[原创]k生素数群的数量公式

白新岭 · 发表于 2021-7-2 15:51

基本定义
群表示论早期是借矩阵的语言描述的，具体定义如下:

如果任何非零方阵的集合的乘法关系和给定群的乘法关系相同，则这个矩阵集合形成群的一个表示，这套矩阵的阶称为表示的维数。如果两个同维表示的矩阵以同一相似变换相关联，则称这两个表示是等价的。如果任何维数大于一的表示的所有矩阵都可以用相同的相似变换转换为相同的块对角矩阵结构，则称此表示为可约表示，反之称为不可约表示。形式地说，一个群G的表示乃一同态，其中V为给定的有限维向量空间，系数布于一个域F，通常取R或C，但在一般域(如局部域或有限域)上的表示也有重要应用。GL(V)表从V上的自同构，或对一给定的基底来说，是阶可逆方阵的集合。若Ker(ρ)是平凡的，则称此表现是忠实的。

若所考虑的群G带有额外的结构(如拓扑群、李群或群概形)，我们通常要求ρ满足相应的条件(如连续性、可微性或者要求它是概形间的态射);在有限群及紧致群以外的情况，通常也须考虑无穷维表示。

一个群G的所有有限维表示构成一个张量范畴，记为RepG;其态射定义如下:

它等价于有限维F[G]-模所构成的范畴。不难验证表示间的同构确由矩阵的相似变换给出。一个表示被称作不可约的，当且仅当它没有在G的作用下不变的非平凡子空间。若一个表现能表成不可约表示的直和，则称之为完全可约的。若取，则紧致群的表示均为完全可约的，对于一般的李群及群概形则复杂得多，完全可约与否通常与半单性有关。

白新岭 · 发表于 2021-7-2 15:51

有限群表示论
设G是有限群，V是复数域 C上的有限维向量空间，GL(V)是V上全体可逆线性变换所组成的群。从G 映入GL(V)的一个同态(见公式1 )称为G的一个表示，而V称为ρ的表示空间。设U是V的一个子空间，若(见公式2)，则称U是V(关于ρ)的一个不变子空间，这时ρ(g)在U上的限制就给出G的一个表示(见公式3)如果没有非零真不变子空间，就说V是不可约表示空间，而ρ称为G的不可约表示;否则就说V和ρ是可约的。如果V有不可约不变子空间V1,V2,…,Vr使V是它们的直和即V=V1+V2+…+Vr，就说ρ 是完全可约的。这时，若ρi(g)=ρ(g)∣vi，则记(见公式4),并说ρ分解成不可约表示ρ1,ρ2,…，ρr的和。有限群表示论的一个重要结果即马施克定理:有限群的任一表示都是完全可约的。因此，研究有限群的表示只要研究它的不可约表示就够了。

设ρ:G→GL(V)是有限群G的一个表示。如果选V的一个基υ1,υ2…,υn,并令(见公式5)

那么映射(见公式6),g∈G,就是从G映入GLn(C)的同态，称为与ρ相应的G的矩阵表示。设相应于V的两个基，ρ分别相应矩阵表示则有可逆矩阵p使(见公式7)。(p实际上是V的两个基的转换矩阵)，这时就说这两个矩阵表示是等价的。

设ρ1和ρ2 是有限群 G的两个表示，表示空间分别是V1和 V2，如果有可逆线性映射 φ:V1→V2使φ(ρ1(g)v1)= ρ2(g)φ(v1),υ1∈V1，g∈G，就说ρ1和ρ2是等价的。显然，两个表示等价，当且仅当它们相应的矩阵表示是等价的。等价的表示并不视为有什么本质区别。

设H是有限群G的子群,x1,x2,…,xk是H在G中一左陪集代表系，ρ是H的一个表示。那么，对每个g∈G规定ρG

见公式8),式中(见公式9)ρG是G的一个表示，即所谓ρ的诱导表示。设ρ和ψ是G的两个表示，规定，其中ρ(g)圱ψ(g)是矩阵ρ(g)和ψ(g)的克罗内克乘积，ρ圱ψ也是G的一个表示，即表示 ρ 与 ψ 的张量积。所谓 m×m 矩阵和n×n矩阵的克罗内克乘积(张量积),是指。它是一个mn×mn矩阵。例如，当m=2，n=3时，(见公式10)设ρ:G→GL(V)是有限群G的一个表示。令χρ(g)=Trρ(g),,则Ⅹρ是定义在G上的函数。显然它在G的共轭类上取相同的值,因此Ⅹρ是G的类函数,Ⅹρ称为表示ρ的特征标。当ρ不可约时,Ⅹρ称为不可约特征标。特征标实际上确定了表示,可以证明，两个表示等价,当且仅当它们的特征标相等。利用特征标还可以证明,G只有有限个不同的不可约特征标,其个数恰好等于G的共轭类的个数。因此研究有限群的不可约特征标是有重要意义的。关于不可约特征标有所谓正交关系，即设Ⅹ1,Ⅹ2,…,Ⅹc是G的不同的不可约特征标，g1,g2,…,gc是G的所有的不同的共轭类中的代表元,而h1,h2,…,hc是这些共轭类中元素个数，则有(见公式11、12) ,式中δij为克罗内克符号。

诱导表示的特征标称为诱导特征标。表示的张量积的特征标是相应特征标的乘积。诱导特征标及与其有关的弗罗贝尼乌斯互反律和特征标乘积的分解，是表示论的主要工具。所谓弗罗贝尼乌斯互反律，即若ρ与ψ分别为G与H的不可约表示,则ψ在ρH(即ρ限制到H上)的完全分解中出现的重数等于ρ在诱导表示 ψG的完全分解中出现的重数。对任意域F亦可象对复数域C那样定义表示空间、表示及特征标等。若F的特征不整除有限群G的阶，则仍然有表示的完全可约性,如果F 同时还是代数封闭的,那么用F代替C，以上的讨论成立。以n记有限群G的所有元素的阶的最小公倍数。H.马施克于1898年曾猜想G 的所有不可约表示皆可在n次分圆域Q(ξn)(ξn为n次本原单位根)中实现, 即如果Ⅹ是G的一个(在复数域C上的)不可约特征标，那么存在一个矩阵表示, 其特征标即Ⅹ 。R.(D.)布饶尔在1945年证明了这个猜想。

将群表示论应用于有限群的研究，最早的最著名的结果是伯恩赛德定理:阶为pαqβ的群是可解群，这里p、q是相异素数,α、β是非负整数。近年来这个定理虽已有了抽象群论的证明，但不如用表示论的原证简捷

白新岭 · 发表于 2021-7-2 15:52

20世纪20年代，E.诺特强调了"模"这一代数结构的重要性,她把有限群G的表示ρ:G→GL(V)的表示空间V看成一个双模，即除了域F的元素作为算子(即V到V的自同态)外，还容许群环F【G】的元素g1,g2,…,gn是G的全部元素)作为算子(见公式13):

并且适合条件(见公式14、15) 的模。反之，给定一个有限维F【G】的模V，显然每个g∈G在V上引起一个可逆线性变换，由此得到G的一个表示。对于F【G】的模，可以与上文完全平行地定义可约性、不可约性及完全可约性。一个F【G】的模是可约的或不可约的或完全可约的,当且仅当G的相应的表示是可约的或不可约的或完全可约的。所谓一个代数A是半单的,是指所有的A模都是完全可约的。因此群代数F【G】是半单的。这样，E.诺特就将代数结构论和群表示论融合为一，推进了这两个分支的发展。

近50年来，布饶尔将群表示论的研究大为深化，他引进了模表示论，研究了群阶除尽域的特征的域上的表示,以及模表示与常表示(即C上的表示)的关系，而群表示论在有限群结构理论中起着日益重要的作用。在这方面的第一个重要结果是费特-汤姆森证明了有长期历史的伯恩赛德猜想:奇数阶群都是可解群。近年来则导致了有限单群分类问题的解决。(见有限单群)

有限群的表示论已推广到无限群，特别是局部紧拓扑群，这成为近代分析的一个主要领域，推广了经典的傅里叶分析。群表示论在理论物理和量子力学中有重要的应用

白新岭 · 发表于 2021-7-2 15:53

特征标
给定G的一个表示，可以得到一个特征标，它是个类函数。特征标理论在有限群分类中占关键地位;在紧致群上，特征标满足舒尔正交关系，又根据彼得-外尔定理，不可约表现的特征标相对于范数在类函数中稠密。请参见特征标理论。

折叠编辑本段诱导与限制
设H为G之子群，<IMG class=tex alt="(G:H) 。以下将定义两个函子(限制)与(诱导)。

若为G的表示，则ρ限制于H给出H的表示，记为。若为H的表示，我们定义。G以右乘法作用在V上。V仍是有限维，记此表示为。诱导表示亦可用矩阵直接计算，或定义为某个主齐性空间的截面;后者可推广至李群与群概形的表示，此时诱导表示的性状与G / H的几何构造密切相关。

弗罗贝尼乌斯互反定理言明:若V,W分别为G,H的表示，则有自然的同构。换言之:为一对伴随函子。

若以特征标表之，上述同构化为一个较弱但较具体的等式。

白新岭 · 发表于 2021-7-2 15:53

好好学一学群表示论。

白新岭 · 发表于 2021-7-2 17:24

二元运算三元运算四元运算
余数统计余数统计余数统计
0 2 0 12 0 30
1 3 1 6 1 41
2 1 2 12 2 35
3 4 3 7 3 35
4 1 4 10 4 41
5 3 5 10 5 30
6 2 6 7 6 44

余数统计余数统计余数统计
1 3 1 9 1 35
2 2 2 10 2 38
3 2 3 9 3 35
4 1 4 10 4 38
5 3 5 10 5 38
6 3 6 7 6 37
0 2 0 9 0 35

余数统计余数统计余数统计
0 2 0 9 0 38
1 3 1 10 1 35
2 2 2 9 2 35
3 3 3 9 3 37
4 3 4 7 4 38
5 1 5 10 5 38
6 2 6 10 6 35

余数统计余数统计余数统计
0 1 0 7 0 41
1 3 1 12 1 35
2 2 2 6 2 35
3 2 3 12 3 41
4 3 4 7 4 30
5 1 5 10 5 44
6 4 6 10 6 30

余数统计余数统计余数统计
0 2 0 12 0 30
1 1 1 12 1 35
2 1 2 10 2 41
3 2 3 7 3 44
4 3 4 6 4 41
5 4 5 7 5 35
6 3 6 10 6 30

余数统计余数统计余数统计
0 2 0 12 0 30
1 1 1 10 1 41
2 3 2 6 2 41
3 3 3 10 3 30
4 1 4 12 4 35
5 2 5 7 5 44
6 4 6 7 6 35

余数统计余数统计余数统计
0 1 0 7 0 37
1 3 1 9 1 35
2 3 2 9 2 35
3 2 3 10 3 38
4 3 4 9 4 35
5 2 5 10 5 38
6 2 6 10 6 38

余数统计余数统计余数统计
0 4 0 6 0 44
1 3 1 7 1 41
2 2 2 10 2 35
3 1 3 12 3 30
4 1 4 12 4 30
5 2 5 10 5 35
6 3 6 7 6 41

余数统计余数统计余数统计
0 3 0 10 0 35
1 1 1 9 1 35
2 2 2 10 2 37
3 2 3 9 3 38
4 3 4 9 4 38
5 2 5 7 5 35
6 3 6 10 6 38

余数统计余数统计余数统计
0 3 0 10 0 35
1 1 1 7 1 35
2 4 2 12 2 41
3 1 3 6 3 30
4 3 4 12 4 44
5 2 5 7 5 30
6 2 6 10 6 41

余数统计余数统计余数统计
0 2 0 9 0 38
1 2 1 9 1 35
2 3 2 7 2 38
3 2 3 10 3 35
4 3 4 10 4 35
5 3 5 9 5 37
6 1 6 10 6 38

余数统计余数统计余数统计
0 4 0 6 0 44
1 2 1 10 1 35
2 1 2 12 2 30
3 3 3 7 3 41
4 3 4 7 4 41
5 1 5 12 5 30
6 2 6 10 6 35

余数统计余数统计余数统计
0 3 0 10 0 35
1 4 1 12 1 41
2 3 2 12 2 44
3 2 3 10 3 41
4 1 4 7 4 35
5 1 5 6 5 30
6 2 6 7 6 30

余数统计余数统计余数统计
0 2 0 12 0 30
1 4 1 7 1 35
2 2 2 7 2 44
3 1 3 12 3 35
4 3 4 10 4 30
5 3 5 6 5 41
6 1 6 10 6 41

余数统计余数统计余数统计
0 1 0 7 0 41
1 2 1 12 1 41
2 4 2 10 2 30
3 2 3 6 3 35
4 1 4 10 4 44
5 3 5 12 5 35
6 3 6 7 6 30

余数统计余数统计余数统计
0 3 0 10 0 35
1 2 1 7 1 35
2 2 2 9 2 38
3 1 3 9 3 35
4 3 4 10 4 38
5 3 5 9 5 38
6 2 6 10 6 37

余数统计余数统计余数统计
0 2 0 9 0 38
1 2 1 10 1 35
2 1 2 10 2 38
3 3 3 7 3 38
4 3 4 9 4 37
5 2 5 9 5 35
6 3 6 10 6 35

余数统计余数统计余数统计
0 1 0 7 0 41
1 2 1 6 1 35
2 3 2 7 2 30
3 4 3 10 3 30
4 3 4 12 4 35
5 2 5 12 5 41
6 1 6 10 6 44

余数统计余数统计余数统计
0 3 0 10 0 35
1 2 1 10 1 37
2 3 2 9 2 38
3 3 3 10 3 38
4 1 4 9 4 35
5 2 5 9 5 38
6 2 6 7 6 35

余数统计余数统计余数统计
0 3 0 10 0 35
1 2 1 10 1 41
2 2 2 7 2 30
3 3 3 12 3 44
4 1 4 6 4 30
5 4 5 12 5 41
6 1 6 7 6 35

余数统计余数统计余数统计
0 4 0 6 0 44
1 1 1 12 1 30
2 3 2 7 2 41
3 2 3 10 3 35
4 2 4 10 4 35
5 3 5 7 5 41
6 1 6 12 6 30

余数统计余数统计余数统计
0 2 0 9 0 38
1 1 1 10 1 38
2 3 2 9 2 37
3 3 3 10 3 35
4 2 4 10 4 35
5 3 5 7 5 38
6 2 6 9 6 35

余数统计余数统计余数统计
0 3 0 10 0 35
1 3 1 9 1 38
2 1 2 9 2 35
3 2 3 7 3 35
4 2 4 10 4 37
5 3 5 10 5 38
6 2 6 9 6 38

余数统计余数统计余数统计
0 2 0 12 0 30
1 3 1 10 1 30
2 4 2 7 2 35
3 3 3 6 3 41
4 2 4 7 4 44
5 1 5 10 5 41
6 1 6 12 6 35

余数统计余数统计余数统计
0 3 0 10 0 35
1 1 1 6 1 30
2 2 2 10 2 41
3 4 3 12 3 41
4 2 4 7 4 30
5 1 5 7 5 35
6 3 6 12 6 44

余数统计余数统计余数统计
0 1 0 7 0 41
1 1 1 10 1 44
2 2 2 12 2 41
3 3 3 12 3 35
4 4 4 10 4 30
5 3 5 7 5 30
6 2 6 6 6 35

余数统计余数统计余数统计
0 2 0 9 0 38
1 3 1 7 1 38
2 3 2 10 2 35
3 1 3 10 3 38
4 2 4 9 4 35
5 2 5 10 5 35
6 3 6 9 6 37

余数统计余数统计余数统计
0 3 0 10 0 35
1 3 1 12 1 44
2 1 2 7 2 35
3 2 3 7 3 30
4 4 4 12 4 41
5 2 5 10 5 41
6 1 6 6 6 30

余数统计余数统计余数统计
0 1 0 7 0 41
1 3 1 7 1 30
2 3 2 12 2 35
3 1 3 10 3 44
4 2 4 6 4 35
5 4 5 10 5 30
6 2 6 12 6 41

余数统计余数统计余数统计
0 3 0 10 0 35
1 3 1 10 1 38
2 2 2 7 2 35
3 3 3 9 3 38
4 2 4 9 4 38
5 2 5 10 5 37
6 1 6 9 6 35

余数统计余数统计余数统计
0 2 0 12 0 30
1 2 1 7 1 44
2 3 2 10 2 30
3 1 3 10 3 41
4 4 4 7 4 35
5 1 5 12 5 35
6 3 6 6 6 41

余数统计余数统计余数统计
0 3 0 10 0 35
1 2 1 9 1 38
2 3 2 10 2 38
3 2 3 10 3 37
4 2 4 7 4 35
5 1 5 9 5 35
6 3 6 9 6 38

余数统计余数统计余数统计
0 3 0 10 0 35
1 2 1 7 1 30
2 1 2 6 2 30
3 1 3 7 3 35
4 2 4 10 4 41
5 3 5 12 5 44
6 4 6 12 6 41

余数统计余数统计余数统计
0 1 0 7 0 37
1 2 1 10 1 38
2 2 2 10 2 38
3 3 3 9 3 35
4 2 4 10 4 38
5 3 5 9 5 35
6 3 6 9 6 35

余数统计余数统计余数统计
0 1 0 7 0 41
1 4 1 10 1 30
2 1 2 10 2 44
3 3 3 7 3 30
4 2 4 12 4 41
5 2 5 6 5 35
6 3 6 12 6 35
这是模7的四类余数参与k元运算的合成方法统计结果。
对于4元运算的合成方法数，每一个值都是7个自然数的平方和（自然数不大于4）.

白新岭 · 发表于 2021-7-2 17:29

白新岭发表于 2021-7-2 17:24
二元运算三元运算四元运算
余数统计余数统计余数统计
0 2 0 12 0 30

模7的4类余数的组合数：\(C_7^4\)=\(C_7^3\)=35, 35种组合方法都在计算之列（对着序1到序35）.发了部分二元，三元的求解组数公式，四元运算的不定方程解组数公式，后期也将陆续发出。

白新岭 · 发表于 2021-7-2 20:17

mod(n,7) 6at^3 6bt^2 6ct d 10周 11周 12周 13周 14周 15周 16周
1→→→ 41 -168 223 -16 4389 6100 8206 10748 13767 17304 21400
2→→→ 30 -90 84 -4 3636 4990 6644 8628 10972 13706 16860
3→→→ 44 -144 160 -10 5190 7140 9526 12392 15782 19740 24310
4→→→ 30 -66 36 0 3960 5390 7128 9204 11648 14490 17760
5→→→ 41 -96 79 -4 5361 7300 9658 12476 15795 19656 24100
6→→→ 35 -57 22 0 4920 6655 8756 11258 14196 17605 21520
7→→0同 35 -42 13 -1 5154 6940 9097 11660 14664 18144 22135
一周汇总 256 -663 617 -35 32610 44515 59015 76366 96824 120645 148085
序20，模7的余数类，2,3,5,7参与四元运算（剩余类1,4,6不参与运算），则x+y+z+u=n的正整数解组数如上，第10个周期，起数为：64，第16个周期止数112，在64至112之间连续49个自然数n。

白新岭 · 发表于 2021-7-2 20:18

mod(n,7) 6at^3 6bt^2 6ct d 10周 11周 12周 13周 14周 15周
1→→→ 41 -168 223 -16 4389 6100 8206 10748 13767 17304
2→→→ 30 -90 84 -4 3636 4990 6644 8628 10972 13706
3→→→ 44 -144 160 -10 5190 7140 9526 12392 15782 19740
4→→→ 30 -66 36 0 3960 5390 7128 9204 11648 14490
5→→→ 41 -96 79 -4 5361 7300 9658 12476 15795 19656
6→→→ 35 -57 22 0 4920 6655 8756 11258 14196 17605
7→→0同 35 -42 13 -1 5154 6940 9097 11660 14664 18144
一周汇总 256 -663 617 -35 32610 44515 59015 76366 96824 120645
第16周的数据去掉了，因为上楼数据有点乱。

白新岭 · 发表于 2021-7-2 20:22

mod(n,7) 6at^3 6bt^2 6ct d 5周 6周 7周 8周 9周 10周 11周
1→→→ 41 -168 223 -16 324 675 1216 1988 3032 4389 6100
2→→→ 30 -90 84 -4 316 620 1074 1708 2552 3636 4990
3→→→ 44 -144 160 -10 440 870 1516 2422 3632 5190 7140
4→→→ 30 -66 36 0 380 720 1218 1904 2808 3960 5390
5→→→ 41 -96 79 -4 516 975 1648 2576 3800 5361 7300
6→→→ 35 -57 22 0 510 940 1561 2408 3516 4920 6655
7→→0同 35 -42 13 -1 564 1020 1672 2555 3704 5154 6940
一周汇总 256 -663 617 -35 3050 5820 9905 15561 23044 32610 44515
从第五周开始，因为数据排版有点乱。

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