[猜想] 这些表达式均有极限，谁能给出极限的一般表达式？

白新岭 · 发表于 2021-9-2 22:32

n值常数
\(C_1\) 0.6601618159599460
\(C_2\) 0.8198024467614170
\(C_3\) 0.6708911371764450
\(C_4\) 0.8402588276900470
\(C_5\) 0.6995361099589560
\(C_6\) 0.9136964989279490
\(C_7\) 0.8821704211013320
\(C_8\) 0.8218582224408050
\(C_9\) 0.6728058758352150
\(C_{10}\) 0.8430124893896950
\(C_{11}\) 0.7021951679445290
\(C_{12}\) 0.9177718695843230
\(C_{13}\) 0.8868498480188450
\(C_{14}\) 0.8271250132350180
\(C_{15}\) 0.6781131738061740
\(C_{16}\) 0.8513854007840780
\(C_{17}\) 0.7112251442524340
\(C_{18}\) 0.9336034327102970
\(C_{19}\) 0.9083474490046500
\(C_{20}\) 0.8571665659730140
\(C_{21}\) 0.7187089112867240
\(C_{22}\) 0.9500455911008540
\(C_{23}\) 0.9382492774747350
\(C_{24}\) 0.9201934432369970
\(C_{25}\) 0.8898283297453090
\(C_{26}\) 0.8307658474580030
\(C_{27}\) 0.6821664445538960
\(C_{28}\) 0.8586062036883280
\(C_{29}\) 0.7202795644250320
\(C_{30}\) 0.9528429983828730
\(C_{31}\) 0.9421288968438000
\(C_{32}\) 0.9258107097954760
\(C_{33}\) 0.8983614876133240
\(C_{34}\) 0.8443332548908120
\(C_{35}\) 0.7034026882774320
\(C_{36}\) 0.9195139241255640
\(C_{37}\) 0.8887196732519100
\(C_{38}\) 0.8290758375519050
\(C_{39}\) 0.6799166849994410
\(C_{40}\) 0.8539621147870720
\(C_{41}\) 0.7137003105404700
\(C_{42}\) 0.9373848986590960
\(C_{43}\) 0.9126902729532780
\(C_{44}\) 0.8620851002104090
\(C_{45}\) 0.7237580682496410
\(C_{46}\) 0.9584171920505810
\(C_{47}\) 0.9489345908908210
\(C_{48}\) 0.9342622708223040
\(C_{49}\) 0.9090250723726380
\(C_{50}\) 0.8578440874751090
\(C_{51}\) 0.7193123401330190
\(C_{52}\) 0.9508952248698260
\(C_{53}\) 0.9391457559795230
\(C_{54}\) 0.9211359721846420
\(C_{55}\) 0.8908090321147870
\(C_{56}\) 0.8317551646356460
\(C_{57}\) 0.6830483166903980
\(C_{58}\) 0.8598175337111590
\(C_{59}\) 0.7213952196051600
\(C_{60}\) 0.9544745190776820
\(C_{61}\) 0.9439263545810700
\(C_{62}\) 0.9277969619647310
\(C_{63}\) 0.9005522356215030
\(C_{64}\) 0.8467034930792770
\(C_{65}\) 0.7057104088105860
\(C_{66}\) 0.9231043337019890
\(C_{67}\) 0.8929423508336080
\(C_{68}\) 0.8340023908475160
\(C_{69}\) 0.6851458869512320
\(C_{70}\) 0.8628439531856840
\(C_{71}\) 0.7243335054831620
\(C_{72}\) 0.9590226406706760
\(C_{73}\) 0.9492555368387110
\(C_{74}\) 0.9340963963184000
\(C_{75}\) 0.9080374740351110
\(C_{76}\) 0.8555071553419190
\(C_{77}\) 0.7151394661299430
\(C_{78}\) 0.9395080332688690
\(C_{79}\) 0.9150326342469720
\(C_{80}\) 0.8646170522876200
\(C_{81}\) 0.7262182757965900
\(C_{82}\) 0.9622367790934800
\(C_{83}\) 0.9534350593183060
\(C_{84}\) 0.9396275848878230
\(C_{85}\) 0.9154771550388930
\(C_{86}\) 0.8655560571146640
\(C_{87}\) 0.7277509208464940
\(C_{88}\) 0.9660058153666870
\(C_{89}\) 0.9603609141193010
\(C_{90}\) 0.9527241776987260
\(C_{91}\) 0.9418770009145580
\(C_{92}\) 0.9253947591916640
\(C_{93}\) 0.8977482706089110
\(C_{94}\) 0.8435023814109470
\(C_{95}\) 0.7024339796080790
\(C_{96}\) 0.9177709146158380
\(C_{97}\) 0.8864192080100020
\(C_{98}\) 0.8261491413185900
\(C_{99}\) 0.6766291350134880
\(C_{100}\) 0.8482497051466260

独木星空谁 · 发表于 2021-9-9 06:47

k值常数
\(C_{2(1)}\) 0.660161815959946000
\(C_{2(2)}\) 0.396880363991144000
\(C_{2(3)}\) 0.282325434167515000
\(C_{2(4)}\) 0.369451404195806000
\(C_{2(5)}\) 0.094895924033400000
\(C_{2(6)}\) 0.085519074654484000
\(C_{2(7)}\) 0.151044081237992000
\(C_{2(8)}\) 0.031085291649464000
\(C_{2(9)}\) 0.036308015942545000
\(C_{2(10)}\) 0.090447394908175000
\(C_{2(11)}\) 0.021370066473140000
\(C_{2(12)}\) 0.067569773355231000
\(C_{2(13)}\) 0.024911631973223000
\(C_{2(14)}\) 0.003983360234142000
\(C_{2(15)}\) 0.006475891918097000
\(C_{2(16)}\) 0.025028738105446000
\(C_{2(17)}\) 0.008705925013859000
\(C_{2(18)}\) 0.001399643430386000
\(C_{2(19)}\) 0.004281176228195000
\(C_{2(20)}\) 0.000570405083269000
\(C_{2(21)}\) 0.001075335725781000
\(C_{2(22)}\) 0.004518451384378000
\(C_{2(23)}\) 0.000842629180425000
\(C_{2(24)}\) 0.004545207783405000
\(C_{2(25)}\) 0.001529509500839000
\(C_{2(26)}\) 0.000251644811384000
\(C_{2(27)}\) 0.001311870032498000
\(C_{2(28)}\) 0.000358062893391000
\(C_{2(29)}\) 0.000041758762102000
\(C_{2(30)}\) 0.000102737401941000
\(C_{2(31)}\) 0.000615075823973000
\(C_{2(32)}\) 0.000173119402620000
\(C_{2(33)}\) 0.000022479889757000
\(C_{2(34)}\) 0.000103235124209000
\(C_{2(35)}\) 0.000011828805060000
\(C_{2(36)}\) 0.000034975441724000
\(C_{2(37)}\) 0.000257163691957000
\(C_{2(38)}\) 0.000076553868610000
\(C_{2(39)}\) 0.000010937050800000
\(C_{2(40)}\) 0.000070206297173000
\(C_{2(41)}\) 0.000011153637493000
\(C_{2(42)}\) 0.000092883100943000
\(C_{2(43)}\) 0.000028280337888000
\(C_{2(44)}\) 0.000004334486862000
\(C_{2(45)}\) 0.000038029265711000
\(C_{2(46)}\) 0.000012135214604000
\(C_{2(47)}\) 0.000002826698984000
\(C_{2(48)}\) 0.000000297869556000
\(C_{2(49)}\) 0.000001577335705000
\(C_{2(50)}\) 0.000000139215835000

白新岭 · 发表于 2021-9-25 16:13

利用这些现成的值，可以直接求出k生素数的系数（当然是数量公式中的系数）。

yangchuanju · 发表于 2021-12-21 05:07

又将近3个月了，已不知下沉到什么页了，把它顶起来，再看一看吧！

独木星空谁 · 发表于 2022-10-4 20:28

今天特意寻找此贴，以备后续继续深入研究，探讨。

独木星空谁 · 发表于 2022-10-4 20:45

本帖最后由独木星空谁于 2022-10-4 20:52 编辑

今天早上醒得早，躺在床上考虑了一阵子，得出了n = 3 的表达式，并因此可以推导出n = k 的表达式，具体推导如下：
∏\((1-{3\over P})\)=∏\((1-{1\over P})\)*\({P-2}\over{P-1}\)*\({P-3}\over{P-2}\)
      =∏\((1-{1\over P})\)*\({P-2}\over{P-1}\)*\({P-2}\over{P-1}\)*\((1-{1\over(P-2)^2}\)
      =∏(1-1/p)^3*[1-1/（p-1)^2]^2*[1-1/（p-2)^2]
      =27e^(-3γ)/（lnp)^3*(4/3)^2*c^2*∏[1-1/（p-2)^2]
所以（lnp)^3*∏(1-3/p)=48e^(-3γ)*c^2*∏[1-1/（p-2)^2]
以上关键一步是(p-3）/（p-2)=[(p-2）/（p-1)]*[1-1/（p-2)^2]
上面p是大于3的素数，c=0.6601......，∏[1-1/（p-2)^2]是一个大于c小于1的常量大约为0.83......，具体值是多少需要天山草先生计算一下。
如果要推导出n = k 的表达式，还要计算∏[1-1/（p-3)^2]一直到∏[1-1/（p-k)^2]这些常量的具体值。
n = 3 的表达式已经有了，至于对不对，我个人认为应该是成立的，还请天山草先生验算一下并规范一下表达式。如有错误的地方欢迎广大网友指正。

独木星空谁 · 发表于 2022-10-4 21:01

本帖最后由独木星空谁于 2022-10-4 21:42 编辑

大傻8888888 发表于 2011-10-10 12:09
今天早上醒得早，躺在床上考虑了一阵子，得出了n = 3 的表达式，并因此可以推导出n = k 的表达式，具 ...

4页第31楼，大傻的推导公式用公式编译器显示：
∏\((1-{3\over P})\)=∏\((1-{1\over P})\)*\({P-2}\over{P-1}\)*\({P-3}\over{P-2}\)
      =∏\((1-{1\over P})\)*\({P-2}\over{P-1}\)*\({P-2}\over{P-1}\)*\((1-{1\over(P-2)^2})\), 这一步是关键, *\({P-2}\over{P-1}\),为了平衡此值，即约分后，仍就是整体1，后边的\({P-3}\over{P-2}\)需要*\({P-1}\over{P-2}\)，而此式可以表示成\((1+{1\over {P-2}})\)形式，另外，\({P-3}\over{P-2}\)可以表示成\((1-{1\over {P-2}})\)的形式，它们两个的乘积正好是平方差公式。
      =∏\((1-{1\over P})^3\)*\((1-{1\over(P-1)^2})^2\)*\((1-{1\over(P-2)^2})\)
      =27\(e^{-3γ}\over{{ln}^3(P)}\)*\(({4\over 3})^2\)*\(C_2^2\)*∏\((1-{1\over(P-2)^2})\)

独木星空谁 · 发表于 2022-10-4 22:00

大傻8888888 发表于 2011-10-10 12:09
今天早上醒得早，躺在床上考虑了一阵子，得出了n = 3 的表达式，并因此可以推导出n = k 的表达式，具 ...

∏\((1-{2\over P})\)=∏\((1-{1\over P})\)*\({P-2}\over{P-1}\)
=∏\((1-{1\over P})\)*\({P-1}\over P\)*\({P-2}\over{P-1}\)*\(P\over{P-1}\),这一步很关键，*\({P-1}\over P\)这个，就得*\(P\over{P-1}\)，这样才能保证是整体1不变，乘一个数，然后乘这个数的倒数。
而\({P-2}\over{P-1}\)可以写成\((1-{1\over{P-1}})\)的形式，这个\(P\over{P-1}\)可以写成\((1+{1\over{P-1}})\)的形式，它们两个正好是平方差公式，相乘是：\((1-{1\over(P-1)^2})\)，所以，大傻8888888先生推导∏\((1-{3\over P})\)公式以前，应该先把∏\((1-{2\over P})\)的表达式推出来。\({P-1}\over P\)就是\((1-{1\over P})\)

独木星空谁 · 发表于 2022-10-4 22:05

大傻8888888 发表于 2011-10-10 12:09
今天早上醒得早，躺在床上考虑了一阵子，得出了n = 3 的表达式，并因此可以推导出n = k 的表达式，具 ...

其目的就是通过增减项把它变成连乘积的欧拉形式，以便于用梅滕斯公式代替其值，对于新项，因为它们都是1-一个素数式倒数的平方形式，所以，它们都有极限值，并且它们之间，有递推，传递功能，可以从低阶往高阶推进。天山草先生已经对此进行了规模化研究，并得到结果。

独木星空谁 · 发表于 2022-10-4 22:22

大傻8888888 发表于 2011-10-10 12:09
今天早上醒得早，躺在床上考虑了一阵子，得出了n = 3 的表达式，并因此可以推导出n = k 的表达式，具 ...

这种巧妙的恒等变形，引出了素数到数的平方形式连乘积，也使得k生素数数量公式中的系数与这些式子的极限和梅滕斯公式挂上钩。

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[猜想] 这些表达式均有极限，谁能给出极限的一般表达式？

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