一题 \(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\) 多解

蔡家雄

求 \(x^2 - 2*653*y^2= - 2*653\) 的正整数解，，

ysr

蔡家雄 发表于 2025-4-30 12:23
求 \(x^2 - 2*397*y^2= 2*397\) 的正整数解，，

x=851962  y=30235

5.4375

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-4-30 20:16
求 \(x^2 - 2*293*y^2= 2*293\) 的正整数解，，

{{99615701690, 4115086707},
{6747544706499326395888914920930, 278738502620927475564887001093},
{457050031207857075279656189789825181597216868778450, 18880562762187453748735873178865984432917980943307},
{30958628673611142424080959298711675662347855167519382894474334315652170, 1278889162656123171260481569546139632806686659008989362471024184840093}}

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-4-30 20:24
求 \(x^2 - 2*397*y^2= - 2*397\) 的正整数解，，

{{819854499665992869660,33867877212256207699},
{55533463053207189113173240979211991024680,2294066213728926629450135505522053749201},
{3761601015714775608933956451321964646402309570791937837152980,155390305686713586329494685758507418378189568707685966389299},
{254794882643452507756600225619587693096580114870962506074191343360820311442561360,10525479585945146548572774588202344038586809428162775256396022160129641216276801}}

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-4-30 20:23
求 \(x^2 - 2*397*y^2= 2*397\) 的正整数解，，

{{851962,30235},{3115302056057762,110557933002205},{11391478614224388247689362,404268448697778415058675},{41654318805458892581548772236186762,1478256459527411233357424628422645},{152314052802612658304072501477053406457209962,5405423468424448957440090084482048582067115}}

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-4-30 20:24
求 \(x^2 - 2*397*y^2= - 2*397\) 的正整数解，，

{{51518142140,1828310451},
{188382315381331010280,6685438210471646801},
{688842711990531072719106730420,24446113099440098969069724051},
{2518836658854941946396785329841320228560,89390168132068670380563566249787067201},
{9210430775492824106502206110714204818308806630700,326865957225016596588470917789193044007385511251}}

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-4-30 20:54
求 \(x^2 - 2*653*y^2= 2*653\) 的正整数解，，

{{11266620527638034,311761210150515},
{4380239079155567964046540671811523653529908634,121206588321334292093928808378317878581815045},
{1702950262991055811570355815772027476534357118976377947348463422179213989834,47122722693450971021224632561223353245639063966092625830336633525344720075}}

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-4-30 20:55
求 \(x^2 - 2*653*y^2= - 2*653\) 的正整数解，，

{{7024990500006134621157157375020,194390104309027154137909530451},
{2731177272132234663414972656540302141271639273893839833468040,75575025306548914717764619856994818473033542994430592526801},
{1061827669632458675653609789471004128969181229892931596747345851910244763891653705473197060,29382074104994820814913400064779609541447338552925364047455865122555341528515533176704051}}

蔡家雄

若 \(8k+5\) 和 \(8k+13\) 都是质数，

则 \(x^2 - 2*(8k+5)*y^2= ±2*(8k+13)\) 都有正整数解，，


若 \(8k+5\) 和 \(8k+37\) 都是质数，

则 \(x^2 - 2*(8k+5)*y^2= ±2*(8k+37)\) 都有正整数解，，


若 \(8k+5\) 和 \(8k+293\) 都是质数，

则 \(x^2 - 2*(8k+5)*y^2= ±2*(8k+293)\) 都有正整数解，，


若 \(8k+5\) 和 \(8k+397\) 都是质数，

则 \(x^2 - 2*(8k+5)*y^2= ±2*(8k+397)\) 都有正整数解，，


若 \(8k+5\) 和 \(8k+653\) 都是质数，

则 \(x^2 - 2*(8k+5)*y^2= ±2*(8k+653)\) 都有正整数解，，

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-5-3 10:49
求 \(x^2 - 2*29= 2*37\) 的正整数解，，

无解。

x^2 - 2*29 y^2 == 2*37的解很多，如：

{{54,7},{13518,1775},{2103606,276217},{529986654,69590657},{82473976782,10829363695},{20778656743206,2728371296567},{3233474731611486,424576032749953},{814648015744147782,106968524983615145},{126771610245085943334,16645927929165293623},{31939090084486401197886,4193807987779244078303},{4970207748035364762741318,652620249966278469033385},{1252203965037725829620170734,164422435861904518350332273},{194861964842702900642950170174,25586629503531985727757598687},{49093908621329988791602012599318,6446346016208020558663883016935},{7639758188652802174572139609100526,1003149395662854782476185945089137},{1924775780155659575525822676348690774,252735441747029218161071679211621337},{299524359349459797213572404871445052182,39329475180771255098229360435407106535},{75462759187688880696735415057324757886126,9908745722687681511014955696506943121487},{11743152025015162620902517530817735106746966,1541951402934168431718325522754385073722073},{2958592934787754476440549107211651781334765182,388482284550957799573823134876179532809397985},{460402017993220106365644305099667717723676496814,60453746664107532353177415346879060764940487503}}