父亲的哥德巴赫猜想

yangchuanju

砝码与称重问题
在本博文中王守恩先生曾多次提及一个砝码与称重问题：
有20套不同的整重量单位的砝码，每套2颗，只允许在天平一端放2颗砝码，问可称出多少不同的重量？
这里还要增加一个附加条件，20套砝码的重量是连续的整重量单位，如都是1-20克；
或者不是连续的整重量单位，如分别是3,5,7,11，……73克（特意规定它们的重量都是素数）。
粗略浏览本博文，未曾找到正式答案。
现略解如下，仅供参考。

当20套砝码的重量是连续的整重量单位，分别是1-20克时，最多可称出40种不同的重量：1,2,3，……40克；
当20套砝码的重量是奇素数整重量单位，分别是3,5,7,11，……73克时，最多可称出71种不同的重量：6,8,10,……146克；
当砝码是其它重量时从略。

王守恩老师：
您的题意是如此吗？

改错和更正：
上述两种答案都不全对，
当20套砝码的重量是连续的整重量单位，分别是1-20克时，最多可称出39种不同的重量：2,3，……40克，称不出1克；
当20套砝码的重量是奇素数整重量单位，分别是3,5,7,11，……73克时，最多可称出70种不同的重量：6,8,10,……134,138，……146克，称不出136克。

wlc1

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费尔马1

砝码与称重问题
在本博文中王守恩先生曾多次提及一个砝码与称重问题：
有20套不同的整重量单位的砝码，每套2颗，只允许在天平一端放2颗砝码，问可称出多少不同的重量？
解:C(20，2)=190，
总数是190+20=210种重量。
请问王守恩老师，学生的答案对吗？谢谢老师。

费尔马1

我的理解题意是这样的:这20套不同的砝码，不一定是连续的正整数，只要是20个各不相同的正整数就行，每套两个一样的砝码，又因为一端只允许放两个砝码，意思是放三个不行，放一个也不行，……，这样就可以这样来解:解:C(20，2)=190，
总数是190+20=210(种）
老师们看看是不是啊？

费尔马1

可以这样试试，选二十个数，1^2  2^2  3^2  4^2……20^2，即1 4  9  16……400，这样的20个数，就有210种不同的称重。时间仓促，我也没有仔细解题，请老师审核一下，谢谢老师！

费尔马1

这类题是区域解，本题解的上限是210，下限是39，老师们验证一下，是不是啊？

yangchuanju

3，天平只允许一边放砝码，且砝码个数只能是两个奇数，则砝码最佳配置是。。。。。。。。。。。。。。。。

可称出210种不同重量的最佳配置是：1,3,9,27，……1162261467（=3^19）;

用1,9,25，……1521，最多可称出167种不同的重量；
用1,2,3，……20，最多可称出39种不同的重量；
用1,4,9，……400，最多可称出183种不同的重量；
用1,2,4,8，……524288，也可称出210种不同的重量！

yangchuanju

4，天平只允许一边放砝码，且砝码个数只能是两个素数，则砝码最佳配置是。。。。。。。。。。。。。。。。

以十家村中的第一组20生素数做砝码，经计算可得141种不同的重量，非最佳；十家村第一组20生素数是：
3324648277099157
3324648277099159
3324648277099211
3324648277099213
3324648277099229
3324648277099231
3324648277099241
3324648277099243
3324648277099307
3324648277099309
3324648277099319
3324648277099321
3324648277099337
3324648277099339
3324648277099397
3324648277099399
3324648277099421
3324648277099423
3324648277099451
3324648277099453

另以第28-47号梅森素数的素数指数为“砝码”进行称重，可得210种不同的重量，是一种最佳素数配置。
该20个素数是：
28        86243
29        110503
30        132049
31        216091
32        756839
33        859433
34        1257787
35        1398269
36        2976221
37        3021377
38        6972593
39        13466917
40        20996011
41        24036583
42        25964951
43        30402457
44        32582657
45        37156667
46        42643801
47        43112609

cz1

wlc1

wlc1 发表于 2021-8-2 13:01
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