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楼主: 天山草

[猜想] 这些表达式均有极限,谁能给出极限的一般表达式?

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发表于 2021-9-2 22:32 | 显示全部楼层
n值        常数
C1        0.6601618159599460
C2        0.8198024467614170
C3        0.6708911371764450
C4        0.8402588276900470
C5        0.6995361099589560
C6        0.9136964989279490
C7        0.8821704211013320
C8        0.8218582224408050
C9        0.6728058758352150
C10        0.8430124893896950
C11        0.7021951679445290
C12        0.9177718695843230
C13        0.8868498480188450
C14        0.8271250132350180
C15        0.6781131738061740
C16        0.8513854007840780
C17        0.7112251442524340
C18        0.9336034327102970
C19        0.9083474490046500
C20        0.8571665659730140
C21        0.7187089112867240
C22        0.9500455911008540
C23        0.9382492774747350
C24        0.9201934432369970
C25        0.8898283297453090
C26        0.8307658474580030
C27        0.6821664445538960
C28        0.8586062036883280
C29        0.7202795644250320
C30        0.9528429983828730
C31        0.9421288968438000
C32        0.9258107097954760
C33        0.8983614876133240
C34        0.8443332548908120
C35        0.7034026882774320
C36        0.9195139241255640
C37        0.8887196732519100
C38        0.8290758375519050
C39        0.6799166849994410
C40        0.8539621147870720
C41        0.7137003105404700
C42        0.9373848986590960
C43        0.9126902729532780
C44        0.8620851002104090
C45        0.7237580682496410
C46        0.9584171920505810
C47        0.9489345908908210
C48        0.9342622708223040
C49        0.9090250723726380
C50        0.8578440874751090
C51        0.7193123401330190
C52        0.9508952248698260
C53        0.9391457559795230
C54        0.9211359721846420
C55        0.8908090321147870
C56        0.8317551646356460
C57        0.6830483166903980
C58        0.8598175337111590
C59        0.7213952196051600
C60        0.9544745190776820
C61        0.9439263545810700
C62        0.9277969619647310
C63        0.9005522356215030
C64        0.8467034930792770
C65        0.7057104088105860
C66        0.9231043337019890
C67        0.8929423508336080
C68        0.8340023908475160
C69        0.6851458869512320
C70        0.8628439531856840
C71        0.7243335054831620
C72        0.9590226406706760
C73        0.9492555368387110
C74        0.9340963963184000
C75        0.9080374740351110
C76        0.8555071553419190
C77        0.7151394661299430
C78        0.9395080332688690
C79        0.9150326342469720
C80        0.8646170522876200
C81        0.7262182757965900
C82        0.9622367790934800
C83        0.9534350593183060
C84        0.9396275848878230
C85        0.9154771550388930
C86        0.8655560571146640
C87        0.7277509208464940
C88        0.9660058153666870
C89        0.9603609141193010
C90        0.9527241776987260
C91        0.9418770009145580
C92        0.9253947591916640
C93        0.8977482706089110
C94        0.8435023814109470
C95        0.7024339796080790
C96        0.9177709146158380
C97        0.8864192080100020
C98        0.8261491413185900
C99        0.6766291350134880
C100        0.8482497051466260
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发表于 2021-9-9 06:47 | 显示全部楼层
k值        常数
C2(1)        0.660161815959946000
C2(2)        0.396880363991144000
C2(3)        0.282325434167515000
C2(4)        0.369451404195806000
C2(5)        0.094895924033400000
C2(6)        0.085519074654484000
C2(7)        0.151044081237992000
C2(8)        0.031085291649464000
C2(9)        0.036308015942545000
C2(10)        0.090447394908175000
C2(11)        0.021370066473140000
C2(12)        0.067569773355231000
C2(13)        0.024911631973223000
C2(14)        0.003983360234142000
C2(15)        0.006475891918097000
C2(16)        0.025028738105446000
C2(17)        0.008705925013859000
C2(18)        0.001399643430386000
C2(19)        0.004281176228195000
C2(20)        0.000570405083269000
C2(21)        0.001075335725781000
C2(22)        0.004518451384378000
C2(23)        0.000842629180425000
C2(24)        0.004545207783405000
C2(25)        0.001529509500839000
C2(26)        0.000251644811384000
C2(27)        0.001311870032498000
C2(28)        0.000358062893391000
C2(29)        0.000041758762102000
C2(30)        0.000102737401941000
C2(31)        0.000615075823973000
C2(32)        0.000173119402620000
C2(33)        0.000022479889757000
C2(34)        0.000103235124209000
C2(35)        0.000011828805060000
C2(36)        0.000034975441724000
C2(37)        0.000257163691957000
C2(38)        0.000076553868610000
C2(39)        0.000010937050800000
C2(40)        0.000070206297173000
C2(41)        0.000011153637493000
C2(42)        0.000092883100943000
C2(43)        0.000028280337888000
C2(44)        0.000004334486862000
C2(45)        0.000038029265711000
C2(46)        0.000012135214604000
C2(47)        0.000002826698984000
C2(48)        0.000000297869556000
C2(49)        0.000001577335705000
C2(50)        0.000000139215835000
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发表于 2021-9-25 16:13 | 显示全部楼层
利用这些现成的值,可以直接求出k生素数的系数(当然是数量公式中的系数)。
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发表于 2021-12-21 05:07 | 显示全部楼层
又将近3个月了,已不知下沉到什么页了,把它顶起来,再看一看吧!

点评

这个帖子对于k生素数的数量公式中的系数有很大的启发作用。也可以使我的合成方法论在k生素数上打开一条通道。真是有心栽花花不开,无心插柳柳成荫。任何理论都有它的用武之地。  发表于 2021-12-21 07:29
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发表于 2022-10-4 20:28 | 显示全部楼层
今天特意寻找此贴,以备后续继续深入研究,探讨。
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发表于 2022-10-4 20:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 独木星空谁 于 2022-10-4 20:52 编辑

今天早上醒得早,躺在床上考虑了一阵子,得出了n = 3 的表达式,并因此可以推导出n = k 的表达式,具体推导如下:
(13P)=∏(11P)*P2P1*P3P2
         =∏(11P)*P2P1*P2P1*(11(P2)2
         =∏(1-1/p)^3*[1-1/(p-1)^2]^2*[1-1/(p-2)^2]
         =27e^(-3γ)/(lnp)^3*(4/3)^2*c^2*∏[1-1/(p-2)^2]
所以(lnp)^3*∏(1-3/p)=48e^(-3γ)*c^2*∏[1-1/(p-2)^2]
    以上关键一步是(p-3)/(p-2)=[(p-2)/(p-1)]*[1-1/(p-2)^2]
    上面p是大于3的素数,c=0.6601......,∏[1-1/(p-2)^2]是一个大于c小于1的常量大约为0.83......,具体值是多少需要天山草先生计算一下。
    如果要推导出n = k 的表达式,还要计算∏[1-1/(p-3)^2]一直到∏[1-1/(p-k)^2]这些常量的具体值。
    n = 3 的表达式已经有了,至于对不对,我个人认为应该是成立的,还请天山草先生验算一下并规范一下表达式。如有错误的地方欢迎广大网友指正。
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发表于 2022-10-4 21:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 独木星空谁 于 2022-10-4 21:42 编辑
大傻8888888 发表于 2011-10-10 12:09
今天早上醒得早,躺在床上考虑了一阵子,得出了n = 3 的表达式,并因此可以推导出n = k 的表达式,具 ...


4页第31楼,大傻的推导公式用公式编译器显示:
(13P)=∏(11P)*P2P1*P3P2
         =∏(11P)*P2P1*P2P1*(11(P2)2),    这一步是关键, *P2P1,为了平衡此值,即约分后,仍就是整体1,后边的P3P2需要*P1P2,而此式可以表示成(1+1P2)形式,另外,P3P2可以表示成(11P2)的形式,它们两个的乘积正好是平方差公式。
         =∏(11P)3*(11(P1)2)2*(11(P2)2)
         =27e^{-3γ}\over{{ln}^3(P)}*({4\over 3})^2*C_2^2*∏(1-{1\over(P-2)^2})
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发表于 2022-10-4 22:00 | 显示全部楼层
大傻8888888 发表于 2011-10-10 12:09
今天早上醒得早,躺在床上考虑了一阵子,得出了n = 3 的表达式,并因此可以推导出n = k 的表达式,具 ...

(1-{2\over P})=∏(1-{1\over P})*{P-2}\over{P-1}
         =∏(1-{1\over P})*{P-1}\over P*{P-2}\over{P-1}*P\over{P-1},这一步很关键,*{P-1}\over P这个,就得*P\over{P-1},这样才能保证是整体1不变,乘一个数,然后乘这个数的倒数。
        而{P-2}\over{P-1}可以写成(1-{1\over{P-1}})的形式,这个P\over{P-1}可以写成(1+{1\over{P-1}})的形式,它们两个正好是平方差公式,相乘是:(1-{1\over(P-1)^2}),所以,大傻8888888先生推导∏(1-{3\over P})公式以前,应该先把∏(1-{2\over P})的表达式推出来。{P-1}\over P就是(1-{1\over P})
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发表于 2022-10-4 22:05 | 显示全部楼层
大傻8888888 发表于 2011-10-10 12:09
今天早上醒得早,躺在床上考虑了一阵子,得出了n = 3 的表达式,并因此可以推导出n = k 的表达式,具 ...

其目的就是通过增减项把它变成连乘积的欧拉形式,以便于用梅滕斯公式代替其值,对于新项,因为它们都是1-一个素数式倒数的平方形式,所以,它们都有极限值,并且它们之间,有递推,传递功能,可以从低阶往高阶推进。天山草先生已经对此进行了规模化研究,并得到结果。
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发表于 2022-10-4 22:22 | 显示全部楼层
大傻8888888 发表于 2011-10-10 12:09
今天早上醒得早,躺在床上考虑了一阵子,得出了n = 3 的表达式,并因此可以推导出n = k 的表达式,具 ...

这种巧妙的恒等变形,引出了素数到数的平方形式连乘积,也使得k生素数数量公式中的系数与这些式子的极限和梅滕斯公式挂上钩。
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\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\sqrt[\baguet]{\square}\square_{\baguet}\square^{\baguet}\square_{\baguet}^{\baguet}\sum_{\baguet}^{\baguet}\prod_{\baguet}^{\baguet}\coprod_{\baguet}^{\baguet}\int_{\baguet}^{\baguet}\lim_{\baguet}\lim_{\baguet}^{\baguet}\bigcup_{\baguet}^{\baguet}\bigcap_{\baguet}^{\baguet}\bigwedge_{\baguet}^{\baguet}\bigvee_{\baguet}^{\baguet}
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\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

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