[原创] 答陆教授问

天茂

下面引用由顽石在 2010/06/15 10:00am 发表的内容：
因式分解与无穷小
（1）a^n– b^n  = （a - b）（a^(n-1)+ a^(n-2) b + a^(n-3) b^2 + … + ab^(n-2) + b^(n-1）)
（1）式中的n趋向无穷大。（注：引自《简明数学手册》P1-42 上海教育出版社出版 1977年6月版），将上式用10代入a，用1代入b,就得到以下（2）式：
（2）10＾n - 1 = 9×（10＾(n-1) + 10＾(n-2) + 10＾(n-3) + … + 10 + 1）
将（2）式两边皆除以10＾n可得以下（3）式：
(3) 1 - 10＾-n = 9×（10＾-1 + 10＾-2 + 10＾-3 + … + 10＾-n+1 + 10＾-n）
或者写成：
1 - 10＾-n = 0.999……99
其中“无尽小数”0.999……99中，9的数量趋向无穷多个。
将（3）式稍微变化一下，就可以写成如下形式：
（4）1 = 0.999……99 + 10＾-n
（5）1 = 0.999……99 + 0.000……01
请注意，上述的无尽小数0.999……99的写法，完全符合公式（3）的写法，n个项，与n个9，两者一一对应，因此是标准写法，不存在被人钻空子的隐患，前三个9和后两个9，依次表示第1、第2、第3、……、第n-1、第n个9的序列，n趋向无穷大，表示9永远可写！源源不断永远继续可写的奥妙，正是无穷小10＾-n这个永远不竭的源头！它永远大于0而不会消失！
但是，现行数学将上述（4）式和（5）式皆写成如下所谓等式：
（6）1 = 0.99999……
（6）式中的等号，已经清楚地表明：1和0.99999……之间，没有任何差异！其中的9已经写完！蛮横地将其中无穷小10＾-n即0.000……01忽略不计，然而，实无穷论者也没有胆量能清楚地承认，再也插不进去1个9了！而是似是而非，含糊其辞！实无穷论者的所谓的无尽小数其实是有限小数！实无穷其实是假无穷！因为无尽小数写法的不规范，留下了让人钻空子的机会！究竟是继续可写还是不可写？没有写完还是写满了写完了？争论不休！1 之间 0.99999……，原本的近似式变成了等式，这种做法在应用数学中已经被允许，成了著名的“常识”！因为这样，就能方便计算和教学，非常实用，人们大都对实用主义情有独钟！应用数学与我们的工作、生产、学习和科学技术，紧密地结合在一起，其积极意义毋庸置疑！但是，1 = 0.99999……、1/3 = 0.33333……这类等式，应用于基础数学研究，却是百分之百的错误！镇压无穷小是非法的！
请天茂先生注意我的这个帖子！

您的问题在于，无穷小10＾-n是不可以忽略不计的，而事实上，在现代数学运算中，无穷小10＾-n的极限值就是等于零。
另外，“无穷小10＾-n即0.000……01”的写法也是错误的，“0.000……01”中最后的那个1是写不出来的，因为其中的0是无穷多，哪来的最后一个数？

顽石

[这个贴子最后由顽石在 2010/06/16 03:55pm 第 1 次编辑]

按照潜无穷观点来解释：无穷就是潜无穷，是把无穷作为一种变化着、成长着、不断产生出来的东西来理解，它永远在构造中但永远没有构造完毕。与此相对的是所谓的“实无穷”，纯属子虚乌有！庞加莱认为：实无穷，那是不存在的，只有能构造的才是存在的。
据此，当n趋向无穷大时，10^-n就是常见的简单的一个无穷小，反之10^n就是无穷大。没有任何问题。企图用鬼画符之类的玄而又玄的理论，来解释无穷大、无穷小，没有根据，毫无意义！
无赖el认为：“潜无穷和实无穷，两者都正确，互不排斥”。更是无稽之谈！

顽石

下面引用由天茂在 2010/06/16 10:21am 发表的内容： 您的问题在于，无穷小10＾-n是不可以忽略不计的，而事实上，在现代数学运算中，无穷小10＾-n的极限值就是等于零。
另外，“无穷小10＾-n即0.000……01”的写法也是错误的，“0.000……01”中最后的那个1是写　...

0.000……01表示第n位数字是1，当然0.000……01不是一个确定的小数，而是一个变量！n 是永远在构造中但永远没有构造完毕。因此，第n位数字，不是确定的最后一位数字。当构造到新的第n位数字为1时，其它位数都自动变成0数字。

天茂

所以，“0.000……01”的写法是错误的，不能这么写。

顽石

下面引用由顽石在 2010/06/16 10:26am 发表的内容：
按照潜无穷观点来解释：无穷就是潜无穷，是把无穷作为一种变化着、成长着、不断产生出来的东西来理解，它永远在构造中但永远没有构造完毕。与此相对的是所谓的“实无穷”，纯属子虚乌有！庞加莱认为：实无穷，那 ...

按照潜无穷观点，无穷永远到不了极限值，凡是“无穷能到达极限值”的观点，属于根本不存在的所谓“实无穷”。

天茂

潜无穷和实无穷，我们都离不了。
举一个最简单的例子：
[0，3)和[0，3]都是我们需要的；
前者表达的是潜无穷，后者代表的就是实无穷。

elimqiu

下面引用由顽石在 2010/06/16 06:52am 发表的内容：
“顽石搞A, B 乱套的具体过程如下：
A=（10^n-1）/10^n
B = 0.99999…
那么 A 的极限是 B，但是顽石说 A = B”
...
这些都是无案可查的。都是无赖e1的恶意捏造！断章取义！颠三倒四！无赖e1已经毫无办法，无计可施，只剩下耍无赖这一个“法宝”了！

顽石还要赖？
A=（10^n-1）/10^n， B = 0.99999…
难道顽石没说 （10^n-1）/10^n ＝  0.99999… ？ 不就是上几个帖子的事，白痴＋下三烂就这么健忘？
根据现行数学的极限论及无限小数的定义，A 的极限确实是 B.
所以顽石的自我批判还成立： A 的极限＝ B，顽石就说 A = B
顽石的狗屎堆理论能走这么远，虽然荒谬，也不容易了。毕竟是狗屎一堆么，还能好到哪里？

elimqiu

下面引用由天茂在 2010/06/16 10:15am 发表的内容：
我们知道，[0，3)和[0，3]确实是不同的，两者相差一个点3，这就是说，后者的最大值是3，而前者是没有最大值的。而两者的上确界都是3.
但是，对于2.999……和3来说，由于前者是无限小数，是没有穷尽的，因此，它对应的正是[0，3)中的最大值，而对于后者3来说，毫无疑问对应的也是[0，3]中的最大值3.
这样看来，说2.999……和3相差一个无穷小量，并非完全没有道理。
事实上，无限问题并不是一个纯粹的数学问题，而是具有某种程度的哲学问题。而哲学中是没有定理（无一反例）的，有的只是道理（所有的道理都有反例）。

天茂兄难道没有发现这话得到矛盾吗？说“前者是没有最大值”，又说2.999…对应的正是[0，3)中的最大值？数学不是这样的体系。说不清2.999…是什么，进一步谈别只会陷入更深的矛盾。现行数学对无限小数有两种等价的定义
（1）
A.A1A2…An… = sup｛A.A1, A.A1A2, A.A1A2A3, A.A1…An, …}, 即无限小数是其有限部分小数所成的集合的上确界。
（2）
A.A1A2…An…  ＝ lim_(n->oo)    (A + A1/p + A2/(p^2) + A3/(p^3) + …+An/(p^n))
所以说 2.999…不等于 3 的不是现行数学，或者说这种对 2.999… 的了解只是个别人的非数学的想当然。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
关于无穷小量的概念，在现代数学中也不是一个自在自为的越来越小的精灵式的变量，也不是可以视为零的量。无穷小量只是一个函数，当自变量趋于某值时它趋于0 （按照现代极限的定义）

elimqiu

顽石的潜无穷和实无穷观都是胡扯，数学根本据不需要什么白痴‘达到’概念。极限的概念跟顽石的没完没了去跟踪变化过程是完全不同的。后者不可能走出芝诺悖论的怪圈（顺便说一下，顽石是把芝诺的诡辩当作真理的）。顽石的愚蠢跟他的极限过程一样，是没完没了的。

天茂

下面引用由elimqiu在 2010/06/16 04:25am 发表的内容：
天茂兄难道没有发现这话得到矛盾吗？说“前者是没有最大值”，又说2.999…对应的正是[0，3)中的最大值？数学不是这样的体系。说不清2.999…是什么，进一步谈别只会陷入更深的矛盾。现行数学对无限小数有两种等价的定义
（1）
A.A1A2…An… = sup｛A.A1, A.A1A2, A.A1A2A3, A.A1…An, …}, 即无限小数是其有限部分小数所成的集合的上确界。
（2）
A.A1A2…An…  ＝ lim_(n->oo)    (A + A1/p + A2/(p^2) + A3/(p^3) + …+An/(p^n))
所以说 2.999…不等于 3 的不是现行数学，或者说这种对 2.999… 的了解只是个别人的非数学的想当然。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
关于无穷小量的概念，在现代数学中也不是一个自在自为的越来越小的精灵式的变量，也不是可以视为零的量。无穷小量只是一个函数，当自变量趋于某值时它趋于0 （按照现代极限的定义）

正因为涉及到“无限”，矛盾才会出现的。
自从贝克莱主教对无穷小提出疑问以来，虽然数学家们针对无限问题作了许多的修补，创造了许多的名词和概念，但涉及到无限的漏洞并没有被完全彻底补好，总是不知在什么时候突然又冒出来了。
问题的实质在于：在一个复杂的形式系统内部，完全性和一致性是不相容的。
无穷小量在非标准分析中，虽然被解释得比以前更加完满了，但也不是没有丝毫的漏洞。在和陆教授关于这个问题的讨论中，仍然还是留下一个无法解决的问题。