用公式法求解特殊佩尔方程

蔡家雄

设 \(d\) 是 \(8k+5\) 型的质数，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*d*y^2= -1\) 的最小解，

则 \(x=2*x_1*x_1+1\) , \(y=2*(x_1*y_1)\) 是 \(x^2 - 2*d*y^2= 1\) 的最小解，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*d*d*y^2= -1\) 的最小解，

则 \(x=2*x_1*x_1+1\) , \(y=2*(x_1*y_1)\) 是 \(x^2 - 2*d*d*y^2= 1\) 的最小解，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*d*d*d*y^2= -1\) 的最小解，

则 \(x=2*x_1*x_1+1\) , \(y=2*(x_1*y_1)\) 是 \(x^2 - 2*d*d*d*y^2= 1\) 的最小解，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*d*d*d*d*y^2= -1\) 的最小解，

则 \(x=2*x_1*x_1+1\) , \(y=2*(x_1*y_1)\) 是 \(x^2 - 2*d*d*d*d*y^2= 1\) 的最小解，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*d*d*d*d*d*y^2= -1\) 的最小解，

则 \(x=2*x_1*x_1+1\) , \(y=2*(x_1*y_1)\) 是 \(x^2 - 2*d*d*d*d*d*y^2= 1\) 的最小解，

蔡家雄

设 \(d\) 是 \(8k+5\) 型的质数，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*d*y^2= 2*d\) 的最小解，

则 \(x=2*(x_1*y_1)\) , \(y=2*y_1*y_1+1\) 是 \(x^2 - 2*d*y^2= -2*d\) 的最小解，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*d*d*y^2= 2*d*d\) 的最小解，

则 \(x=2*(x_1*y_1)\) , \(y=2*y_1*y_1+1\) 是 \(x^2 - 2*d*d*y^2= -2*d*d\) 的最小解，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*d*d*d*y^2= 2*d*d*d\) 的最小解，

则 \(x=2*(x_1*y_1)\) , \(y=2*y_1*y_1+1\) 是 \(x^2 - 2*d*d*d*y^2= -2*d*d*d\) 的最小解，

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-4-27 20:29
求 \(x^2 - 2*197*y^2= 2*197\) 必有正整数解，，

{{7840983362,395023035},{4894128482749765152702737162,246562630945646098203340605},{3054781843020382924802336576715040280291864762,153897685938337441109874751893013939056822675},{1906711714115849692295240395323246292784020077855699120677606162,96058748425653819091435073344924031753074994444552731668412245},{1190117575516289871338938133457059480481613348271080860775442714676323381008821362,59957257270263101780378060635863552375352242246798679166970379939642481777802315},{742839010778067865687289428578213194745014651723689289626323850829324204246086135006310193327990362,37423688714358233665642759002573502260129594382174083411593794467814765352382778796061927567135885}}

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-4-27 20:30
求 \(x^2 - 2*197*y^2= - 2*197\) 必有正整数解，，

{{6194738090083487340,312086396361222451},{3866586973871514758510485463164540680,194795837587468083808469702212894801},{2413418389785610463501778513122485841846771671354126020,121586261957677757877508823512768806815531963283532051},{1506390096360190576521982343815987576757862934433474959240570156650009360,75890836682806487075265512313996743612580933288959525377925600585659201},{940247713374573035338523806671075932832722676877096305465718603673635568455702109030156700,47368995474350291503488526602392187685651716166768010169636755766680905311524932788311251}}

蔡家雄

若 \(8a+5\) 和 \(8b+5\) 都是质数，\(( a < b )\)

且 \((8b+5) - (8a+5)=(2n+1)^2 -1\)，

或 \((8b+5) -(8a+5)=8*n^2\)，

则 \(x^2 - (8a+5)*(8b+5)*y^2= ±1\) 都有正整数解，，

则 \(x^2 - (8a+5)*(8b+5)*y^2= ±(8a+5)*(8b+5)\) 都有正整数解，，

蔡家雄

若 \(8k+5\) 和 \(8k+9\) 都是质数，

则 \(x^2 - (8k+5)*(8k+9)*y^2= -1\) 没有 正整数解。

如 13*17，37*41，109*113，229*233，277*281，349*353，......

蔡家雄

求证：4*n^2+1 的素因子均为 4k+1 的形式，

蔡家雄

若 \(8a+5\) , \(8b+5\) , \(8c+5\) , \(8d+5\) 都是质数，\(a < b\) ,  \(c < d\) ,

且 \((8b+5) -(8a+5)=8\) 及 \((8d+5) -(8c+5)=120\) ，

则 \(x^2 - (8a+5)*(8b+5)*(8c+5)*(8d+5)*y^2= ±1\) 都有正整数解，，

则 \(x^2 - (8a+5)*(8b+5)*(8c+5)*(8d+5)*y^2= ±(8a+5)*(8b+5)*(8c+5)*(8d+5)\) 都有正整数解，，


若 \(8a+5\) , \(8b+5\) , \(8c+5\) , \(8d+5\) 都是质数，\(a < b\) ,  \(c < d\) ,

且 \((8b+5) -(8a+5)=24\) 及 \((8d+5) -(8c+5)=48\) ，

则 \(x^2 - (8a+5)*(8b+5)*(8c+5)*(8d+5)*y^2= ±1\) 都有正整数解，，

则 \(x^2 - (8a+5)*(8b+5)*(8c+5)*(8d+5)*y^2= ±(8a+5)*(8b+5)*(8c+5)*(8d+5)\) 都有正整数解，，

ysr

蔡家雄 发表于 2025-5-17 22:02
求 \(x^2 - 2*349*y^2= -1\) 的正整数解，，

请输入一个数字：10000000
x= 5099 y= 193

蔡家雄

任一正整数均可表为 一个质数 与 一个平方数 的差。

64=73-3^2=89-5^2=113-7^2=233-13^2=353-17^2=......


任一质数均可表为 另一个质数 与 一个m次方数 的差。

2=11-3^2=29-3^3=83-3^4=59051-9^5=3518743763-39^6=4782971-9^7=6563-3^8

2=2357947693-11^9=59051-3^10=8649755859377-15^11=282429536483-9^12

2=2541865828331-9^13=4782971-3^14=14348909-3^15=6568408355712890627-15^16

2=762939453127-5^17=150094635296999123-9^18

2=15398217140735709790332844752065729-63^19（最小解）