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圆周率的分析表达式与八点说明
关于圆周率，已有两千多年的研究，数学家已经提出了许多各有其义的不同表达式。笔者根据唯物辩证法与误差理论、数学分析理论。提出了如下的见解。第一，虽然表达式，有各种各样，但首先必须肯定圆周率的根本意义（或称定义）是：圆周长L与直径D的比值L/D，这个比值的绝对准表达符号记作π，即π=L/D。它可以被看作是一个理想实数（简称为实数）。根据这个定义，圆周率π 等于直径为1的圆周长。第二，由于长度的度量单位——米尺的细分——分米、厘米、毫米是十进制的，自然数的记数法则也是十进制的，所以这个符号π具有不如十进小数的缺点。为此，从古到现在，人们都在探讨这符号的十进小数表达式，探讨的一个重要成果是使用数学分析得到的结果，这个实数π 不能表示为分数，所以称它是无理数。又由于十进小数是分数的一种特殊情形，所以这个实数也不能绝对准的表示为十进小数。即它的绝对准十进小数是不存在的。 第三，探讨的第二个中研成果是：圆周长是其内接或对应外切正多边形当其变数无限倍增时其周长的共同极限。由于√2、√3的十进小数表达式已经被研究过，所以可以做内接或外切的正6n多边形进行近似逼近的方法找出十进小数近似表达式。首先,可以提出内接正3 ×2^n 边形周长的计算Cn=3•2^n•sinπ/（3•2^n ）,于是又可以得到单位圆周长的另一个等价数列极限表达式
π=lim(n→∞) Cn （1）
记Dn表示外切正3 ×2^（n+1） 边形周长，则有 Dn=3 ×2^（n+1） ×tgπ/（3•2^（n+1））=Cn/cosπ/（3•2^（n+1））； 于是又可以得到单位圆周长的另一个等价数列极限表达式
π=lim(n→∞)Dn （2）
对此，中国古代就有“周三径一”的研究结果，这个结果就是：作直径内接与外切 正6边形，得到内接正6边形周长为3， 外切正6 边形周长小于4，于是得到圆周率π在误差界不超过1的情况下，π的不足近似值是3，过剩近似值是4。 刘徽提出了割圆术，得到了3.14 是误差不超过百分之一的不足近似值，祖冲之得到的3.1415926，与3.1415927分别是满足误差界{1/10^7} 的不足与过剩近似值，十六世纪德国人将这个实数算到35位，电子计算机出现之后，法国人算到50 万位，美国人又算到2000万亿位，虽然将来可以算到更多位，但所有这些结果都是近似的，绝对准的十进小数是永远算不出来的。根据误差理论，可以提出针对误差界无穷序列 {1/10^n}的π的不足近似值无穷数列3，3.1，3.14，……与过剩近似值无穷数列4，3.2，3.15，……，前者可以简写为3.14159265……，依照习惯，可以称它为 圆周率π的无尽小数表达式，但必须知道： 这个无尽小数是一个无穷数列性质的有界变数，它永远小于π，不等于π。 现行教科书中的等式π=3.1415926……不成立。这个近似值数列是康托儿实数理论中的以有理数为项的基本数列；由于这个数列与π的误差界序列的极限能是0，所以这个数列的极限才是π， 可以写出极限性等式π=lim3.1415926……, 或根据数列中的数都是π的近似值的性质， 可以得到一系列近似而且越来越精确、无限精确的等式序列π≈3.1，π≈3.14，π≈3.141，……，还可以把这一系列近似等式简写为全能近似等式π~3.1415926……。第四，根据上述“π的无尽小数小数展开式3.1415926……是永远算不到底、写不到底的事物的性质，则当称“展开式中一百个连续0为一个百零排”时，这个展开时没有或有奇数个、偶数个 百零排的命题都是不可判断的地命题，因此不能使用两次排中律说这三个命题有且只有一个成立。这样布劳维尔提出的那个实数的三分律反例（参看徐利治《论数学方法学》 济南，山东出版社2003，490-501）就被消除了。第五， 上述分析提出了圆周率的绝对准表达符号理想实数π与它的全能近似表达式的无尽小数小数展开式3.1415926…… 之间，存在着近似与理想的绝对准表达式相互依存的各有各的用处的关系，例如在绝对准的符号下，可以提出角大小的弧度表达式，由此得到三角函数的导数与无穷级数表达式，但使用这个符号无法比较它与其它实数大小，比较这种大小时必须根据它其它实数的绝对准十进小数或全能近似十进小数进行比较，首先应当知道：当两个基本无穷数列等价时，它们的极限表示的实数相同，因之是相等的。例如：无穷数列4，3.2，3.15，……的极限表示的实数也是圆周率π，二者相等；无穷级数4×（1-1/3+1/5_1/7 ……+(-1)^n×1/(2n+1)+……）表示的前n项和的无穷数列的极限也是圆周率π，二者相等。其次，分数7/2 的绝对准十进小数是3.5， 所以它大于圆周率，无理数等号10的全能近似无尽小数表达式是3.1622776601683793319988935444327……，所以它也大于圆周率。根号9.3的方根是 3.0495901363953812473643956050021……所以它小于圆周率； 3.1415 作为一个理想实数小于圆周率；3.1516 作为一个理想实数大于圆周率。还需要指出：虽然计算无理数 e×905414851152557371÷783415613826524536 时得到的前32位小数3.1415926535897932384626433832795与圆周率的前32位一致；但如果使用大型计算器计算到小数点后60 位或100位 就可以看到它俩的大小是不一样的，因之是不相等的无理数。所以，现行教科书中把算到的数加上点点点后等于实数的表达式是不完善的。这种表达式会产生有把其它无理数或有理数误认为圆周率的错误见解。应当知道无尽小数是一个无穷数列，它的极限才是一个定数。第六，由于所有理想实数的十进小数的表达式不一定存在（例如圆周率就是如此）， 所以全体实数的十进小数表达式是不存在的，因此人们无法找到与圆周率π挨着的最大与最小理想实数。只能在确定的近似方法下才可以进行这个工作。 例如：在两位小数的近似值的意义下，可以认为圆周率π等于3.14，此时3.13 是挨着3.14的比3.14 小的最大实数;; 而3.15是挨着3.14的比3.14大的最小实数。第七，网友红树提出了“已知三角形三边长，如何计算三个角的大小？”的问题。解决这个问题的第一步是根据余弦定理，算出三个角的余弦值，第二步是使用这三个余弦值应用反三角函数的概念求出这三个角的大小。这个第二步的工作简单说来，使用三角函数表或科学计算器就做到了，但是这样计算的三个数字结果的和不一定是180度。 究其原因，是这三个结果都是近似的。进一步推敲，这些函数表与计算器的制作都只能进行有限次计算的操作，而三角函数及其反函数表达式都是建立在连续性实变数基础上，特别是这些函数的导数与级数研究都需要圆周率这个实数，这时只有先把π看作是一个绝对准的理想实数并使用趋向于无穷的极限方法建立三角函数导数与三角函数级数表达式，但趋向于无穷的极限 是一种达不到的理想，所以在使用这些极限性表达式式时，又必须π的近似值 才能把函数表制作出来， 计算器也只能进行有限次计算，所以上述三个数字结果的和不一定是180度的事实也是必须尊重的，只要误差不太大就可以了，近似与精确、理想与现实之间的相互依存的对立统一关系是必须尊重的。 第八，想说的话与想不到话还很多，作为结束，再指出 以下几点。（1）唯物辩证法下辩证逻辑方法是研究数学理论的根本方法，形式公理是需要的，但对那些公理都必须进行联系实际的说明，例如，虽然希尔伯特提出的几何基础中公理都是应当尊重的，但需要对公理涉及的点、线、面、平行线的实际意义需要 进行联系实际的说明， 对不同的平行公理需要说明使用意义的差别。对ZFC形式集合公理的无穷集合，需要指出它是人们不能元素列举完毕的集合。（2）关于圆周率π的莱布尼茨级数表达式，它的缺点是它隐瞒了必须使用数列极限方法研究它的过程，但这个表达式说明了π与反正切函数的关系，π的无限连分数表达式也可以提出，但也需要使用数列极限方法表示它与π的关系。（3）唯物辩证法下辩证逻辑要求的全面性很难做到，但应尽量做。（4）笔者上网十年，坚持的就是使用唯物辩证法改善数学理论。这个工作也可以说是数学理论的改命。唯物辩证法是我们的武器。我的八点就像是八路军，但我老了，还需要新四军，解放军，还需要有领军者。希望有人继续下去。虽然笔者遭到许多诬蔑谩骂，但不可怕；他们诬蔑我是机械唯物主义者，说明他们也知道唯物主义好，至于笔者是不是机械唯物主义者，我可以检查。如果他们说的对，有根据我们就改正，但他们说的无根据，所以我不接受他们的诬蔑与谩骂。对所有反对者都需要以理说服他们，争取他们。
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发表于 2018-1-7 21:29