用公式法求解特殊佩尔方程

蔡家雄

同时 无解的 佩尔方程，

设 \(4k+1=a^2+16^2=b^2+64^2\) ，

则 \(4k+1=\)6497, 39065, 104585, 923777 这四个数值，

则 \(x^2 - (4k+1)*y^2= -1\) 都无 正整数解，，

蔡家雄

同时 有解的 佩尔方程，

设 \(4k+1=a^2+8^2=b^2+32^2\) ，

则 \(4k+1=\) 1025, 2873, 6953, 58145 这四个数值，

则 \(x^2 -(4k+1)*y^2= -1\) 都有 正整数解，，

ysr

蔡家雄 发表于 2025-4-2 01:36
同时 有解的 佩尔方程，

设 \(4k+1=a^2+8^2=b^2+32^2\) ，

x=32  y=1
x=131168  y=4097

5.417969

x=268  y=5
x=76996132  y=1436485

5.429688

x=1084  y=13

5.40625

x=27248  y=113

5.601563

蔡家雄

同时 有解的 佩尔方程，

设 \(4k+1=a^2+32^2=b^2+128^2\) ，

则 \(4k+1= 271^2+32^2\) , \(773^2+32^2\) , \(1283^2+32^2\) , \(3841^2+32^2\) 这四个数值，

则 \(x^2 -(4k+1)*y^2= -1\) 都有 正整数解，，

ysr

蔡家雄 发表于 2025-4-2 11:42
同时 有解的 佩尔方程，

设 \(4k+1=a^2+32^2=b^2+128^2\) ，

解依次如下：
x=39568  y=145

5.46875

x=8136604  y=10517

5.476563

1283*1283+1024=1647113在10000 0000内无解

3841*3841+1024=14754305在10000 0000内无解

蔡家雄

同时 无解的 佩尔方程，

设 \(4k+1=a^2+4^{2t}=b^2+4^{2t+2}\) ，

则 \(x^2 -(4k+1)*y^2= -1\) 都无 正整数解，，


同时 有解的 佩尔方程，

设 \(4k+1=a^2+4^{2t+1}=b^2+4^{2t+3}\) ，

则 \(x^2 -(4k+1)*y^2= -1\) 都有 正整数解，，


同时 有解的 佩尔方程，

设 \(4k+1=a^2+4^{t+1}=b^2+4^{t+2}\) ，

则 \(x^2 -(4k+1)*y^2= -1\) 都有 正整数解，，

蔡家雄

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= - (4*((2n+1)^2+4) -1)\) 的通解公式，

则 \(x=1\) ,  \(y=2\) .  最简单了，大道至简，

蔡家雄

设 \(4k+1=a^2+b^2\) 是质数，

令 \(a\) 是奇数，

则 \(x^2 - (4k+1)*y^2= ±a\) 必有正整数解，，

ysr

蔡家雄 发表于 2025-4-9 11:25
求 \(x^2 - 9613*y^2= - 3\) 的正整数解，，

x=37496873  y=382442

5.455078

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-4-11 12:53
求 \(x^2 - 9613*y^2= 3\) 的正整数解，，

{{2450369500,24992063},{36775815444437656808178251310270283634654464,375087714919631067376565323168094191040519},{551941493559783244655907897534805285796763474594483160452050290839045454601764,5629418983284030069844946578777381556497719209882219749792946279646087565631},{8283688849082501288486132577824884353069682308039928722233989238085964553869838860420742007359604370637813086600,84487859316183687583095553824886718173676285473993434269907687471736868604340762022322144119374868110065731687},{124323867201662544761082775969945374625595177561820480111249837768446237666997838027385338938658226239229609663388239835263424305047859953639529836,1268016893577717166405115837531808777590224283597533831997082798716680724457534546035116665169561592402526797860710560438175383078192037450104831},{1865886592020965680307369683573093017282271153773574913950165774225283821494316522528025446979407173042905483432239885200036654585478017339735708317521091364076416705734205371473936,19030744244344892317150275334505784459538116651599687861223628633048314028127265405582709954814481171664057188948103470276903286452988706001503455918389999261053212361615963619719}}