用公式法求解特殊佩尔方程

蔡家雄

求 $x^2 - 533*y^2= - 133$ 的通项公式，

求 $x_{2n+1}$= 20 , ...... 的通解公式，

求  $y_{2n+1}$= 1 , ...... 的通解公式，

求 $x_{2n+2}$= 2932 , ...... 的通解公式，

求  $y_{2n+2}$= 127 , ...... 的通解公式，

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-3-21 22:57
求 $x^2 - 533*y^2= - 133$ 的通项公式，

求 $x_{2n+1}$= 20 , ...... 的通解公式，

$$x_n=\left\lfloor \frac{1}{4} \left(265 \sqrt{533}+6118\right)^{\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil } \left(7 \left(49 \sqrt{533}-1131\right) (-1)^n+\left(21817-945 \sqrt{533}\right) \sin \left(\frac{n\pi }{2}\right)-\left(159-7 \sqrt{533}\right) \cos \left(\frac{n\pi }{2}\right)-348 \sqrt{533}+8036\right)\right\rfloor$$

$$y_n=\left\lfloor \frac{1}{4\sqrt{533}} \left(265 \sqrt{533}+6118\right)^{\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil } \left(7 \left(49 \sqrt{533}-1131\right) (-1)^n+\left(21817-945 \sqrt{533}\right) \sin \left(\frac{n\pi }{2}\right)-\left(159-7 \sqrt{533}\right) \cos \left(\frac{n\pi}{2}\right)-348 \sqrt{533}+8036\right)\right\rfloor$$

{20,1},
{2932,127},
{1697872,73543},
{231076840,10009049},
{3225470800,139710649},
{438979852408,19014328103},
{254204883085588,11010835749887},
{34596754699594340,1498551793547201},
{482916514083818380,20917436175664001},
{65723930930610329852,2846819461254072767},
{38059478325699541814552,1648539003200685100583},
{5179815665403345076232480,224362721967245272456249},
{72302114647842031314978440,3131752227154689039481049},
{9840167090303837102141972288,426224949999482456930936263},
{5698253600961280785008214359708,246818761700427595641550634047},
{775520437119857838406559183796700,33591518975393926585525524945601},
{10825050769836284797268600829492740,468884997660427421357576557339201},
{1473266845029829153449960313473399172,63814270793987610761178322899535807},{853140808263335430765154455755203313632,36953630462521984441780073980540257223},{116110685638413100189347176813823341164120,5029312076357247895056330798901575692249},{1620723332094555996986931493232171211014080,70201320246449896944822885022015817800249},{220577067111278812005956625941385552923317768,9554253351366044872680218629182528433290023},{127731984164662479468605233077742617037367963428,5532686392852391582165249558356549546719244607},{17384056788356145784072365009860394457883831039060,752987085219960061367450564805716058842136275201}

ysr

蔡家雄 发表于 2025-3-28 13:32
同时有解现象，同时无解现象，这是真的吗？

若 $x^2 - (2*13)*y^2= -1$ 有解，则 \(x^2 - (2*13^2)*y^ ...

x^2-26y^2=-1有解：
x=5  y=1
x=515  y=101
x=52525  y=10301
x=5357035  y=1050601

0.5527344秒是10000 000 内的解

x^2-338y^2=-1有解：
x=239  y=13
x=54608393  y=2970305

5.548828秒是10000 0000 内的解

ysr

蔡家雄 发表于 2025-3-28 13:32
同时有解现象，同时无解现象，这是真的吗？

若 $x^2 - (2*13)*y^2= -1$ 有解，则 \(x^2 - (2*13^2)*y^ ...

x^2-74y^2=-1有解：
x=43  y=5
x=318157  y=36985

0.546875秒是10000 000内的解

x^2-2738y^2=-1有解：
x=9369319  y=179057

5.552734秒是10000 0000 内的解

蔡家雄

A031398 数据 无4k+3 的素因子，但方程 不存在 正整数解，

A031398 Squarefree m with no 4k+3 factors such that Pell equation x^2 - m*y^2 = -1 is insoluble.

34, 146, 178, 194, 205, 221, 305, 377, 386, 410, 466, 482, 505, 514, 545, 562, 674, 689, 706, 745, 793, 802, 866, 890, 898, 905,

1154, 1186, 1202, 1205, 1234, 1282, 1345, 1346, 1394, 1405, 1469, 1513, 1517, 1537, 1538, 1717, 1762, 1802, 1858 , ...

蔡家雄

若 $4k+1$ 是质数，

则 $x^2 - (4k+1)^3*y^2= -1$ 必有正整数解，，

则 $x^2 - (4k+1)*((4k+1)*y)^2= -1$ 必有正整数解，，

但 $x^2 - 2*(4k+1)^3*y^2= -1$ 可能有解，可能无解。

蔡家雄

A031396 数据 无4k+3 的素因子，此方程 存在 正整数解，

A031396 Numbers m such that Pell equation x^2 - m*y^2 = -1 is soluble.

2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 50, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, 101, 106, 109, 113, 122, 125, 130, 137, 145, 149,

157, 170, 173, 181, 185, 193, 197, 202, 218, 226, 229, 233, 241, 250, 257, 265, 269, 274, 277, 281, 290, 293, 298 , ...

A031397 数据 无4k+3 的素因子，此方程 存在 正整数解，

A031397 Nonsquarefree m such that Pell equation x^2 - m*y^2 = -1 is soluble.

50, 125, 250, 325, 338, 425, 845, 925, 1025, 1250, 1325, 1445, 1450, 1525, 1625, 1682, 1825, 1850, 2050, 2125, 2197, 2425,

2725, 2738, 2825, 2873, 2890, 3050, 3125, 3250, 3425, 3625, 3725, 3925, 4250, 4325, 4394, 4625, 4825, 4901, 4913 , ...

数据表明：m=13^3=2197 有解，，m=2*13^3=4394 有解，，

数据表明：m=17^3=4913 有解，，m=2*17^3=9826 有解吗？

蔡家雄

若 $4k+1$ 是质数，

则 $x^2 - (4k+1)^3*y^2= -1$ 必有正整数解，，

则 $x^2 - (4k+1)*((4k+1)*y)^2= -1$ 必有正整数解，，

但 $x^2 - 2*(4k+1)^3*y^2= -1$ 可能有解，可能无解。

蔡家雄

若 $4k+1$ 和 $4k+1+2^{2t+1}$ 都是质数，其中 $t>=1$ ，

则 $x^2 - (4k+1)(4k+1+2^{2t+1})*y^2= -1$ 必有正整数解，，

蔡家雄

同时 无解的 佩尔方程，

设 $4k+1=a^2+4^2=b^2+16^2$ ，

则 $4k+1=$305, 377, 545, 3737 这四个数值，

则 $x^2 -(4k+1)*y^2= -1$ 都无 正整数解，，