[分享]概率怪论

elimqiu · 发表于 2011-7-9 01:08

212楼陆老师给出了一种均匀度，即半径上弦中点的密度。
这是211楼均匀性的一种特殊的，定量化的，极限化的形式。
利用密度函数容易得出，Bertrand 怪论的解遍历 (0,1)，虽然其中可能只有有限多种分布可以使人直觉地误以为是均匀的。而真正(均匀)随机的解只有一个, 1/2

qingjiao · 发表于 2011-7-9 09:57

[这个贴子最后由qingjiao在 2011/07/09 09:58am 第 1 次编辑]

我认为1/2这个答案不好。如果在圆的半径上能均匀取点，则意味着半径为r/2的小圆内点的密度为r/2~r的圆环的3倍，有违平面上的点均匀分布的一般假设。

另外，似乎各位在模拟计算时，简单地将点的排列方式断定为只有正方形一种，其实任何可以填充整个平面，没有空隙也没有重叠的排列方式，例如三角形，长方形，平行四边形，梯形，菱形，正六边形等等，原则上都没有违背点均匀分布的假设，都是可行的。退一步说，至少正三角形和正六边形的排列方式的均匀度不比正方形差，甚至更好（因为任一点到周边任意邻点的距离相等，而正方形的对角线长较边长更长），在模拟计算时不考虑正三角形和正六边形的点的排布方式是说不过去的。

所以这个问题要下结论言之尚早，请继续讨论。

qingjiao · 发表于 2011-7-9 10:06

[这个贴子最后由qingjiao在 2011/07/09 10:07am 第 1 次编辑]

若要模拟计算的话应按以下方法：
1.按正三角形或正六边形排布构造一个平面；
2.过这些点画圆和半径；
3.如果是圆周上均匀取点，则只有在圆周上那些正三角形或正六边形的顶点才是有效点，其余圆周区域取点无效；
4.如果在半径上均匀取点，则只有在半径上的正三角形或正六边形的顶点才是有效点，其余半径上的点是无效点，如此类推。
我认为这样计算出来的概率才具有合理性和说服力。

qingjiao · 发表于 2011-7-9 10:11

退一步说，至少正三角形和正六边形的排列方式的均匀度不比正方形差，甚至更好
===================================================
看来最好的应是正三角形排布，因为正六边形中一点到其余5点依然有3种长度。

elimqiu · 发表于 2011-7-9 11:45

下面引用由qingjiao在 2011/07/09 09:57am 发表的内容：
我认为1/2这个答案不好。如果在圆的半径上能均匀取点，则意味着半径为r/2的小圆内点的密度为r/2~r的圆环的3倍，有违平面上的点均匀分布的一般假设。
另外，似乎各位在模拟计算时，简单地将点的排列方式断定为只　...

可以容易地证明，这个分布关于弦是均匀的（见211楼的准则）。

wangyangkee · 发表于 2011-7-9 20:49

下面引用由天茂在 2011/07/08 07:49am 发表的内容：
呵呵，这些仅仅是“少数建议”而已。

呵呵，，，抗议天茂；
抗议天茂的------行政的------论证思维模式；——建议天茂抛弃这种思维，这种论证口气，，，
------呵呵，这些仅仅是“少数建议”而已。------“少数建议”

wangyangkee · 发表于 2011-7-10 00:09

胡思乱想者再，供师长娱笑：
1，各位师长网友，展示了多个------各执一端的——陆老师执了好几端------答案，显示了怪论的趣味，丰富了话题；
2，抛开------概率怪论------这个形容词，看问题的本质，这是一个看似可以多方具体化而实际是一道高度抽象的纯数学题、概率题，答案只有1个，，，1个，，，
3，作为纯数学复杂问题问题，可能从各个不同角度不同的方法去触摸他，破解他；但是，肯定的，所用的不同的方法其各方法之间是互相融通的；否则，不融通的存在，就说明了方法中的错误的存在；因为，数学的整个体系是融通的，，，数学以特别的方式描绘统一的客观世界的这一属性决定了他的融通或统一性；
4， elimqiu 端出了一杆秤——均匀性；不管其对均匀性采用什么提法，可以肯定，其均匀性的宗旨是某种评价方法对全体样本是同样绝对或者同样相对的对等；如果做不到同样对等，这杆秤无效或者称量方法无效，须另找天平；
5，在问题的共有平台------园------上，显见的天平有：对等的角度、弧度，对等的等半径圆周的等弧段长，对等的等半径圆周的等弧段长所对应的长度微元，对等的等半径圆周的等弧段长所对应的面积微元；，，，再者，称量的频度要对等；
6，在问题的共有平台------园------上，无效的称及其称量：在半径长度上称量弦中心密度（解法2），此与上条所列各款抵触；在不同的半径上称量面积微元或者不在不同的半径上称量密度不同的弦的中点含量（解法3）；或者上述无效称量的杂揉（如弦中点分布在半径上非线性比例）；
7，纯抽象问题，一部错，结果错；否则，中间还有一错或多错；
8，问题是在等半径园上取点作为同天平衡量------在小园周及小园内，1；小园与大园间1至1/3；大园与无穷大平面，1/3至1/2；看不出有何不相容；是否正确的答案是半径0之无穷大之间，采用积分加权平均？诚请师长指批，，，

elimqiu · 发表于 2011-7-10 00:43

[这个贴子最后由elimqiu在 2011/07/09 05:53pm 第 1 次编辑]

如图，所有随机方案都可以解释为对弦的参数化方案。即参数域到弦的映射。一般地，所求概率问题就转化为参数空间的测度比率问题。例如上图绿色区域的面积（测度）与整个参数空间（边长为2π的正方形）的测度之比。
这是解法一的图示。
这里我们看到，我们不自觉地把参数空间点的‘均匀性’来代替目标空间（全体弦）的均匀性。然而这两者其实没有什么必然的关系。

天茂 · 发表于 2011-7-10 09:13

[这个贴子最后由天茂在 2011/07/10 09:22am 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2011/07/08 09:58pm 发表的内容：

假如存在 0≤a≤b，使得 a≤∫f(x)dx≤b，请问陆老师，可否求得 a 和 b 的值？

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