一题 \(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\) 多解

ysr

蔡家雄 发表于 2025-4-19 08:12
求 \(x^2 - 2*229*y^2= -1\) 必有正整数解，，

x=107  y=5
x=4900493  y=228985

5.265625

王守恩

蔡家雄 发表于 2025-4-19 21:15
一个六位数，它本身就是一个平方数，

且它的前三位数和后三位数都是平方数，这样的解有几个？

一个六位数，它本身就是一个平方数，

且它的前三位数和后三位数都是平方数，这样的解有几个？

如：225,625=475^2 ,

A145848——49, 1681, 144400, 225625, 256036, 324900, 576081, 24019801, 1299602500, 1587624025, 2371690000, 2496401296, 2528178961, 2924105625, 3132976729, 5198410000, 5616902916, ......

ysr

蔡家雄 发表于 2025-4-20 01:11
求 \(x^2 - 2*269*y^2= -1\) 必有正整数解，，

x=69051  y=2977

5.339844

ysr

蔡家雄 发表于 2025-4-21 08:21
佩尔方程有解定理

若 \(d\) 是 \(8k+5\) 型的质数，

例子：13是素数，2*13*13=338.
x^2-2*13*13y^2=-1的解是：
x=239  y=13
x=54608393  y=2970305

5.320313

蔡家雄

求 \(x^2 - 2*197*y^2= -1\) 必有正整数解，，

蔡家雄

佩尔方程有解定理

若 \(d\) 是 \(8k+5\) 型的质数，

则 \(x^2 - 2*d*y^2= ±1\) 必有正整数解，

则 \(x^2 - 2*d*d*y^2= ±1\) 必有正整数解，，

则 \(x^2 - 2*d*d*d*y^2= ±1\) 必有正整数解，，，

则 \(x^2 - 2*d*d*d*d*y^2= ±1\) 必有正整数解，，，，

则 \(x^2 - 2*d*d*d*d*d*y^2= ±1\) 必有正整数解，，，，，如此类推。

蔡家雄

佩尔方程有解定理

若 \(d\) 是 \(8k+5\) 型的质数，

则 \(x^2 - 2*d*y^2= ±2*d\) 必有正整数解，

则 \(x^2 - 2*d*d*y^2= ±2*d*d\) 必有正整数解，，

则 \(x^2 - 2*d*d*d*y^2= ±2*d*d*d\) 必有正整数解，，，

则 \(x^2 - 2*d*d*d*d*y^2= ±2*d*d*d*d\) 必有正整数解，，，，

则 \(x^2 - 2*d*d*d*d*d*y^2= ±2*d*d*d*d*d\) 必有正整数解，，，，，如此类推。

蔡家雄

设 \(d\) 是 \(8k+5\) 型的质数，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*d*y^2= -1\) 的最小解，

则 \(x=2*x_1*x_1+1\) , \(y=2*(x_1*y_1)\) 是 \(x^2 - 2*d*y^2= 1\) 的最小解，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*d*d*y^2= -1\) 的最小解，

则 \(x=2*x_1*x_1+1\) , \(y=2*(x_1*y_1)\) 是 \(x^2 - 2*d*d*y^2= 1\) 的最小解，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*d*d*d*y^2= -1\) 的最小解，

则 \(x=2*x_1*x_1+1\) , \(y=2*(x_1*y_1)\) 是 \(x^2 - 2*d*d*d*y^2= 1\) 的最小解，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*d*d*d*d*y^2= -1\) 的最小解，

则 \(x=2*x_1*x_1+1\) , \(y=2*(x_1*y_1)\) 是 \(x^2 - 2*d*d*d*d*y^2= 1\) 的最小解，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*d*d*d*d*d*y^2= -1\) 的最小解，

则 \(x=2*x_1*x_1+1\) , \(y=2*(x_1*y_1)\) 是 \(x^2 - 2*d*d*d*d*d*y^2= 1\) 的最小解，

蔡家雄

设 \(d\) 是 \(8k+5\) 型的质数，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*d*y^2= 2*d\) 的最小解，

则 \(x=2*(x_1*y_1)\) , \(y=2*y_1*y_1+1\) 是 \(x^2 - 2*d*y^2= -2*d\) 的最小解，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*d*d*y^2= 2*d*d\) 的最小解，

则 \(x=2*(x_1*y_1)\) , \(y=2*y_1*y_1+1\) 是 \(x^2 - 2*d*d*y^2= -2*d*d\) 的最小解，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*d*d*d*y^2= 2*d*d*d\) 的最小解，

则 \(x=2*(x_1*y_1)\) , \(y=2*y_1*y_1+1\) 是 \(x^2 - 2*d*d*d*y^2= -2*d*d*d\) 的最小解，

ysr

蔡家雄 发表于 2025-4-26 23:40
求 \(x^2 - 2*53*y^2= 2*53\) 的正整数解，，

x=41234  y=4005

10.29688