 7, 17, 23, 31, 41, 47, 71, 73, 79, 89, 97,\) ......

若 \(x^2 - 2*y^2 = ±p\) , 正，负 \(p\) 都可以，，

则 \(x^2 - 2*y^2 = ±p\) 必有正整数解和通解公式。

蔡家雄

（1）求 \(x^2 - 2*y^2 = 47*89\) 的通解公式，

（2）求 \(x^2 - 2*y^2 = - 47*89\) 的通解公式 .

蔡家雄

（1）求 \(x^2 - 2*y^2 = 314159\) 的通解公式，

（2）求 \(x^2 - 2*y^2 = - 314159\) 的通解公式 .

ysr

蔡家雄 发表于 2025-2-23 06:36
求 \(x^2 - 2y^2 = 2025\) 的正整数解和通解公式 ？

程序算的一组解是x=135 y=90，135*135=18225，2*90*90=16+200，18225-16200=2025

程序算的几组解是：
x=135  y=90
x=765  y=540
x=4455  y=3150

ysr

蔡家雄 发表于 2025-2-23 10:12
求 \(x^2 - 2y^2 = 73^2\) 的正整数解和通解公式 ？

程序算的几组解是：
x=89  y=36
x=123  y=70
x=219  y=146
x=411  y=286

ysr

蔡家雄 发表于 2025-2-24 12:27
（1）求 \(x^2 - 2*y^2 = 314159\) 的通解公式，

（2）求 \(x^2 - 2*y^2 = - 314159\) 的通解公式 .

程序算的几组解是：
（1）  x=679  y=271
x=953  y=545

（2）  x=137  y=408
x=1221  y=950

ysr

蔡家雄 发表于 2025-2-25 02:42
（1）求 \(x^2 - 2*y^2 = (23*73)^2\) 的通解公式，

（2）求 \(x^2 - 2*y^2 = - (23*73)^2\) 的通解公式 ...

程序算的几组解是：
（1）：  x=1683  y=82
x=1921  y=660
x=1971  y=730
x=2047  y=828
x=2829  y=1610
x=2993  y=1752

（2）：  x=391  y=1219
x=511  y=1241
x=601  y=1261
x=1519  y=1601
x=1679  y=1679
x=1847  y=1765

ysr

蔡家雄 发表于 2025-2-24 11:54
（1）求 \(x^2 - 2*y^2 = 47*89\) 的通解公式，

（2）求 \(x^2 - 2*y^2 = - 47*89\) 的通解公式 .

程序算的几组解：
（1）：  x=69  y=17
x=85  y=39
x=99  y=53
x=139  y=87
x=275  y=189
x=411  y=287
x=509  y=357
x=765  y=539
x=1581  y=1117
x=2381  y=1683
x=2955  y=2089

（2）：  x=7  y=46
x=35  y=52
x=103  y=86
x=163  y=124
x=205  y=152
x=313  y=226
x=653  y=464
x=985  y=698
x=1223  y=866
x=1843  y=1304

蔡家雄

设 \((4k+1)\) 和 \((8k+3)\) 都是质数，

若 \(x^2 - (4k+1)*y^2 = ±(8k+3)\) , 正，负 \((8k+3)\) 都可以，

则 \(x^2 - (4k+1)*y^2 = ±(8k+3)\) 必有正整数解和通解公式。

蔡家雄

（1）求 \(x^2 - 29*y^2 = 59\) 的通解公式，

（2）求 \(x^2 - 29*y^2 = - 59\) 的通解公式 .