基于偶数哥猜哈-李素对计算公式改进的偶数素对计算式 Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2

愚工688

重生888@ 发表于 2019-5-8 15:31
祝贺您的公式改进后，有很好的结果！

哈-李素对计算公式与实际真值之比的变化是一条曲线，而修正系数欲很好的达到修正目的，它的数值变化也应该是一条曲线。
因此如何使得修正系数t值接近计算值与素对真值之比的倒数，到达修正误差的目的，是修正系数考虑的方向。
当然达到完全一致是不可能的，那么就希望能够控制在修正系数t值接近并且略低于计算值与素对真值之比的倒数，那样就可以使得计算值始终小于素对真值成为素对下界值。
观察计算值的相对误差，可以发现偶数在1亿-10亿的区域素对计算式 Xi(M)的计算值与真值的接近程度最好，相对误差值最小。当然不能排除在此区域与附近的偶数的素对计算值出现正相对误差的可能。
例：
Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   

G(2000000000) = 4238417; Xi(M)≈ 4238910.11     δxi(M)≈ 0.000116  ( t2=  1.104397 )
G(2000000002) = 4897539; Xi(M)≈ 4896281.26     δxi(M)≈-0.000257  ( t2=  1.104397 )
G(2000000004) = 6519934; Xi(M)≈ 6521741.15     δxi(M)≈ 0.000277  ( t2=  1.104397 )

在n＞8 以后，偶数10^n的素对计算式 Xi(M)的相对误差则随n增大而相对误差绝对值在增大。由于连续偶数的素对计算值的相对误差的波动都很小，因此在10^10以后， Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2  作为偶数的素对下界计算值也是可以的。应该不会出现例外状况。
实例；
使用 Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   计算10^10起的连续偶数的素对

  S( 10000000000 ) =  18200488 ;Xi(M)≈ 18179890.52    δxi(M)≈-0.001132  ( t2=  1.095041 )
  S( 10000000002 ) =  27302893 ;Xi(M)≈ 27269835.18    δxi(M)≈-0.001211  ( t2=  1.095041 )
  S( 10000000004 ) =  13655366 ;Xi(M)≈ 13634917.59    δxi(M)≈-0.001497  ( t2=  1.095041 )
  S( 10000000006 ) =  13742400 ;Xi(M)≈ 13727671.77    δxi(M)≈-0.001072  ( t2=  1.095041 )
  S( 10000000008 ) =  27563979 ;Xi(M)≈ 27529546.88    δxi(M)≈-0.001249  ( t2=  1.095041 )
  S( 10000000010 ) =  28031513 ;Xi(M)≈ 27999508.74    δxi(M)≈-0.001142  ( t2=  1.095041 )
  S( 10000000012 ) =  13654956 ;Xi(M)≈ 13637682.56    δxi(M)≈-0.001265  ( t2=  1.095041 )
  S( 10000000014 ) =  27361348 ;Xi(M)≈ 27329246.14    δxi(M)≈-0.001173  ( t2=  1.095041 )
  time start =12:14:57, time end =12:16:07

愚工688

今天是2019-07-05日，就计算日期的百倍为随机偶数起的连续偶数的素对数量：
素对计算式： Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2   

  G(2019070500) = 8672127  ;Xi(N)≈ 8647735.32   δxi( 2019070500 )≈-0.002813;
  G(2019070502) = 3445311  ;Xi(N)≈ 3435854.16   δxi( 2019070502 )≈-0.002745;
  G(2019070504) = 3650199  ;Xi(N)≈ 3639643.88   δxi( 2019070504 )≈-0.002892;
  G(2019070506) = 6526891  ;Xi(N)≈ 6507574.03   δxi( 2019070506 )≈-0.002960;
  G(2019070508) = 4197332  ;Xi(N)≈ 4186063.02   δxi( 2019070508 )≈-0.002685;
  G(2019070510) = 4360469  ;Xi(N)≈ 4347182.49   δxi( 2019070510 )≈-0.003047;
  G(2019070512) = 6464390  ;Xi(N)≈ 6444951.03   δxi( 2019070512 )≈-0.003007;
  G(2019070514) = 3209725  ;Xi(N)≈ 3201324.88   δxi( 2019070514 )≈-0.002617;
  G(2019070516) = 3211558  ;Xi(N)≈ 3202691.35   δxi( 2019070516 )≈-0.002761;
  G(2019070518) = 6838413  ;Xi(N)≈ 6821732.59   δxi( 2019070518 )≈-0.002439;
  G(2019070520) = 4320575  ;Xi(N)≈ 4308462.69   δxi( 2019070520 )≈-0.002803;
  G(2019070522) = 3851312  ;Xi(N)≈ 3841909.82   δxi( 2019070522 )≈-0.002441;
  time start =13:15:14      end time =13:15:51

白新岭

愚工688的高精度计算式，的确精度相当高。
用程序计算实际素数对能力也超强。

愚工688

白新岭 发表于 2019-7-5 05:59
愚工688的高精度计算式，的确精度相当高。
用程序计算实际素数对能力也超强。

你的计算式的计算精度也不错的。
一般来说，大偶数素数对的计算式比较麻烦的事，因为要想知道自己的计算精度，非得真值不可。而大偶数的素对真值的筛选是很费时间的。
我是正好遇到黄博士赠予我一个筛选程序，否则我自己的程序是不可能筛选1亿以上的偶数的。

愚工688

今天是2019-08-24日，以日期的40倍为随机数，计算连续偶数的素对数量。
  计算式： Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2   ；( t1=1.358-log(M)^(2.045/3)*.03178 )

  G(807632960) = 1917777   ;Xi(M)≈ 1915609.15   δxi( 807632960 )≈-0.0011305；
  G(807632962) = 1488538   ;Xi(M)≈ 1488149.06   δxi( 807632962 )≈-0.0002613；
  G(807632964) = 2829393   ;Xi(M)≈ 2826829.37   δxi( 807632964 )≈-0.0009061；
  G(807632966) = 1800963   ;Xi(M)≈ 1800045.99   δxi( 807632966 )≈-0.0005092；
  G(807632968) = 1407099   ;Xi(M)≈ 1405474.15   δxi( 807632968 )≈-0.0011549；
  G(807632970) = 3751926   ;Xi(M)≈ 3749691.46   δxi( 807632970 )≈-0.0005956；
  G(807632972) = 1405685   ;Xi(M)≈ 1405474.15   δxi( 807632972 )≈-0.0001501；
  G(807632974) = 1530111   ;Xi(M)≈ 1528568      δxi( 807632974 )≈-0.0010084；
  G(807632976) = 2813210   ;Xi(M)≈ 2810948.32   δxi( 807632976 )≈-0.0008041；
  G(807632978) = 1407985   ;Xi(M)≈ 1405474.16   δxi( 807632978 )≈-0.0017834；
  time start =22:21:17      end time =22:21:33

重生888@

c1也固定吗？

愚工688

重生888@ 发表于 2019-8-27 05:45
c1也固定吗？

c1 类似拉曼纽扬系数C（N），也是随偶数含有的素因子变化而变化。

(一）拉曼纽扬系数C（N）=C2A（N）*C2B（N）。
(二）C2A（N）= PI(1-1/（P-1）^2）[这里P为大于“2”，N以内的全部素数]
(三）C2B（N）= PI((P-1)/(P-2))[这里P为大于“2”，能整除N的全部素数]

我这里的C1类似拉曼纽扬系数C（N），又有所不同：
C1（N）=C2A（N）*C2B（N），
C2A（N）= PI(1-1/（P-1）^2）[这里P为√N以内的全部奇素数]
C2B（N）= PI((P1-1)/(P1-2))[这里P1为偶数N的√N以内全部奇素数因子]

C1与拉曼纽扬系数C（N）比较，计算值差别很小，但是计算过程就简单快捷多了。
可以想象一下，计算一个100亿左右的偶数，C1只需要计算到10万内的素数，C（N）则需要计算到100亿内的素数，而大数的全部素数的筛出是很费时间的。

当然对一些特殊的偶数，C1（N）的计算式简单的。譬如
2^n类型偶数，只要稍微大一些，C1（N）可以取极限值0.6601667；
10*2^n类型偶数，C1（N）可以取极限值  4/3*0.6601667；
……

重生888@

愚工688 发表于 2019-8-27 17:34
c1 类似拉曼纽扬系数C（N），也是随偶数含有的素因子变化而变化。

(一）拉曼纽扬系数C（N）=C2A（N ...

祝贺先生公式越来越简单！

朱明君

计算和为52的两个质数

(52/2)/2=13组

    52=1+51
          3+49
          5+47
          7+45
          9+43
          11+41
          13+39      
          15+37
          17+35
          19+33
          21+31
          23+29
          25+27

     52/2=26
         （26-2）/3=8，                    {9，15，21，27，33，39，45，51}
         （26-8）/5=3-（3/3）=2，    {25，35}
         （26-18）/7=1，                   {49}
   
     25+27= 52
                 

   13-[(8+2-1)+1]=3组，      {5+47}， {11+41},   {23+29}

重生888@

朱明君 发表于 2019-8-27 19:52
计算和为52的两个质数

(52/2)/2=13组

明君先生，您的计算式，并没做到统一！  54  56  58   60......    52还有11+41   在你式子里，你没算！