\(C_{ai}\)问题之\(AI\)证明

蔡家雄

同邻距的三连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

设 0 < a < b 是偶数，

当 p=13 时，

求 九元素数组（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b ）的解。


|  组别 | 三生素数             |      间距      |    和    | 下一组首项 |
| :-: | :--------------- | :----------: | :-----: | :---: |
| 第一组 | (13, 19, 191)    | $a=6, b=178$ | **223** | 223  |
| 第二组 | (223, 229, 401)  | $a=6, b=178$ | **853** | 853  |
| 第三组 | (853, 859, 1031) | $a=6, b=178$ |    —    |   —   |

所有9个元素均为素数，且满足"前一组和等于后一组首项"的迭代生成规则。

其他解（前5个）

|  序号 | $a$ | $b$ | 九元素数组                                            |
| :-: | :-: | :-- | :----------------------------------------------- |
|  2  |  6  | 388 | (13, 19, 401, 433, 439, 821, 1693, 1699, 2081)   |
|  3  |  88 | 186 | (13, 101, 199, 313, 401, 499, 1213, 1301, 1399)  |
|  4  |  88 | 726 | (13, 101, 739, 853, 941, 1579, 3373, 3461, 4099) |
|  5  |  90 | 244 | (13, 103, 257, 373, 463, 617, 1453, 1543, 1697)  |

这种"和生成下一项"的素数三元组结构在数论中属于特殊的自指迭代系统，

蔡家雄

同邻距的三连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

设 0 < a < b 是偶数，

当 p=17 时，

求 九元素数组（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b ）的解。


|  序号 |      (a, b)     | 九元素数组                                                      |
| :-: | :-------------: | :--------------------------------------------------------- |
|  1  |   **(2, 174)**  | **(17, 19, 191, 227, 229, 401, 857, 859, 1031)**           |
|  2  |  **(26, 936)**  | **(17, 43, 953, 1013, 1039, 1949, 4001, 4027, 4937)**      |
|  3  |  **(26, 2280)** | **(17, 43, 2297, 2357, 2383, 4637, 9377, 9403, 11657)**    |
|  4  |  **(62, 2844)** | **(17, 79, 2861, 2957, 3019, 5801, 11777, 11839, 14621)**  |
|  5  |  **(66, 1970)** | **(17, 83, 1987, 2087, 2153, 4057, 8297, 8363, 10267)**    |
|  6  |  **(72, 2354)** | **(17, 89, 2371, 2477, 2549, 4831, 9857, 9929, 12211)**    |
|  7  |  **(84, 182)**  | **(17, 101, 199, 317, 401, 499, 1217, 1301, 1399)**        |
|  8  |  **(84, 3542)** | **(17, 101, 3559, 3677, 3761, 7219, 14657, 14741, 18199)** |
|  9  |  **(86, 1080)** | **(17, 103, 1097, 1217, 1303, 2297, 4817, 4903, 5897)**    |
|  10 |  **(86, 2526)** | **(17, 103, 2543, 2663, 2749, 5189, 10601, 10687, 13127)** |
|  11 |  **(92, 1554)** | **(17, 109, 1571, 1697, 1789, 3251, 6737, 6829, 8291)**    |
|  12 |  **(96, 3776)** | **(17, 113, 3793, 3923, 4019, 7699, 15641, 15737, 19417)** |
|  13 |  **(114, 422)** | **(17, 131, 439, 587, 701, 1009, 2297, 2411, 2719)**       |
|  14 |  **(122, 444)** | **(17, 139, 461, 617, 739, 1061, 2417, 2539, 2861)**       |
|  15 | **(174, 1472)** | **(17, 191, 1489, 1697, 1871, 3169, 6737, 6911, 8209)**    |

蔡家雄

同邻距的三连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

设 0 < a < b 是偶数，

当 p=19 时，

求 九元素数组（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b ）的解。


|   序号  |    a   |    b    | 邻距模式 (a, b-a) |         第1组        |           第2组          |           第3组           |
| :---: | :----: | :-----: | :-----------: | :----------------: | :--------------------: | :---------------------: |
|   1   |   12   |   2602  |   (12, 2590)  |   \[19, 31, 2621]  |   \[2671, 2683, 5273]  |  \[10627, 10639, 13229] |
|   2   |   28   |   9114  |   (28, 9086)  |   \[19, 47, 9133]  |  \[9199, 9227, 18313]  |  \[36739, 36767, 45853] |
|   3   |   28   |   9954  |   (28, 9926)  |   \[19, 47, 9973]  | \[10039, 10067, 19993] |  \[40099, 40127, 50053] |
| **4** | **40** | **180** | **(40, 140)** | **\[19, 59, 199]** |  **\[277, 317, 457]**  | **\[1051, 1091, 1231]** |
|   5   |   40   |   1770  |   (40, 1730)  |   \[19, 59, 1789]  |   \[1867, 1907, 3637]  |   \[7411, 7451, 9181]   |
|   6   |   42   |   6682  |   (42, 6640)  |   \[19, 61, 6701]  |  \[6781, 6823, 13463]  |  \[27067, 27109, 33749] |
|   7   |   42   |   7210  |   (42, 7168)  |   \[19, 61, 7229]  |  \[7309, 7351, 14519]  |  \[29179, 29221, 36389] |
|   8   |   42   |   9832  |   (42, 9790)  |   \[19, 61, 9851]  |  \[9931, 9973, 19763]  |  \[39667, 39709, 49499] |
|   9   |   52   |   3060  |   (52, 3008)  |   \[19, 71, 3079]  |   \[3169, 3221, 6229]  |  \[12619, 12671, 15679] |
|   10  |   52   |   4992  |   (52, 4940)  |   \[19, 71, 5011]  |  \[5101, 5153, 10093]  |  \[20347, 20399, 25339] |

蔡家雄

同邻距的三连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

设 0 < a < b 是偶数，

当 p=23 时，

求 九元素数组（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b ）的解。


|  序号 |   a  |   b  |  b-a | 第一组和 |  第二组和 | 九元素数组                                                   |
| :-: | :--: | :--: | :--: | :--: | :---: | :------------------------------------------------------ |
|  1  |  14  |  84  |  70  |  167 |  599  | **(23, 37, 107, 167, 181, 251, 599, 613, 683)**         |
|  2  |  240 |  260 |  20  |  569 |  2207 | (23, 263, 283, 569, 809, 829, 2207, 2447, 2467)         |
|  3  |  150 |  350 |  200 |  569 |  2207 | (23, 173, 373, 569, 719, 919, 2207, 2357, 2557)         |
|  4  |  66  |  518 |  452 |  653 |  2543 | (23, 89, 541, 653, 719, 1171, 2543, 2609, 3061)         |
|  5  |   8  |  576 |  568 |  653 |  2543 | (23, 31, 599, 653, 661, 1229, 2543, 2551, 3119)         |
|  6  |   6  |  578 |  572 |  653 |  2543 | (23, 29, 601, 653, 659, 1231, 2543, 2549, 3121)         |
|  7  |  104 |  774 |  670 |  947 |  3719 | (23, 127, 797, 947, 1051, 1721, 3719, 3823, 4493)       |
|  8  |  20  |  930 |  910 | 1019 |  4007 | (23, 43, 953, 1019, 1039, 1949, 4007, 4027, 4937)       |
|  9  |  434 |  924 |  490 | 1427 |  5639 | (23, 457, 947, 1427, 1861, 2351, 5639, 6073, 6563)      |
|  10 |  464 |  954 |  490 | 1487 |  5879 | (23, 487, 977, 1487, 1951, 2441, 5879, 6343, 6833)      |
|  11 |  750 |  764 |  14  | 1583 |  6263 | (23, 773, 787, 1583, 2333, 2347, 6263, 7013, 7027)      |
|  12 |  420 | 1064 |  644 | 1553 |  6143 | (23, 443, 1087, 1553, 1973, 2617, 6143, 6563, 7207)     |
|  13 |  218 | 1296 | 1078 | 1583 |  6263 | (23, 241, 1319, 1583, 1801, 2879, 6263, 6481, 7559)     |
|  14 |  216 | 1448 | 1232 | 1733 |  6863 | (23, 239, 1471, 1733, 1949, 3181, 6863, 7079, 8311)     |
|  15 |  884 |  954 |  70  | 1907 |  7559 | (23, 907, 977, 1907, 2791, 2861, 7559, 8443, 8513)      |
|  16 |  486 | 1358 |  872 | 1913 |  7583 | (23, 509, 1381, 1913, 2399, 3271, 7583, 8069, 8941)     |
|  17 |  324 | 1520 | 1196 | 1913 |  7583 | (23, 347, 1543, 1913, 2237, 3433, 7583, 7907, 9103)     |
|  18 |  240 | 1604 | 1364 | 1913 |  7583 | (23, 263, 1627, 1913, 2153, 3517, 7583, 7823, 9187)     |
|  19 |  620 | 1350 |  730 | 2039 |  8087 | (23, 643, 1373, 2039, 2659, 3389, 8087, 8707, 9437)     |
|  20 |  260 | 1800 | 1540 | 2129 |  8447 | (23, 283, 1823, 2129, 2389, 3929, 8447, 8707, 10247)    |
|  21 |  924 | 1274 |  350 | 2267 |  8999 | (23, 947, 1297, 2267, 3191, 3541, 8999, 9923, 10273)    |
|  22 | 1074 | 1400 |  326 | 2543 | 10103 | (23, 1097, 1423, 2543, 3617, 3943, 10103, 11177, 11503) |
|  23 |  800 | 1674 |  874 | 2543 | 10103 | (23, 823, 1697, 2543, 3343, 4217, 10103, 10903, 11777)  |
|  24 |  788 | 1686 |  898 | 2543 | 10103 | (23, 811, 1709, 2543, 3331, 4229, 10103, 10891, 11789)  |
|  25 |  764 | 1710 |  946 | 2543 | 10103 | (23, 787, 1733, 2543, 3307, 4253, 10103, 10867, 11813)  |
|  26 |  914 | 1980 | 1066 | 2963 | 11783 | (23, 937, 2003, 2963, 3877, 4943, 11783, 12697, 13763)  |
|  27 | 1634 | 1890 |  256 | 3593 | 14303 | (23, 1657, 1913, 3593, 5227, 5483, 14303, 15937, 16193) |

蔡家雄

同邻距的三连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

设 0 < a < b 是偶数，

当 p=29 时，

求 九元素数组（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b ）的解。


|  解  |   (a, b)   | 九元素数组                                                |
| :-: | :--------: | :--------------------------------------------------- |
|  1  |  (12, 392) | **(29, 41, 421, 491, 503, 883, 1877, 1889, 2269)**   |
|  2  |  (60, 470) | **(29, 89, 499, 617, 677, 1087, 2381, 2441, 2851)**  |
|  3  |  (78, 344) | **(29, 107, 373, 509, 587, 853, 1949, 2027, 2293)**  |
|  4  | (102, 410) | **(29, 131, 439, 599, 701, 1009, 2309, 2411, 2719)** |
|  5  | (134, 288) | **(29, 163, 317, 509, 643, 797, 1949, 2083, 2237)**  |
|  6  | (152, 252) | **(29, 181, 281, 491, 643, 743, 1877, 2029, 2129)**  |
|  7  | (164, 198) | **(29, 193, 227, 449, 613, 647, 1709, 1873, 1907)**  |
|  8  | (170, 360) | **(29, 199, 389, 617, 787, 977, 2381, 2551, 2741)**  |

蔡家雄

同邻距的三连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

最小解：p=5，( 5, 7, 17 ) , ( 29, 31, 41 ) , ( 101, 103, 113 )。

当 p=7 时，

当 p=11 时，( 11, 23, 37 ) , ( 71, 83, 97 ) , ( 251, 263, 277 )。

当 p=13 时，

当 p=17 时，

当 p=19 时，( 19, 59, 199 ) , ( 277, 317, 457 ) , ( 1051, 1091, 1231 )。

当 p=23 时，

当 p=29 时，


蔡家雄猜想：对任一大于5的素数p，

同邻距的三连三生素数，至少有一组九元素数组的解。

设 0 < a < b 是偶数，

求 九元素数组（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b ）的解。

蔡家雄

同邻距的三连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

设 0 < a < b 是偶数，

当 p=31 时，

求 九元素数组（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b ）的解。


|   序号  | $a$ |  $b$ | 九元素数组                                                 |
| :---: | :-: | :--: | :---------------------------------------------------- |
|   1   |  70 |  168 | (31, 101, 199, 331, 401, 499, 1231, 1301, 1399)       |
|   2   | 100 |  408 | (31, 131, 439, 601, 701, 1009, 2311, 2411, 2719)      |
|   3   |  58 |  468 | (31, 89, 499, 619, 677, 1087, 2383, 2441, 2851)       |
|   4   | 168 |  358 | (31, 199, 389, 619, 787, 977, 2383, 2551, 2741)       |
|   5   |  58 |  510 | (31, 89, 541, 661, 719, 1171, 2551, 2609, 3061)       |
|   6   | 390 |  670 | (31, 421, 701, 1153, 1543, 1823, 4519, 4909, 5189)    |
|   7   |  72 | 1066 | (31, 103, 1097, 1231, 1303, 2297, 4831, 4903, 5897)   |
|   8   | 492 |  646 | (31, 523, 677, 1231, 1723, 1877, 4831, 5323, 5477)    |
|   9   | 208 | 1440 | (31, 239, 1471, 1741, 1949, 3181, 6871, 7079, 8311)   |
|   10  | 828 |  940 | (31, 859, 971, 1861, 2689, 2801, 7351, 8179, 8291)    |
|   11  | 322 | 1596 | (31, 353, 1627, 2011, 2333, 3607, 7951, 8273, 9547)   |
|   12  | 336 | 1582 | (31, 367, 1613, 2011, 2347, 3593, 7951, 8287, 9533)   |
|   13  | 468 | 1528 | (31, 499, 1559, 2089, 2557, 3617, 8263, 8731, 9791)   |
|   14  | 246 | 1792 | (31, 277, 1823, 2131, 2377, 3923, 8431, 8677, 10223)  |
|   15  | 400 | 1638 | (31, 431, 1669, 2131, 2531, 3769, 8431, 8831, 10069)  |
|   16  | 610 | 1428 | (31, 641, 1459, 2131, 2741, 3559, 8431, 9041, 9859)   |
|   17  | 702 | 1336 | (31, 733, 1367, 2131, 2833, 3467, 8431, 9133, 9767)   |
|   18  | 688 | 1458 | (31, 719, 1489, 2239, 2927, 3697, 8863, 9551, 10321)  |
|   19  |  12 | 2266 | (31, 43, 2297, 2371, 2383, 4637, 9391, 9403, 11657)   |
|   20  | 880 | 1398 | (31, 911, 1429, 2371, 3251, 3769, 9391, 10271, 10789) |
| 21-99 | ... |  ... |                                                                                               |

结论
当 p=31 时，满足同邻距三连三生素数且前一组之和等于后一组首项条件的九元素数组共有 99 个解（在 b<5000  范围内），

这类解的数量远超预期，展现了素数分布中丰富的结构性规律。

蔡家雄

同邻距的三连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

设 0 < a < b 是偶数，

当 p=37 时，

求 九元素数组（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b ）的解。


|  序号 |   a  |   b  | 九元素数组                                                                        |
| :-: | :--: | :--: | :--------------------------------------------------------------- |
|  1  |   6  |  916 | **(37, 43, 953, 1033, 1039, 1949, 4021, 4027, 4937)**       |
|  2  |  16  |  36  | **(37, 53, 73, 163, 179, 199, 541, 557, 577)**              |
|  3  |  64  |  162 | **(37, 101, 199, 337, 401, 499, 1237, 1301, 1399)**         |
|  4  |  112 |  504 | **(37, 149, 541, 727, 839, 1231, 2797, 2909, 3301)**        |
|  5  |  156 | 1156 | **(37, 193, 1193, 1423, 1579, 2579, 5581, 5737, 6737)**     |
|  6  |  204 | 1282 | **(37, 241, 1319, 1597, 1801, 2879, 6277, 6481, 7559)**     |
|  7  |  246 | 1786 | **(37, 283, 1823, 2143, 2389, 3929, 8461, 8707, 10247)**    |
|  8  |  336 | 1246 | **(37, 373, 1283, 1693, 2029, 2939, 6661, 6997, 7907)**     |
|  9  |  342 | 1894 | **(37, 379, 1931, 2347, 2689, 4241, 9277, 9619, 11171)**    |
|  10 |  364 |  462 | **(37, 401, 499, 937, 1301, 1399, 3637, 4001, 4099)**       |
|  11 |  402 |  784 | **(37, 439, 821, 1297, 1699, 2081, 5077, 5479, 5861)**      |
|  12 |  420 | 1330 | **(37, 457, 1367, 1861, 2281, 3191, 7333, 7753, 8663)**     |
|  13 |  426 |  580 | **(37, 463, 617, 1117, 1543, 1697, 4357, 4783, 4937)**      |
|  14 |  466 |  846 | **(37, 503, 883, 1423, 1889, 2269, 5581, 6047, 6427)**      |
|  15 |  570 |  616 | **(37, 607, 653, 1297, 1867, 1913, 5077, 5647, 5693)**      |
|  16 |  606 | 1336 | **(37, 643, 1373, 2053, 2659, 3389, 8101, 8707, 9437)**     |
|  17 |  654 | 1582 | **(37, 691, 1619, 2347, 3001, 3929, 9277, 9931, 10859)**    |
|  18 |  736 |  750 | **(37, 773, 787, 1597, 2333, 2347, 6277, 7013, 7027)**      |
|  19 |  760 | 1896 | **(37, 797, 1933, 2767, 3527, 4663, 10957, 11717, 12853)**  |
|  20 |  790 | 1446 | **(37, 827, 1483, 2347, 3137, 3793, 9277, 10067, 10723)**   |
|  21 |  822 | 1414 | **(37, 859, 1451, 2347, 3169, 3761, 9277, 10099, 10691)**   |
|  22 |  874 | 1362 | **(37, 911, 1399, 2347, 3221, 3709, 9277, 10151, 10639)**   |
|  23 |  874 | 1392 | **(37, 911, 1429, 2377, 3251, 3769, 9397, 10271, 10789)**   |
|  24 |  910 | 1260 | **(37, 947, 1297, 2281, 3191, 3541, 9013, 9923, 10273)**    |
|  25 |  910 | 1746 | **(37, 947, 1783, 2767, 3677, 4513, 10957, 11867, 12703)**  |
|  26 | 1086 | 1570 | **(37, 1123, 1607, 2767, 3853, 4337, 10957, 12043, 12527)** |
|  27 | 1156 | 1590 | **(37, 1193, 1627, 2857, 4013, 4447, 11317, 12473, 12907)** |
|  28 | 1284 | 1372 | **(37, 1321, 1409, 2767, 4051, 4139, 10957, 12241, 12329)** |
|  29 | 1560 | 1630 | **(37, 1597, 1667, 3301, 4861, 4931, 13093, 14653, 14723)** |
|  30 | 1786 | 1836 | **(37, 1823, 1873, 3733, 5519, 5569, 14821, 16607, 16657)** |

蔡家雄

同邻距的三连三生素数（九元素数组），有 无穷多组的解 ！！！

蔡家雄

同邻距的三连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

设 0 < a < b 是偶数，

当 p=41 时，

求 九元素数组（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b ）的解。


|  组号 |  a  |   b  |  九元素数组                                                   |
| :--: | :---: | :----: |  :------------------------------------------------------ |

|  1  |  18 | 1748 |  \[41, 59, 1789, 1889, 1907, 3637, 7433, 7451, 9181]     |

|  2  |  30 | 3038 |  \[41, 71, 3079, 3191, 3221, 6229, 12641, 12671, 15679]  |

|  3  |  32 | 4296 |  \[41, 73, 4337, 4451, 4483, 8747, 17681, 17713, 21977]  |

|  4  |  32 | 4926 |  \[41, 73, 4967, 5081, 5113, 10007, 20201, 20233, 25127] |

|  5  |  60 |  788 |   \[41, 101, 829, 971, 1031, 1759, 3761, 3821, 4549]      |

|  6  |  60 | 2090 |  \[41, 101, 2131, 2273, 2333, 4363, 8969, 9029, 11059]   |

|  7  |  62 |  216 |   \[41, 103, 257, 401, 463, 617, 1481, 1543, 1697]        |

|  8  |  68 | 1530 |  \[41, 109, 1571, 1721, 1789, 3251, 6761, 6829, 8291]    |

|  9  |  98 |  420 |   \[41, 139, 461, 641, 739, 1061, 2441, 2539, 2861]       |

|  10 | 108 | 1658 | \[41, 149, 1699, 1889, 1997, 3547, 7433, 7541, 9091]    |

|  11 | 116 | 2112 | \[41, 157, 2153, 2351, 2467, 4463, 9281, 9397, 11393]   |

|  12 | 140 |  240 |  \[41, 181, 281, 503, 643, 743, 1889, 2029, 2129]        |

|  13 | 150 | 1448 | \[41, 191, 1489, 1721, 1871, 3169, 6761, 6911, 8209]    |

|  14 | 152 |  186 |  \[41, 193, 227, 461, 613, 647, 1721, 1873, 1907]        |

|  15 | 186 | 1502 | \[41, 227, 1543, 1811, 1997, 3313, 7121, 7307, 8623]    |

|  16 | 198 | 2618 | \[41, 239, 2659, 2939, 3137, 5557, 11633, 11831, 14251] |

|  17 | 198 | 3500 | \[41, 239, 3541, 3821, 4019, 7321, 15161, 15359, 18661] |

|  18 | 210 | 1568 | \[41, 251, 1609, 1901, 2111, 3469, 7481, 7691, 9049]    |

|  19 | 272 |  636 |  \[41, 313, 677, 1031, 1303, 1667, 4001, 4273, 4637]     |

|  20 | 276 |  692 |  \[41, 317, 733, 1091, 1367, 1783, 4241, 4517, 4933]     |