用公式法求解特殊佩尔方程

蔡家雄

见 本主题的 第1页的 第1#楼，

设 \(±m= ±1\) , \(±((2n+1)^2+4)\) , \(±(2*((2n+1)^2+4)+1)\) , \(±(6*((2n+1)^2+4)+1)\) ,

及 \(±m= ±(2n+1)\) , \(±(2n+1)*((2n+1)^2+4)\) , \(±m= ±(2n+1)*(2*((2n+1)^2+4)+1)\) ,  

及 \(±m= ±(2n+1)*(6*((2n+1)^2+4)+1)\) , \(±(2*((2n+1)^2+4)+1)*(6*((2n+1)^2+4)+1)\) ,

及 \(±m= ±((2n+1)^2+4)*(6*((2n+1)^2+4)+1)\) , \(±(2n+1)*((2n+1)^2+4)*(6*((2n+1)^2+4)+1)\) ,

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= ±m\) 的最小解的通解公式，


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= ((2n+1)^2+4)*(2*((2n+1)^2+4)+1)\) 的通解公式，

则 \(x=(2*n^2+2n+2)*((2n+1)^2+4)\) ,  \(y=n*((2n+1)^2+4)+(2*n^2+3n+3)\) . 此解 \(n>=2\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= - ((2n+1)^2+4)*(2*((2n+1)^2+4)+1)\) 的通解公式，

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+4)\) ,  \(y=(2n+1)^2+3\) . 此解 \(n>=1\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= (2n+1)*((2n+1)^2+4)*(2*((2n+1)^2+4)+1)\) 的通解公式，

则 \(x=(n+2)*((2n+1)^2+4)\) ,  \(y=2*n^2+n+3\) . 此解 \(n>=1\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= - (2n+1)*((2n+1)^2+4)*(2*((2n+1)^2+4)+1)\) 的通解公式，

则 \(x=(n -1)*((2n+1)^2+4)\) ,  \(y=2*n^2+3n+4\) . 此解 \(n>=2\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= (2n+1)*((2n+1)^2+4)*(6*((2n+1)^2+4)+1)\) 的通解公式，

则 \(x=(3n+4)*((2n+1)^2+4)\) ,  \(y=(3*((2n+1)^2+4)+(2n -1))/2\) . 此解 \(n>=2\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= - (2n+1)*((2n+1)^2+4)*(6*((2n+1)^2+4)+1)\) 的通解公式，

则 \(x=(3n -1)*((2n+1)^2+4)\) ,  \(y=(3*((2n+1)^2+4) - (2n+3))/2\) . 此解 \(n>=1\) .

蔡家雄

若 \(4k+1\) 和 \((4k+1)*(4t+2)+1\) 都是质数，\(t>=0\) ,

则 \(x^2 - (4k+1)*y^2= ±((4k+1)*(4t+2)+1\)) 必有正整数解，，

ysr

蔡家雄 发表于 2025-4-20 04:32
求 \(x^2 - 2*277*y^2= -1\) 必有正整数解，，

x=174293  y=7405

5.242188

ysr

蔡家雄 发表于 2025-4-21 08:18
佩尔方程有解定理

若 \(d\) 是 \(8k+5\) 型的质数，

例子：997是素数，997=8*124+5，2*997=1994.

x^2-1994y^2=-1的解是：
x=84198805  y=1885573

5.533203

ysr

ysr 发表于 2025-4-22 00:19
例子：997是素数，997=8*124+5，2*997=1994.

x^2-1994y^2=-1的解是：

例子：13是素数，2*13=26.
x^2-26y^2=-1的解是：
x=5  y=1
x=515  y=101
x=52525  y=10301
x=5357035  y=1050601

0.546875

2*13*13=338.
x^2-338y^2=-1的解是：
x=239  y=13
x=54608393  y=2970305

5.457031

蔡家雄

求 \(x^2 - 2*13*13*13*y^2= -1\) 必有正整数解，，，

蔡家雄

求 \(x^2 - 2*5*5*5*5*5*y^2= -1\) 必有正整数解，，，，，

蔡家雄

佩尔方程有解定理

若 \(d\) 是 \(8k+5\) 型的质数，

则 \(x^2 - 2*d*y^2= ±1\) 必有正整数解，

则 \(x^2 - 2*d*d*y^2= ±1\) 必有正整数解，，

则 \(x^2 - 2*d*d*d*y^2= ±1\) 必有正整数解，，，

则 \(x^2 - 2*d*d*d*d*y^2= ±1\) 必有正整数解，，，，

则 \(x^2 - 2*d*d*d*d*d*y^2= ±1\) 必有正整数解，，，，，如此类推。

ysr

蔡家雄 发表于 2025-4-26 10:35
求 \(x^2 - 2*29*y^2= 1\) 必有正整数解，，

x=19603  y=2574

0.53125

ysr

蔡家雄 发表于 2025-4-26 10:37
求 \(x^2 - 2*29*y^2= -1\) 必有正整数解，，

x=99  y=13
x=3881493  y=509665

5.460938