【解读黑格尔】 运动：“在这个地点又不在这个地点”

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/04/18 04:35am 发表的内容：
应该是说【于是可以称E在a,b 之间有空隙】（打字出错，抱歉）
理由是我们可以定义一个元素 x 加入 a, b 之间。既然在E本身的序关系下还能插入，就是说E有空隙。
类似地， 如果A 没有最大元，B没有最小元，也还可 ...

您的意思是说：在5和6之间还可以插入一个自然数。
是这个意思吗？
我们设定的E={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，按照戴德金分割将其分为A={1,2,3,4,5}和B={6,7,8,9}两个闭集。
A中的最大元是5，B中的最小元是6，所以在5和6之间是没有东西可插的。

elimqiu

当然不是。是说既然能够把序集分成不大于5 和 不小于6两部分，那么就可以在 5 和 6 之间插入一个新元素。这个元素当然不在原来的序集中。所以才叫可以插入么。

[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
说来说去，还不如先把概念弄清楚了。

elimqiu

任何序集，戴德金分割可能有的情形：

空隙的图解还是很直观的。

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/04/18 07:34am 发表的内容：
没有什么不可以。只是割不出空隙来么。

看来您和陆老师的观点并不一致。
按照他在206楼的说法（在实数域 R 中作戴德金分割，分割的定义中只用到与有理数有关的概念，不牵涉到与无理数有关的概念；在超实数域 R* 中作戴德金分割，只要分割的定义中只用到标准的与实数有关的概念，不牵涉到非标准分析中与非实数有关的概念），我下面的这两个分割都是不可以的：
对 R 作戴德金分割 C1={x|x＜π} 和 C2={x|x≥π} ，这里牵涉到了无理数的概念；
当 β 是一个正无穷小量时，对 R* 作戴德金分割 C1={x|x＜β} 和 C2={x|x≥β} ，这里又牵涉到了非实数的概念。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/04/18 04:23pm 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2011/04/18 02:26pm 发表的内容：
对 R 作戴德金分割 C1={x|x＜π} 和 C2={x|x≥π} ，这个分割有什么不可以呢？
当 β 是一个正无穷小量时，对 R* 作戴德金分割 C1={x|x＜β} 和 C2={x|x≥β} ，这个分割又有什么不可以呢？

    在实数 R 中作戴德金分割时，我们事先不能肯定 R 中是否有无理数存在，
所以，定义戴德金分割时，不能用到与无理数有关的概念。假如我们把戴德金
分割定义为 A={x|x＜√2} 和 B={x|x≥√2} ，那就失去意义了，因为这等于
事先肯定了有无理数√2 存在，再去推导出有无理数√2 存在。正确的做法，
应该把把戴德金分割定义为 A={x|x^2＜2 或 x＜0} 和 B={x|x^2≥2} ，在这
个定义中，没有用到任何与无理数有关的概念。但是，根据戴德金公理，这样
的分割必定要确定一个数，由于这个数不可能是有理数，所以只能是无理数。
这样就推导出了“实数中必定存在无理数”的结论。
    在超实数 R* 中作戴德金分割时，我们事先也不能肯定 R* 中是否存在
非实数的超实数。所以，定义戴德金分割时，不能用到与非实数的超实数有关
的概念。假如我们把戴德金分割定义为 A={x|x＜β} 和 B={x|x≥β} ，其中
β 是无穷小量，那就失去意义了，因为这等于事先肯定了有非实数 β 存在，
再去推导出有非实数 β 存在。所以，正确的做法，定义中不可以出现与非实数
的超实数有关的概念。但是，如果在超实数 R* 中作戴德金分割时，分割的定
义中只用到标准的与实数有关的概念，不牵涉到非标准分析中与非实数有关的
概念，那么，分割的结果，只能得到一个实数，不可能得到非实数。
    由此可见，戴德金分割与“是否存在非实数的超实数”是相互独立的，我们
既不可能从戴德金分割推导出“非实数的超实数必定存在”的结论，也不可能从
戴德金分割推导出“非实数的超实数必定不存在”的结论。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/04/18 04:18pm 发表的内容： 在实数 R 中作戴德金分割时，我们事先不能肯定 R 中是否有无理数存在， 所以，定义戴德金分割时，不能用到与无理数有关的概念。假如我们把戴德金 分割定义为 A={x|x＜√2} 和 B={x|x≥√2} ，那就失去意义了 ...

您说的这些属于戴德金分割的最初作用。 但是，戴德金分割除了可以发现无理数以外，就再也没有其他的作用了吗？我看未必。 其实，用戴德金分割的方法把一个序集分成两类，就很有意义。 下面还是《数学辞海》中的有关词条： 戴德金原理(Dedekindprinciple) 亦称戴德金分割，是保证直线连续性的基础．其内容为：如果把直线的所有点分成两类，使得： 1．每个点恰属于一个类，每个类都不空， 2．第一类的每个点都在第二类的每个点的前面，或者在第一类里存在着这样的点，使第一类中所有其余的点都在它的前面；或者在第二类里存在着这样的点，它在第二类的所有其余的点的前面． 这个点决定直线的戴德金割切，此点称为戴德金点(或界点)．戴德金原理是戴德金(Dedekind，(LW．)R．)于1872年提出来的．在构造欧氏几何的公理系统时，可以选取它作为连续公理．在希尔伯特公理组I，Ⅱ，Ⅲ的基础上，阿基米德公理和康托尔公理合在一起与戴德金原理等价． 戴德金定理(Dedekind theorem) 刻画实数连续性的命题之一．它断言，若(A，B)是实数系R(即有理数集的所有戴德金分割的集合，并以明显的方式定义了大小顺序及四则运算)的戴德金分割，则由它可确定惟一实数α，若α∈A，则它为A中最大元，若α∈B，则它是B中最小元．这个定理说明，R的分割与全体实数是一一对应的，反映在数轴上，它又说明，R的分割不再出现空隙，因此，这个定理可用来刻画实数的连续性(参见本卷《高等几何》中的“戴德金原理”)． 戴德金分割(Dedekindcut) 定义实数的一种方法．指按如下方法将一个有大小顺序的数集(例如实数集或有理数集)分成两部分，具体而言，用S表示有大小顺序的数集，若将S分成两部分A和B，使其满足： 1．A和B都至少含有S中的一个数(不空)； 2．S中的任一数或属于A，或属于B(不漏)； 3．对任意a∈A和任意b∈B，有a

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/04/18 04:18pm 发表的内容：
   由此可见，戴德金分割与“是否存在非实数的超实数”是相互独立的，我们
既不可能从戴德金分割推导出“非实数的超实数必定存在”的结论，也不可能从
戴德金分割推导出“非实数的超实数必定不存在”的结论。

用戴德金分割来发现无理数，是有效的；
用戴德金分割来发现超实数，是无效的。
但是，用戴德金分割来将实数集或超实数集分为两个部分，也是有效的。

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/04/18 08:23am 发表的内容：
任何序集，戴德金分割可能有的情形：
-=-=-=-=- 以下内容由elimqiu在时添加 -=-=-=-=-
空隙的图解还是很直观的。

这个图解确实很说明问题。

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/04/18 04:42am 发表的内容：
复习一下三岐性： 序集的任何两个元 x,y, 关系 x < y, x = y, x > y 有且只有一个成立。
所以不存在 平方 = 2 的元这件事跟三岐性无干： 它是说 x^2 = 2 无解， 而三岐性从来也不声称方程必有解。

对于有理集的任何两个元 x,y,关系 x < y, x = y, x > y 有且只有一个成立。
令x=a^2，y=b^2，则关系 a^2 < b^2, a^2 = b^2, a^2 > b^2 有且只有一个成立。
令b^2=2， 则关系 a^2 < 2, a^2 = 2, a^2 > 2 有且只有一个成立。
事实上，在有理数集中，关系 a^2 < 2, a^2 = 2, a^2 > 2 中，a^2 = 2永远也不可能成立。
也就是说，在有理数集这个序集中，三岐性只能表现为二岐性，即只有关系 a^2 < 2, a^2 > 2 有且只有一个成立。

luyuanhong

这个问题也可以这样来看，与“实数的连续性”等价的“戴德金定理”为：
“对实数系 R 作戴德金分割，不可能出现 A 没有最大数、同时 B 没有最小数的情形。”
（一）这个定理说的是对“实数系 R ”作分割，不是对“超实数系 R*”作分割。
（二）这个定理是在标准分析的背景下提出的，所以虽然没有明说，但实际上定理中说到
的“戴德金分割”的定义中，只可能用到与标准分析中的实数有关的概念，不可能用到与
非标准分析中的非实数有关的概念。
    正因为如此，这个定理无论是在标准分析中，还是在非标准分析中，显然都是成立的。
    由此可见，这个与“实数的连续性”等价的“戴德金定理”，与非标准分析没有矛盾。
我们既不可能从这个“戴德金定理”推导出“非实数的超实数必定存在”的结论，也不可
能从这个“戴德金定理”推导出“非实数的超实数必定不存在”的结论。