数学理论中的 几个应有的概念

elim

把级数解读为无穷次相加就是对级数的张冠李戴．把无尽小数解读为序列也是张冠李戴．

春风晚霞

Jzkyllcjl先生，你的贴文读罢。我为你文革时期的大辩论精神，很感无奈。虽不很乐意，还是勉力回复于次：
第一、Jzkyllcjl先生，既然你也承认“你说的无穷级数表达式①是无穷级数的定义式， 不错。”那么也就承认了“你的 ①是张冠李戴的错误”的批评是错误的；那么也就承认了无穷级数表达式①和表达式②等价的说法是正确的。至于你的“这样的无穷级数可以没有和，例如 调和级数就是如此，  所以你采用的（1）不恰当。”我认为没有什么不恰当的，无论是用定义式①还是用与之等价的②都同样存在“这样的无穷级数可以没有和”的情况。
第二、jzkyllcjl先生认为“无尽不循环小数算不到底是事实，无尽循环小数写不到底也是事实，所以现行教科书中的‘称无尽小数为实数’ 是错误的，应该为无尽小数的底是实数。  数学理论需要在发现其错误后进行改革。”春风晚霞并不否认“无尽不循环小数算不到底是事实，无尽循环小数写不到底也是事实”， 但春风晚霞仍不认同你“改革”的动机。因为春风晚霞认为：任何一个无尽小数都是某个确定数的十进制展开。如π＝3.14159……；1∕３＝0.3333……当我们要计算（１∕3）*π时；我们并不需要由它的不尽小数去作运算即并不需要用（0.3333……）*（3.14159……）去求（１∕3）*π；当求（１∕3）*π的前5位数字时，我们只须求3.14159∕3≈1.0472就行了。由（0.3333……）*（3.14159……）去求（１∕3）*π的前5位数字，那不是吃多了没事干，就是脑壳有问题。现行教科书中的“称无尽小数为实数”没有问题，因为现行教科书对实数的定义是：有理数和无理数统称实数。而有理数和无理数的定义是：能表示成Q∕P（P、Q互质）的数叫有理数，不能表示成Q∕P（P、Q互质）的数叫无理数。因为在现行教科书中：无尽循环小数可化为分数即Q∕P（P、Q互质）的数；无尽不循环小数不能表示成Q∕P（P、Q互质）的数；所以现行教科书“称无尽小数为实数”是没有问题的。
第三、 jzkyllcjl先生认为“关于‘下落物体按照2g 下落的时段长是不是0’的问题， 你哦没有给出解答，徐利治也没有给出解答。 这个问题是形式主义者 无法解答的问题。”这是毫无根据的打胡乱说，徐利治先生在他的《论无限》Ｐ20－21页中是给出了详细的解答的。只是因为公式图文较多，不便录入（更确切的讲应该是你对不同意见总存疑虑），所以我没有贴出详解全文。如果先生有兴趣，可自己去找本《论无限》看去。我可不愿做这种费力不讨好的事哟。
第四、 jzkyllcjl先生认为“根据你的3话，你原来不知道无穷级数和是其前n项和的数列的极限。 那你还是大学理科数学教师吗？”先生说笑话了，我学业最差的学生都知道“无穷级数和是其前n项和”的极限；至于我“还是大学理科数学教师吗？”你叫我怎样回答你呢？这么说吧，我除了职称比你少了一个字外，该享受的待遇并不比你差。教育部門给我的退休工资和各种补贴就是对我教学业绩的认可。所以，我自我感觉还是一个称职“理科数学教师”的。

jzkyllcjl

春风晚霞：第一，几千年来的 数学理论 存在着 许多争论与改革，近代的ZFC 形式公理体系 过去就没有，十九世纪七十年代的无穷集合、实数理论 也只150年的历史，实无穷观点早就被亚里士多德 否定了。近代的 理论 存在着 三分律反例、连续统假设的大难题。存在着 选择公理的 争论。莫绍揆在他的《数理逻辑教程》中讲过“ 迄今各家各派的集合论，凡是能推出数学的都不能证明其不矛盾性，凡是能证明其不矛盾的都不能推出数学”。[美]M.克莱因，以“数学：确定性的丧失”为题指出：从古到今存在着许多不同的数学概念，存在着以公理为基础的形式逻辑主义与直觉主意、实无穷与潜无穷等许多争论。对照这些问题，你是睁眼瞎。
第二，对于徐利治，我已经说过： 瞬时速度的问题 我给他寄过，他说他 老了，没有提出意见。我发表过论文，王学敏 也发表过论文，你有意见 可以具体提出来。 你说的十余次给出了严格的数学证明，均被我的以“无尽循环小数0.333…… 来自于1被3除的运算过程中得到的针对误差界序列{1/10^n}以十进小数为项不足近似值的康托儿基本数列0.3，0.33，0.333，……，它可以简写为0.333……，并称它为无尽循环小数，它的极限是1/3, 但它本身不等于1/3。等式1/3=0.333…… 是不确切的、无根据的 张冠李戴性的错误等式”于以否定。
第三，你是正教授 。 那么， 你应当知道：华东师大《数学分析》下册你 提出的 无穷次加号的无穷级数 不一定有和，有级数和的必要条件是其前n项和序列的极限 存在。忽略这个条件的你提出的（1） 是错误的，不恰当的。

elim

徐利治的數學思想是技術性的, jzkyllcjl 基本上沒有入數學的門. 吃上了狗屎, 搞偏門左道都沒人看上. 被拋棄是不可逆的. 邪說沒人理也是不可避免的.

春风晚霞

第一，jzkyllcjl先生，谁也不否认“几千年来的数学理论存在着许多争论与改革，近代的ZFC 形式公理体系过去就没有，十九世纪七十年代的无穷集合、实数理论 也只150年的历史，实无穷观点早就被亚里士多德否定了。”但数学人都知道，数学在争论中发展。数学史上每一次改革，都使原有的数学概念得以扩展，数学的实用范围得以扩张。如从自然数到完备的有理数环的改革，就在自然数的基础上增添了分数、负数；从而使有理数集对加、减、乘法运算封闭。希帕索斯发现正方形对角线不可公度，引发了第一次数学危机。于是人们在实践的基础上增添了无理数概意，数学的适用范围也扩张到了实数域（即使数的适用范围对加，减、乘、除（除数不为0）、乘方、开方封闭）。现行的实数理论，是对十九世纪七十年代以前的数学理论的继承和发展，概念上增添了集合相关的许多概念。适用范围也在代数运算（即加、减、乘、除、乘方、开方）基础上增添了分折运算（即微积分运算）。微积分产生初期，由于还没有建立起巩固的理论基础，出现了这样那样的问题。唯心主义大主教Berkeley借机发难，诱发了数学史上的第二次危机。为解决数学史上的第二次危机，建立巩固的理论基础，康托尔、戴德金、威尔斯特拉斯建立了极限理论为基础的现行的实数理论。由数学发展史知，每一次数学理论的改革都是以数学概念扩展，数学适用范围扩张为前提的。jzkyllcjl先生所谓的“改革”，不能算是创新，只能算是复古。无尽小数是数的十进制展开的必然结果，π＝3.14159……；√5＝2.236……；1∕3＝0.333……；√3＝1.732……等无尽小数已有数百年历史，除jzkyllcjl先生外，还有谁认为π＝3.14159……；√5＝2.236……；1∕3＝0.333……；√3＝1.732……这些等式不成立？有谁会用（2.236……）^2-(1.732……)^2去计算（√5）^2-(√3)^2呢？所以，jzkyllcjl先生以“无尽小数写不到底，算不到底”、“无尽小娄不是实数，不是定数”为由“改革”现行实数理论，注定是不会成功的。“实无穷观点早就被亚里士多德否定了”这是事实，每个实无穷论者都不否认，但实无穷观点也得到与亚里士多德同时代的柏拉图先生的肯定。上世纪70年代有个叫Monk的学者发表文章说，“数学界中有65%的柏拉图主义者，30%的形式主义者和5%的直觉主义者（即构造主义者）。”所以，jzkyllcjl先生，亚里士多德否定无穷观点可不是你“改革”成功的必要条件啊！“近代的理论存在着三分律反例、连续统假设的大难题。存在着选择公理的争论。”是的，一些对CDW数学指责、栽赃、诬陷不断，借题发挥的情况也层出不穷。但这些不协调的声音并不能影响现行数学在生产实践中的应用。从教育部教学大纲“初中参透集合概念，高中掌握集合基础知识”的规定看，康托尔的实无穷理论还有向下普及的可能。Jzkyllcjl先生，你再不承认也是没有办法的啊！jzkyllcjl先生，莫绍揆先生的《数理逻辑教程》和[美]M.克莱因《数学：确定性的丧失》我都拜读过，我并不排斥他们关于“从古到今存在着许多不同的数学概念，存在着以公理为基础的形式逻辑主义与直觉主意、实无穷与潜无穷等许多争论”的论述。然而对照他们的观点，我确实没有发现他们对你把现有的实数理论，“改革”成系统不连续、运算不封闭的C氏数学的赞赏和支持，这可不能怪我“睁眼瞎”哟！
第二、jzkyllcjl先生，“对于徐利治，我已经说过： 瞬时速度的问题我给他寄过，他说他老了，没有提出意见。”哎呀，jzkyllcjl先生，徐利治先生说“他老了，没有提出意见”那是对你的婉拒哟。其实，徐利治先生并不赞成你的观点。他在他的《论无限》一书中，对你提出的“下落物体按照2g 下落的时段长是不是0”的问题”以及“1∕３＝0.333……”都有论述。但徐老先生比我辈学识高、涵养好，不愿与你这样的、坚定的“唯吾”主义者纠缠。故以此婉言相拒，以乐得享清福。“我发表过论文，王学敏也发表过论文，你有意见可以具体提出来。你说的十余次给出了严格的数学证明，均被我的以‘无尽循环小数0.333…… 来自于1被3除的运算过程中得到的针对误差界序列{1/10^n}以十进小数为项不足近似值的康托儿基本数列0.3，0.33，0.333，……，它可以简写为0.333……，并称它为无尽循环小数，它的极限是1/3, 但它本身不等于1/3。等式1/3=0.333…… 是不确切的、无根据的张冠李戴性的错误等式’于以否定。”是的，像你这样的、坚定的“唯吾”主义者，即使有意见，谁还能具体给你提出来？因为谁给你的１∕３是Ｃ托尔基本序列{0.3，0.33，0.333，……}的“趋向性极限”提意见，你就跟谁急。Jzkyllcjl先生，请你不要忘了“１∕3＝0.333……”既是人类数百年实践的结果，也是严谨的形式逻辑证明的结果，你急又有什么用？
第三， jzkyllcjl先生，我当然知道“华东师大《数学分析》下册你提出的无穷次加号的无穷级数不一定有和，有级数和的必要条件是其前n项和序列的极限存在。”不过，先生有意把级数敛散性的判定和级数的定义混为一起。我也知道“有级数和的必要条件是其前n项和序列的极限存在。”然而，谁说使用无穷级数的定义Ｓ＝u1+u2+……+un……或Ｓ＝∑Un就忽略了定义式就“忽略有级数和的必要条件”呢？按实无穷的观点，Ｓ＝u1+u2+……+un……或Ｓ＝∑Un收敛可是Sn的极限存在的充分必要条件嘛。（参见华东师大《数学分析》定理12.5、定理12.6）同时，常用的比式判别法、根式判别法、阿贝尔判别法中用的可是相邻两项有比值（比式判别法、阿贝尔差别法）和通项的算术根为据。根据“有级数和的必要条件是其前n项和序列的极限存在”这个必要条件去判定的几乎没有。所以，现行教科书“提出的（1）是错误的，不恰当的”是jzkyllcjl先生不当的批评。

jzkyllcjl

春风晚霞：第一， 你第一说到每一次数学理论的改革都是以数学概念扩展，数学适用范围扩张为前提的。那么亚里士多德、欧几里得的《 几何原本》 抛弃实无穷的做法也是数学概念的扩展吗？你第一中说到： 没有人用（2.236……）^2-(1.732……)^2去计算（√5）^2-(√3)^2 的意思，你的。那么1.732…… 就不能等于√3。所以你坚持的现行实数理论 需要改革。
第二，你坚持 不使用数列极限方法,.而使用 无穷次加法得到１∕3＝0.333……，那么 你为什么不使用无穷次加法 计算你的S=1—1/2+(1/2)^2 +……=2/3 呢?
第三，参看华东师大《数学分析》下册1981年版，达朗贝尔判别法的证明，用了几何级数，因此 就用了其前n项和序列的极限存在”这个必要条件。比式判别法、也是如此。

elim

在级数，极限话题中扯实无穷，无穷次加法纯粹是吃狗屎撑的．极限的应用常与运动，过程有关，但其数学处理只能是超越过程和有限操作的分析．数值计算连 lim(1/n)=0 这么简单的极限都没法得到．极限理论的严格化是通过柯西，魏尔斯托拉斯．等人实现的．做法是彻底驱逐自在自为的无穷小观念，视极限为聚点．如果进一步追究基础，那么就涉及实数及超实数理论．在这个层次，点的测度为0，实数系的连续性必然导致实无穷．在这个意义上，反实无穷的亚力斯多德，高斯，庞加莱，小心翼翼迥避无穷的欧几里德骨子里都依赖实无穷．数学的发展历程，本质上就是集合论在各数学分枝中的贯彻，应用过程；数学基础的发展过程，就是集合论的明确化精致化过程．而集合论本质上只能是实无穷的．换言之，不存在非实无穷的集合论．

春风晚霞

第一、jzkyllcjl先生，“每一次数学理论的改革都是以数学概念扩展，数学适用范围扩张为前提的”这是对的。欧几得以前的数学缺乏系统性，如毕达哥拉斯的比例论只适用于可公度量，而欧几里得的比例论适用范围比毕达哥拉斯的比例论要宽得多。有数学史家研究表明欧几里得将有理数分为两类，与戴德金分割异曲同工（参见《数学史辞典`》P262），当然欧几里得《几何原本》对数学的贡献较多，与它以前的数学代表作《莱因德纸章书》比，除概念的扩展，适用范围的扩张（从它以前的有理数环扩张到域的雏形，概念上也增添了有理数，无理数即可公度的量和不可公度量……），还首次建立严谨的数理逻辑论证体系…（参见《数学史辞典》P261_P264）。“欧几里得的《 几何原本》 抛弃实无穷的做法”的说法是没有依据的。事实上，我们从“亚里士多德倾向潜无穷，但在阿基里斯与乌龟的问题上含糊其辞，这时大家对无穷都很头疼，以后的数学家从欧几里德开始，都尽量回避无穷的问题，专注于谈得清的有限问题”（参见应行仁《阿基里斯与乌龟悖论解决了吗？》）和“由于在古希腊时代芝诺悖论长久不能获得圆满的解决，无穷逐渐淡出了人们的视线，自欧几里德以后，古希腊人对于无穷基本上采取一种笼统的排斥态度。”（参见杜国平《潜无穷、实无穷探析》）以及《数学史辞典》欧几里得词条的论述中可以看岀，欧几里得回避无穷；笼统排斥无穷就是对亚里士多德潜无穷观的背叛与抗争。“没有人用（2.236……）^2-(1.732……)^2去计算（√5）^2-(√3)^2 ”的意思是，在己知√3=1.732…；√5=2.236…的前题下，正常人是不会用（2.236……）^2-(1.732……)^2去计算（√5）^2-(√3)^2 ”的，因为用（√5）^2-(√3)^2=5-3=2要便捷多，准确得多。所以，除了jzkyllcjl先生外，是没有人去考虑把“无尽小数写到底、算到底”的。
第二、jzkyllcjl先生，对于简单的无限循环小数0.aaa…（a∈｛x|1≤x≤8，x∈N｝确实可以不用数列极限方法（当然更不用你的“趋向性极限”）求0.aaa…的值。具体操作如下，（1）用反证法证得0.999…=1；（2）用9除0.999…=1的两端得0.111…=1/9（把该等式作为公式）；（3）把公式两端同乘以a得：0.aaa…=a/9。对于交错级数S=1—1/2+(1/2)^2 +……，我们亦可根据无穷递缩等比数列所有项和S=a1/(1-q)，q∈（-1，1）（也不用你的“趋何性极限”）算得：S=1—1/2+(1/2)^2 +……=2/3。
第三、《数学分析》中级数敛散性的判别方法（比值法、根值法、阿贝尔判别法）都是根据几何级数的敛散性为依据的。我们说“根据’有级数和的必要条件是其前n项和序列的极限存在’这个必要条件去判定的几乎没有”。并没有排除间接利用无穷递缩等比数列所有项和的公式。更何况现行教科书认为无穷级数表达式①和表达式②是等价的。所以，jzkyllcjl先生对现行教科书“提出的（1）是错误的，不恰当的”的批评才是“错误的，不恰当的”，jzkyllcjl先生，你说呢？

jzkyllcjl

春风晚霞：第一  对你引用的话“从欧几里德开始，都尽量回避无穷的问题”，我已经给你说过 “”不符合事实，事实是，欧几里德的 公设吧2 每条直线 都可以无限延长”。使用了无限两个字。你引用的“亚里士多德倾向潜无穷，但在阿基里斯与乌龟的问题上含糊其辞，也不对。事实上《非标准分析》10.7说到：亚里士多德 讨论了 芝诺悖论问题，他抛弃了实无限 而接受了潜在的 增长着的无限概念“”。最根本的问题，是尊重无尽小数 算不到底写不到底的事实。你的等式 √3=1.732…；√5=2.236… 不成立，你始终没有把1.732… 算到底，算不到底就不是定数。
第二，0.999… 不是定数，，你把它看作定数的做法 是错误的，你证明结果0.999…=1 是错误的。你用的等比级数和的公式的证明用到了 极限，而且这个极限是趋向性质的。q^n  只是趋向于0，但始终不等于0.
第三，间接用，也是用了。①和表达式②是不等价的，因为 你无法进行无穷次加法运算，无穷次加法运算 不等于有穷次加法 序列的极限。 你为什么不使用无穷次加法计算1—1/2+(1/2)^2 +…… 呢？  张冠李戴是错误的逻辑。必须反对它。

elim

无限延长就是说时时有限, 就是回避无穷. 不过有限的线段上没有大小的点已经是实无穷, 这种回避最后还是自欺欺人. 康托及其现代追随者, 也就是数学社会最终还是回到了实事求是, 接受既存的无穷集合, 即无穷公理. 实践表明, 没有无穷公理, 就没有数学基础. 只能回到吃狗屎状态.