\(C_{ai}\)问题之\(AI\)证明

蔡家雄

同邻距的五生素数（十元素数组）存在，

且前一组五生素数之和是后一组五生素数的首项，

蔡家雄猜想：同邻距的五生素数（十元素数组）有 无穷多组解。

例（ 11，13，17，19，131，191，193，197，199，311 ）。

例（ 11，13，17，19，761，821，823，827，829，1571 ）。

例（ 13，19，47，71，73，223，229，257，281，283 ）。


| 例子     |  前五项                 |     差值模式     | 前五项之和 | 后五项                         |  验证差值模式          |
| ------ | -------------------- | --------------- | ---------- | ------------------------- | -------------------- |
| **例1** | 11, 13, 17, 19, 131 | \[2, 4, 2, 112] | **191** | 191, 193, 197, 199, 311  | 相同 \[2, 4, 2, 112] |
| **例2** | 11, 13, 17, 19, 761 | \[2, 4, 2, 742] | **821** | 821, 823, 827, 829, 1571 | 相同 \[2, 4, 2, 742] |
| **例3** | 13, 19, 47, 71, 73   | \[6, 28, 24, 2] | **223** | 223, 229, 257, 281, 283  | 相同 \[6, 28, 24, 2] |

蔡家雄

同邻距的五生素数（十元素数组）存在，

且前一组五生素数之和是后一组五生素数的首项，

蔡家雄猜想：同邻距的五生素数（十元素数组）有 无穷多组解。

例（ 7，11，13，17，409，457，461，463，467，859 ）

例（ 11，13，17，19，131，191，193，197，199，311 ）

例（ 11，13，17，19，761，821，823，827，829，1571 ）

例（ 13，19，47，71，73，223，229，257，281，283 ）

例

例（ 17，19，23，29，139，227，229，233，239，349 ）

蔡家雄

求六生素数，m在十万以内，

求 10m+1，10m+73，10m+77，10m+79，10m+83，20m+61 都是素数，注意：最后是 20m+61，

蔡家雄

|  序号 |    m 值    | 生成的六个素数                                         |
| :-: | :-------: | :---------------------------------------------- |
|  1  |  **444**  | 4441, 4513, 4517, 4519, 4523, 8941              |
|  2  |  **4035** | 40351, 40423, 40427, 40429, 40433, 80761        |
|  3  |  **4371** | 43711, 43783, 43787, 43789, 43793, 87481        |
|  4  |  **9138** | 91381, 91453, 91457, 91459, 91463, 182821       |
|  5  | **15030** | 150301, 150373, 150377, 150379, 150383, 300661  |
|  6  | **30885** | 308851, 308923, 308927, 308929, 308933, 617761  |
|  7  | **40650** | 406501, 406573, 406577, 406579, 406583, 813061  |
|  8  | **95418** | 954181, 954253, 954257, 954259, 954263, 1908421 |

蔡家雄

同邻距的三连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

蔡家雄猜想：对任一大于5的素数 p，

同邻距的三连三生素数，有 无穷多组（九元素数组）的解。

设 0 < a < b 是偶数，

当 p 是定数 时，

求 九元素数组（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b ）的解。


同邻距的五生素数（十元素数组），

且前一组五生素数之和是后一组五生素数的首项，

蔡家雄猜想：同邻距的五生素数（十元素数组）有 无穷多组解。

例（ 7，11，13，17，409，457，461，463，467，859 ）

例（ 11，13，17，19，131，191，193，197，199，311 ）

例（ 11，13，17，19，761，821，823，827，829，1571 ）

例（ 13，19，47，71，73，223，229，257，281，283 ）

例（ 13，17，19，23，4441,  4513,  4517,  4519,  4523,  8941 ）

例（ 17，19，23，29，139，227，229，233，239，349 ）

蔡家雄

同邻距的三连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

蔡家雄猜想：对任一大于5的素数 p，

同邻距的三连三生素数，有 无穷多组（九元素数组）的解。

设 0 < a < b 是偶数，

当 p 是定数 时，

求 九元素数组（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b ）的解。


同邻距的五生素数（十元素数组），

且前一组五生素数之和是后一组五生素数的首项，

蔡家雄猜想：同邻距的五生素数（十元素数组）有 无穷多组解。

（ 7，11，13，17，409，457，461，463，467，859 ）

（ 11，13，17，19，131，191，193，197，199，311 ）

（ 11，13，17，19，761，821，823，827，829，1571 ）

（ 13，19，47，71，73，223，229，257，281，283 ）

（ 13，17，19，23，4441，4513，4517，4519，4523，8941 ）

（ 17，19，23，29，139，227，229，233，239，349 ）

（ 19，23，29，31，127，229，233，239，241，337 ）


同邻距的2k+1生素数（4k+2元素数组），

且前一组2k+1生素数之和是后一组2k+1生素数的首项，

蔡家雄猜想：同邻距的2k+1生素数（4k+2元素数组）有 无穷多组解。

蔡家雄

求六生素数，m在十万以内，

求 10m+7，10m+109，10m+113，10m+119，10m+121，20m+97 都是素数，注意：最后是 20m+97，

在 m ≤ 100,000 范围内，满足以下六个表达式同时为素数的 六生素数解共有16个，

|  序号 |     m     |  10m+7 | 10m+109 | 10m+113 | 10m+119 | 10m+121 |  20m+97 |
| :-: | :---------: | :-- --: | :--- --: | :-- ---: | :-- ---: | :-- ---: | :- ----: |
|  1  |   **12**  |   127  |   229   |   233   |   239   |   241   |   337   |
|  2  |  **243**  |  2437  |   2539  |   2543  |   2549  |   2551  |   4957  |
|  3  |  **3939** |  39397 |  39499  |  39503  |  39509  |  39511  |  78877  |
|  4  |  **4401** |  44017 |  44119  |  44123  |  44129  |  44131  |  88117  |
|  5  |  **7614** |  76147 |  76249  |  76253  |  76259  |  76261  |  152377 |
|  6  | **11280** | 112807 |  112909 |  112913 |  112919 |  112921 |  225697 |
|  7  | **18702** | 187027 |  187129 |  187133 |  187139 |  187141 |  374137 |
|  8  | **28899** | 288997 |  289099 |  289103 |  289109 |  289111 |  578077 |
|  9  | **29055** | 290557 |  290659 |  290663 |  290669 |  290671 |  581197 |
|  10 | **53385** | 533857 |  533959 |  533963 |  533969 |  533971 | 1067797 |
|  11 | **55842** | 558427 |  558529 |  558533 |  558539 |  558541 | 1116937 |
|  12 | **72315** | 723157 |  723259 |  723263 |  723269 |  723271 | 1446397 |
|  13 | **82227** | 822277 |  822379 |  822383 |  822389 |  822391 | 1644637 |
|  14 | **82407** | 824077 |  824179 |  824183 |  824189 |  824191 | 1648237 |
|  15 | **83949** | 839497 |  839599 |  839603 |  839609 |  839611 | 1679077 |
|  16 | **95793** | 957937 |  958039 |  958043 |  958049 |  958051 | 1915957 |

蔡家雄

同邻距的七生素数（十四元素数组），

且前一组七生素数之和是后一组七生素数的首项，

蔡家雄猜想：同邻距的七生素数（十四元素数组）有 无穷多组解。

（ 11，13，17，19，23，29，1068589，1068701，1068703，1068707，1068709，1068713，1068719，2137279 ）

蔡家雄

求 八生素数，m在十万以内，

求（10m+9, 10m+121, 10m+123, 10m+127, 10m+129, 10m+133, 10m+139, 20m+119）都是素数。

实际找到的解
将搜索范围扩大到1亿后，找到了6个解，但最小的解是 m = 106,858，已经超过了十万，

| 序号  |    m        |   八生素数                                                                                                                 |
| --- | ----------- | ------------------------------------------------------------------------------------------- |
| 1   | **106,858** | 1068589, 1068701, 1068703, 1068707, 1068709, 1068713, 1068719, 2137279         |
| 2   | 124,624     | 1246249, 1246361, 1246363, 1246367, 1246369, 1246373, 1246379, 2492599         |
| 3   | 1,572,070   | 15720709, 15720821, 15720823, 15720827, 15720829, 15720833, 15720839, 31441519 |
| ... | ...         | ...                                                                            |
结论
在 m < 100,000 范围内，不存在满足条件的八生素数。
最小的解出现在 m = 106,858 处，此时八生素数为：
（ 1068589, 1068701, 1068703, 1068707, 1068709, 1068713, 1068719, 2137279 ）
这是一个非常稀疏的素数组合，
符合素数星座（prime constellations）理论的预期——随着素数个数的增加，满足条件的组合变得越来越罕见！

ysr

蔡家雄 发表于 2026-3-23 21:59
|  序号 |    m 值    | 生成的六个素数                                         |
| :-: | :-------: | ...

m在200000内的蔡氏素数组有20 组：
(4441   4513   4517   4519   4523   8941 )  
(40351   40423   40427   40429   40433   80761 )  
(43711   43783   43787   43789   43793   87481 )  
(91381   91453   91457   91459   91463   182821 )  
(150301   150373   150377   150379   150383   300661 )  
(308851   308923   308927   308929   308933   617761 )  
(406501   406573   406577   406579   406583   813061 )  
(954181   954253   954257   954259   954263   1908421 )  
(1008781   1008853   1008857   1008859   1008863   2017621 )  
(1063891   1063963   1063967   1063969   1063973   2127841 )  
(1091191   1091263   1091267   1091269   1091273   2182441 )  
(1105261   1105333   1105337   1105339   1105343   2210581 )  
(1172461   1172533   1172537   1172539   1172543   2344981 )  
(1313371   1313443   1313447   1313449   1313453   2626801 )  
(1399471   1399543   1399547   1399549   1399553   2799001 )  
(1455121   1455193   1455197   1455199   1455203   2910301 )  
(1507531   1507603   1507607   1507609   1507613   3015121 )  
(1547641   1547713   1547717   1547719   1547723   3095341 )  
(1665451   1665523   1665527   1665529   1665533   3330961 )  
(1798051   1798123   1798127   1798129   1798133   3596161 )