推翻数学大厦的蚂蚁问题

春风晚霞

我与曹氏的分歧始于对马克思级数等式的解读。马克思在《数学手稿》中写道：“\(\tfrac{1}{3}\)本身是它自己的极限。如果我们把它展开成无穷级数，\(\tfrac{1}{3}=\)\(\tfrac{3}{10}\)+\(\tfrac{3}{100}\)+\(\tfrac{3}{1000}\)+\(\tfrac{3}{10000}\)+……，\(\tfrac{1}{3}\)成为它无穷级数的级限。”(参见马克思《数学手稿》P19页）。由于曹氏用他的趋向性(趋向但不等于)极限理论，把“\(\tfrac{1}{3}\)本身是它自己的极限”解读成\(\tfrac{1}{3}\)≠\(\tfrac{1}{3}\)；把“\(\tfrac{1}{3}=\)\(\tfrac{3}{10}\)+\(\tfrac{3}{100}\)+\(\tfrac{3}{1000}\)+\(\tfrac{3}{10000}\)+……”解读成\(\tfrac{1}{3}\)≠0.3333…，窃以为曹氏只注意到的极限的趋向性，而过分强调(趋向但不等于)才会出现\(\tfrac{1}{3}\)≠\(\tfrac{1}{3}\)；\(\tfrac{1}{3}\)≠0.3333…这样的有悖于常识的不等式。其实柯西极限趋向说中的\(x_n→a\)本身并不排斥\(x_n=a(x_n→a\)的极端情形)。

春风晚霞

我与青山关于极限论的分歧始于n→∞时\(s_n=1-\tfrac{1}{n}\)是等于1、还是趋向但不等于1的问题。青山的数学依据是曹氏的趋向性极限(即\(s_n→1但s_n≠1\)，哲学依据是整体大于部分)。而我的数学依据是现代分析中\(a_n→a，并不排斥a_n=a(在a_n→a的极端情形时\) )，哲学依据是恩格斯认为：所有部分之和即为整体)。

elim

能不能证明 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n =a\iff  0=\inf_{n\in\mathbb{N}^+}\sup_{k>n}|a_k-a|\)
是检验青山，jzkyllcjl 是否理解什么是分析，什么是极限的一个标准。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2023-12-24 19:38
我与曹氏的分歧始于对马克思级数等式的解读。马克思在《数学手稿》中写道：“\(\tfrac{1}{3}\)本身是它自己 ...

你对马克思《数学手稿》P19页的引述是断章取义，事实是：在你引用马克思等式之前，马克思说了“假如我把它表成级数。那末，1被3除的竖式之后才写了你应用等式，”其次，马克思没有说：1/3=0.3333……。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2023-12-25 00:56
你对马克思《数学手稿》P19页的引述是断章取义，事实是：在你引用马克思等式之前，马克思说了“假如我把 ...

曹先生：
       请您注意极限并非具有“趋向但不等于”的性质，如馬克思的“\(\tfrac{1}{3}\)本身是它自己的极限”就下能解读成\(\tfrac{1}{3}\)≠\(\tfrac{1}{3}\)。现行实数理论中的“任何时候常数的极限都是它自身”也不能根据你的趋向性极限，解读成“任何时候常数的极限都不是它自身”。同时馬克思的“\(\tfrac{1}{3}\)成为它无穷级数的极限”也不能解读成\(\tfrac{1}{3}\)≠\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}[\tfrac{3}{10}+\tfrac{3}{100}+\tfrac{3}{1000}\)+……]\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}[0.3+0.03+0.003+ ….]≠0.3333…\)。
       是的。马克思没说\(\tfrac{1}{3}=0.333…\)，但恩格斯说了“在用3做除数的情况下，有数字横和规则”(参见恩格斯《自然辩证法》人民出版社2018年2月版P190页)。你认为\(\tfrac{1}{3}\)永远除不尽，那是你没有并且也不可能永远除下去。
       另外先生根据柯西的极限趋向说提出的趋向性(趋向但不等于)极限概念并不自洽，从数学实例看“常数任何时候的极限都等于它自身”。即如果数列\(\{a_n\}\)的通项\(a_n=a\)，其中a为常数。所以必有\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\)\(\implies\)n→∞，\(a_n=a\)。对于数列\(\{a_n\}\)的通项\(a_n=f(n)\)，虽然有若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\)\(\implies\)n→∞，\(a_n→a\)，但因n→∞和\(a_n→a\)都是持续的渐近程，黑格尔认为这个过程一定存在一个转折点，在到达这个转折点时，必然会发生“进展之自我完成”(going-together-with-itself)时刻，在该时刻后的\(a_n→a\)必然为\(a_n=a\). 所以现代分析仍有\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\)\(\implies\)n→∞，\(a_n=a\)。所以先生的趋向性(趋向但不等于）极限概念无论从实例上还是从逻辑上看都是不自洽的概念。

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-24 16:22
我与青山关于极限论的分歧始于n→∞时\(s_n=1-\tfrac{1}{n}\)是等于1、还是趋向但不等于1的问题。青山的数 ...

并不排斥 \(a_n=a\), 但一般没有 \(a_n=a\).

痛打落水狗

elim 发表于 2023-12-25 05:37
并不排斥 \(a_n=a\), 但一般没有 \(a_n=a\).

而且如果“可实现”，也应当是\(\exists!n\in\mathbb{N},a_n=a,\)（相当于徐利治的条件ii） 不会是\(n\to\infty, a_n=a.\)（\(\exists!\)是“存在唯一”）。

Nicolas2050

你们看的都是翻译的，为何不看德文原版？再说极限定义看马克思的？不看柯西，魏尔斯特拉斯？笑死。

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-25 05:37
并不排斥 \(a_n=a\), 但一般没有 \(a_n=a\).

elim先生：
        一般情况下也有\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\Longleftrightarrow\)\(a_n=a\quad (n→∞)\).
       【证明】\(\forall\)n∈\(\mathbb{N}^+\)，记\(α_i\)\(=｜a_{n+i}-a｜\quad i∈N\)，则数列\(\{α_i\}\)单调递减。即\(α_i≥a_{i+1}≥0\quad i∈N\).所以inf\(\{α_i\}=0\)(单调有界必有确界). 所以\(α_i=0(i→∞)\). 即\(α_n=a(n→∞)\)(*).  因为\(\{α_i\}\)=\(\displaystyle\sup_{k>n}|a_k-a|\). 所以inf\(\{α_i\}=0\)\(\Longleftrightarrow\)\(\displaystyle\inf_{n∈N^+}\displaystyle\sup_{k>n}|a_k-a|=0\).
       所以由先生233楼所给命题：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\Longleftrightarrow\)\(0=\displaystyle\inf_{n∈N^+}\displaystyle\sup_{k>n}|a_k-a|\)得：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\Longleftrightarrow\)\(0=\displaystyle\inf_{n∈N^+}\displaystyle\sup_{k>n}|a_k-a|\)\(\Longleftrightarrow\)\(α_n=a(n→∞)\). 所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\Longleftrightarrow\)\(a_n=a\quad(n→∞)\)(等价的传递性).
       【注意】命题：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\implies\)\(a_n→a\quad(n→∞)\)，命题必要性得不到证明，极限的唯一性也得不到保证。这便是趋向性(趋向但不等于)极限的致命伤！

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2023-12-25 22:01
elim先生：
        一般情况下也有\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\Longleftrightarrow\)\( ...

2的开方运算得到整序变量的无穷数列1.4，1.41，1.414，……，这个数列的极限是√2，但这个数列永远达不到√2. 只能趋向√2。