\(\huge\color{red}{\textbf{实数集可数定理和证明}}\)

APB先生

不可数的不能与 1 对等的任一实数 \(x\in R\) 都是不存在的；假如实数集不可数，则加减乘除微积分都不可能存在。

APB先生

不可数的不能与 1 对等的任一实数 \(x\in R\) 都是不存在的；假如实数集不可数，则加减乘除微积分都不可能存在。因此康托尔的不可数实数集 \(R\) 是个空集 \(\varnothing\) 。

李利浩

无穷不可能是既成事实

春风晚霞

最小无穷大序数α把自然数列分为两段，小于α的部分是有限数，而不小于α的部分叫无穷自然数。所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥α\}\)称所有无穷大自然数的集合。皮亚诺公理第三条指出自然数中只有0没有前趋，也就是说自然数集中任何非0数都有前趋，所以α-1是有限数。因此你所构造的e氏自然数中存在最大数α-1，这就说明e氏白壮数集与自然数中没有最大只有更大矛质。同时由皮亚诺公理笫二条，由于α是确定的自然，所以α+1也是确定的自然数，所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥a≠\phi\}\)！还有在自然数中只有0是极限序数(没有直前，但有后继)(皮亚诺公理第三条），并且每个确定的自然数都有后继，其后继也是自然数。所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！elim混世魔王，你恼怒也罢，咒骂也罢，自然数集是无限集，且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)是你改变不了的。

elim

论坛滚驴的脑回路, APB一样乱,
所发驴滚烂贴常洋洋洒洒日逾万行．

春风晚霞

最小无穷大序数α把自然数列分为两段，小于α的部分是有限数，而不小于α的部分叫无穷自然数。所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥α\}\)称所有无穷大自然数的集合。皮亚诺公理第三条指出自然数中只有0没有前趋，也就是说自然数集中任何非0数都有前趋，所以α-1是有限数。因此你所构造的e氏自然数中存在最大数α-1，这就说明e氏白壮数集与自然数中没有最大只有更大矛质。同时由皮亚诺公理笫二条，由于α是确定的自然，所以α+1也是确定的自然数，所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥a≠\phi\}\)！还有在自然数中只有0是极限序数(没有直前，但有后继)(皮亚诺公理第三条），并且每个确定的自然数都有后继，其后继也是自然数。所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！elim混世魔王，你恼怒也罢，咒骂也罢，自然数集是无限集，且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)是你改变不了的。

APB先生

纯整数 \(\gets.0=\cdots a_2a_1.0\) 与纯小数 \(0.\to=0.a_1a_2\cdots\) 是对称的、对等的：\[\gets.0\longleftrightarrow0.\to\] \[\cdots a_2a_1\longleftrightarrow0.a_1a_2\cdots\]

APB先生

      我反对的是康托尔的伪定理——实数集不可数、及其伪证明——对角线法。
      因为实数集 \(\mathbb{R}\) 必有 \(\left| \mathbb{N}\cup\mathbb{Z}\cup\mathbb{Q}\right|\) 个实数是可数的；
      所以实数集不可数是伪定理。
      因为康托尔在其对角线法证明中，只是将区间 \(\left( 0{,}\ 1\right)\) 的全体有限小数如 \(0.a_1\) 都改写成无限小数如 \(0.a_1a_2\cdots\) ，没有把全体无限小数如 \(0.a_1a_2\cdots\) 都改写成有限小数如 \(0.a_1\) ；这是学术不端或学术造假。
      因为有 \(a=b\)，则有 \(b=a\)；\(a=b\) 具有自反性；只许 \(a=b\)，不许 \(b=a\)，是毫无道理的，是不公道的；
      因为
\[\left( 0.5=0.499\cdots\right)\longleftrightarrow\left( 0.499\cdots=0.5\right)\] 假如把全体无限小数如 \(0.a_1a_2\ldots\) 也都公平的改写成有限小数如 \(0.a_1\) ，如把无理数也都改成有理数，则其对角线法就根本不能成立，实数集不可数根本不能得证，反倒是实数集可数能够得证。  
      所以其对角线法证明是伪证明。
      我支持康托尔一切正确理论——集合论和无穷结构。
      我支持春风晚霞老师的 \(\upsilon=\lim n\in\mathbb{N}{,}\ \cdots\) 。

APB先生

实数集可数的证明（二）

      因为证明实数集 \(\mathbb{R}\) 可数，只要证明区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的全体实数可数即可；
      因为区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的全体小数与全体分数是等势的：\[\left( 0{,}1\right)=\bigcup_{n=1}^{\infty}0.a_1a_2\cdots a_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}\frac{a_1a_2\cdots a_n}{10^n}{,}\ \ \ \ \ \ a_n\in\left\{ 1{,}2{,}\cdots{,}9\right\}\]
      因为区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的全体分数与自然数集是等势的，\[\left| \left\{ \frac{1}{10^n}{,}\ \frac{2}{10^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{10^n-1}{10^n}\right\}_{n=1}^{\ \infty}\right|=\left| \left\{ 1{,}\ 2{,}\ \cdots{,}\ 10^n-1\right\}_{n=1}^{\ \infty}\right|\]
      所以实数集 \(\mathbb{R}\) 可数。
  

APB先生

万物可数！不可数的万物是不存在的。