用公式法求解特殊佩尔方程

蔡家雄

设 \(p\) 的素因子均为 \(8k -1\) 型 或是 \(8k+1\) 型，

有 \(p\) 的素因子 \(= 7, 17, 23, 31, 41, 47, 71, 73, 79, 89, 97,\) ......

若 \(x^2 - 2*y^2 = ±(2^r*p)\) , ( \(2^r=1, 2, 4, 8, ...\) )

则 \(x^2 - 2*y^2 = ±(2^r*p)\) 必有正整数解和通解公式。



设 \(p\) 的素因子均为 \(30k - 1\) 型 或是 \(30k+1\) 型，

有 \(p\) 的素因子 \(=29, 31, 59, 61, 89, 149, 151, 179, 181,\) ......

若 \(x^2 - 5*y^2 = ±(5^r*p)\) , ( \(5^r=1, 5, 25, 125, ...\) )

则 \(x^2 - 5*y^2 = ±(5^r*p)\) 必有正整数解和通解公式。



设 \(x_{n}\) , \(y_{n}\) 是 \(x^2 - (k^2+1)*y^2 = p\) 的第 \(n\) 个正整数解，

则 \(k*x_{n}+(k^2+1)*y_{n}\) , \(x_{n}+k*y_{n}\) 是 \(x^2 - (k^2+1)*y^2 = - p\) 的第 \(n+d\) 个正整数解。

设 \(x_{n}\) , \(y_{n}\) 是 \(x^2 - (k^2+1)*y^2 = - p\) 的第 \(n\) 个正整数解，

则 \(k*x_{n}+(k^2+1)*y_{n}\) , \(x_{n}+k*y_{n}\) 是 \(x^2 - (k^2+1)*y^2 = p\) 的第 \(n+d\) 个正整数解。

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-3-2 10:29
求 \(x^2 - 5y^2=5\) 的正整数解，及求 \(x^2 - 5y^2= -5\) 的正整数解，

x=5 , y=2 .                  ...

\[x_n=\left(\frac{5}{2}-\sqrt{5}\right) \left(9+4 \sqrt{5}\right)^n+\left(\sqrt{5}+\frac{5}{2}\right) \left(9-4 \sqrt{5}\right)^n\]

\[y_n=\left(\frac{\sqrt{5}}{2}-1\right) \left(4 \sqrt{5}+9\right)^n-\left(\frac{\sqrt{5}}{2}+1\right) \left(9-4 \sqrt{5}\right)^n\]

Treenewbee

\[x^2 - 5y^2= -5\]的解：
\[x_n=\frac{1}{2} \sqrt{5} \left(\left(4 \sqrt{5}+9\right)^n-\left(9-4 \sqrt{5}\right)^n\right)\]
\[y_n=\frac{1}{2} \left(\left(4 \sqrt{5}+9\right)^n+\left(9-4 \sqrt{5}\right)^n\right)\]

蔡家雄

求 \(x^2 - ((2k+1)^2+4)*y^2= ±p \) 的正整数解和通解公式，

设 \(x_{n}\) , \(y_{n}\) 是 \(x^2 - ((2k+1)^2+4)*y^2= p\) 的第 \(n\) 个正整数解，

则 \(X=(2k+1)*(k^2+(k+1)^2+1)*x_n + ((2k+1)^2+4)*(k^2+(k+1)^2)*y_n\) ,

是 \(x^2 - ((2k+1)^2+4)*y^2= - p\) 的第 \(n+d\) 个正整数解。

设 \(x_{n}\) , \(y_{n}\) 是 \(x^2 - ((2k+1)^2+4)*y^2= - p\) 的第 \(n\) 个正整数解，

则 \(Y=(k^2+(k+1)^2)*x_n + (2k+1)*(k^2+(k+1)^2+1)*y_n\)

是 \(x^2 - ((2k+1)^2+4)*y^2= p\) 的第 \(n+d\) 个正整数解。

蔡家雄

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=2*((2n+1)^2+4)+1\) 的最小解，

则 \(x=(2n+1)^2+3\) , \(y=2n+1\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= - (2*((2n+1)^2+4)+1)\) 的最小解，

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+5)/2\) , \(y=((2n+1)^2+3)/2\) .

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-3-16 10:54
求 \(x^2 - 53*y^2= 107\) 的通项公式，

求 \(x_n\)= 52 , ...... 的通解公式，

\[x_n=\text{Round}\left[\frac{1}{4} \left(25 \sqrt{53}+182\right)^n \left(\left(241-33 \sqrt{53}\right) (-1)^n+19 \sqrt{53}-137\right)\right]\]
\[y_n=\text{Round}\left[\frac{\left(25 \sqrt{53}+182\right)^n \left(\left(241-33 \sqrt{53}\right) (-1)^n+19 \sqrt{53}-137\right)}{4 \sqrt{53}}\right]\]

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-3-16 10:58
求 \(x^2 - 53*y^2= - 107\) 的通项公式，

求 \(x_n\)= 189 , ...... 的通解公式，

\[x_n=\text{Round}\left[\frac{1}{4} \left(25 \sqrt{53}+182\right)^n \left(\left(33 \sqrt{53}-241\right) (-1)^n+19 \sqrt{53}-137\right)\right]\]
\[y_n=\text{Round}\left[\frac{\left(25 \sqrt{53}+182\right)^n \left(\left(33 \sqrt{53}-241\right) (-1)^n+19 \sqrt{53}-137\right)}{4 \sqrt{53}}\right]\]

蔡家雄

求 \(x^2 - 533*y^2= 133\) 的通项公式，

求 \(x_{2n+1}\)= 139 , ...... 的通解公式，

求  \(y_{2n+1}\)= 6 , ...... 的通解公式，

求 \(x_{2n+2}\)= 18885 , ...... 的通解公式，

求  \(y_{2n+2}\)= 818 , ...... 的通解公式，

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-3-17 17:08
求 \(x^2 - 533*y^2= 133\) 的通项公式，

求 \(x_{2n+1}\)= 139 , ...... 的通解公式，

\[x_n=\text{Round}\left[\frac{1}{4} \left(265 \sqrt{533}+6118\right)^{\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil } \left(7 \left(49 \sqrt{533}-1131\right) (-1)^n+\left(945 \sqrt{533}-21817\right) \sin \left(\frac{n\pi}{2}\right)+\left(159-7 \sqrt{533}\right) \cos \left(\frac{n\pi }{2}\right)-348 \sqrt{533}+8036\right)\right]\]

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-3-17 17:08
求 \(x^2 - 533*y^2= 133\) 的通项公式，

求 \(x_{2n+1}\)= 139 , ...... 的通解公式，

\[y_n=\text{Round}\left[\frac{1}{4\sqrt{533}} \left(265 \sqrt{533}+6118\right)^{\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil } \left(7 \left(49 \sqrt{533}-1131\right) (-1)^n+\left(945 \sqrt{533}-21817\right) \sin \left(\frac{n\pi}{2}\right)+\left(159-7 \sqrt{533}\right) \cos \left(\frac{n\pi }{2}\right)-348 \sqrt{533}+8036\right)\right]\]