用公式法求解特殊佩尔方程

蔡家雄

（1）求 \(x^2 - 41*y^2 = 83\) 的通解公式，毛泽东的 8341 部队，

（2）求 \(x^2 - 41*y^2 = - 83\) 的通解公式 .

ysr

蔡家雄 发表于 2025-2-25 08:34
（1）求 \(x^2 - 29*y^2 = 59\) 的通解公式，

（2）求 \(x^2 - 29*y^2 = - 59\) 的通解公式 .

程序给出如下2组解：
（1）：  x=28  y=5

（2）：  x=75  y=14

ysr

蔡家雄 发表于 2025-2-25 08:37
（1）求 \(x^2 - 41*y^2 = 83\) 的通解公式，毛泽东的 8341 部队，

（2）求 \(x^2 - 41*y^2 = - 83\) 的 ...

程序算的几组解：
（1）：  x=122  y=19
x=698  y=109

（2）：  x=9  y=2

蔡家雄

设 \(p=4k+1\) 是质数，

则 \(x^2 - p*y^2=±p\) 都有解，并求出它的的最小解，

这是 Treenewbee 的解答，

5 [5, 2] [20, 9]
13 [65, 18] [2340, 649]
17 [17, 4] [136, 33]
29 [377, 70] [52780, 9801]
37 [37, 6] [444, 73]
41 [205, 32] [13120, 2049]
53 [1325, 182] [482300, 66249]
61 [232105, 29718],[13795392780, 1766319049]
73 [9125, 1068] [19491000, 2281249]
89 [4717, 500] [4717000, 500001]
97 [55193, 5604],[618603144, 62809633]

蔡家雄

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=±((2n+1)^2+4)\) 的最小解

\((2n+1)^2+4=5, 13, 29, 53, 85, 125, 173, 229, 293, 365, ..... \)

这是 Treenewbee 的解答，

(5,[5,2],[20,9])
(13,[65,18],[2340,649])
(29,[377,70],[52780,9801])
(53,[1325,182],[482300,66249])
(85,[3485,378],[2634660,285769])
(125,[7625,682],[10400500,930249])
(173,[14705,1118],[32880380,2499849])
(229,[25877,1710],[88499340,5848201])
(293,[42485,2482],[210895540,12320649])
(365,[66065,3458],[456905540,23915529])

蔡家雄

古今第一善书：《太上感应篇》

蔡家雄

人身难得，佛法难闻。

蔡家雄

求 \(x^2 - 5y^2=5\) 的正整数解，及求 \(x^2 - 5y^2= -5\) 的正整数解，

x=5 , y=2 .                                                       x=20 , y=9 .

x=85=4*20+5 ,  y=38=4*9+2 .                       x=360=4*85+20 ,  y=161=4*38+9 .

x=1525=4*360+85 ,  y=682=4*161+38 .       x=6460=4*1525+360 ,  y=2889=4*682+161 .


已知： \(x^2 - 97*y^2=±97\) 的，

第 1 对最小解：[55193 , 5604] , [618603144 , 62809633] .
试求出此方程的，
第 2 对最小解：[6933304093145 , 703970372268] , [77708472894572304 , 7890099995189377] .

蔡家雄

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*((2n+1)^2+4)*(2n^2+2n+1)^2 -1\) ,

     \(y=(4n+2)*(n^2+(n+1)^2)*(n^2+(n+1)^2+1)\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=±((2n+1)^2+4)\) 的最小解

\((2n+1)^2+4=5, 13, 29, 53, 85, 125, 173, 229, 293, 365, ..... \)

(5 , [5 , 2] , [20 , 9])
(13 , [65 , 18] , [2340 , 649])
(29 , [377 , 70] , [52780 , 9801])
(53 , [1325 , 182] , [482300 , 66249])
(85 , [3485 , 378] , [2634660 , 285769])
(125 , [7625 , 682] , [10400500 , 930249])
(173 , [14705 , 1118] , [32880380 , 2499849])
(229 , [25877 , 1710] , [88499340 , 5848201])
(293 , [42485 , 2482] , [210895540 , 12320649])
(365 , [66065 , 3458] , [456905540 , 23915529])


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=((2n+1)^2+4)\) 的最小解，

则 \(x=(n^2+(n+1)^2)*((2n+1)^2+4)\) ,  \(y=2*((n+1)(n^2+(n+1)^2) - n^2)\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= - ((2n+1)^2+4)\) 的最小解，

则 \(x=2*(n^2+(n+1)^2)*((2n+1)^2+4)*(2*((n+1)(n^2+(n+1)^2) - n^2))\) ,

    \(y=(n^2+(n+1)^2)*((2n+1)^2+4)*((2n+1)^2+1) -1\) .

蔡家雄

设 p=4k+1 是质数，

则 \(x^2 - p*y^2= ±p\) 都有解，并求出它的最小解，

5 , [5 , 2] , [20 , 9]
13 , [65 , 18] , [2340 , 649]
17 , [17 , 4] , [136 , 33]
29 , [377 , 70] , [52780 , 9801]
37 , [37 , 6] , [444 , 73]
41 , [205 , 32] , [13120 , 2049]
53 , [1325 , 182] , [482300 , 66249]
61 , [232105 , 29718] , [13795392780 , 1766319049]
73 , [9125 , 1068] , [19491000 , 2281249]
89 , [4717 , 500] , [4717000 , 500001]
97 , [55193 , 5604] , [618603144 , 62809633]