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如果我们继续扩展，好像可以有
\[F_{h}(n,m)=C_M(M,n,h)=\frac1m\sum_{d|m}c(m,d,h){[dn/m]\choose d}\]
其中表格c(m,d,h)我现在还没有找出规律
比如m=12,横向为d,纵向为h,可以有表格
\[\begin{matrix}m=12&\begin{matrix}1&2&3&4&6&12\end{matrix}\\
\begin{matrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 6\\ 12\end{matrix}&\begin{bmatrix}0&1&0&-1&-1&1\\-2&-1&2&-1&1&1\\0&-2&0&2&-1&1\\2&-1&-2&-1&1&1\\4&2&2&2&1&1\\-4&2&-2&2&1&1\end{bmatrix}\end{matrix}\]
而比如m=8,可以有
\[\begin{matrix}m=8&\begin{matrix}1&2&4&8\end{matrix}\\
\begin{matrix} 1\\ 2\\ 4\\ 8\end{matrix}&
\begin{bmatrix}0&0&-1&1\\0&-2&1&1\\4&2&1&1\\-4&2&1&1\end{bmatrix}\end{matrix}\]
而比如m=4,可以有
\[\begin{matrix}m=4&\begin{matrix}1&2&4\end{matrix}\\
\begin{matrix} 1\\ 2\\ 4\end{matrix}&
\begin{bmatrix}0&-1&1\\2&1&1\\-2&1&1\end{bmatrix}\end{matrix}\]
而比如m=9,可以有
\[\begin{matrix}m=9&\begin{matrix}1&3&9\end{matrix}\\
\begin{matrix} 1\\ 3\\ 9\end{matrix}&
\begin{bmatrix}0&-1&1\\-3&2&1\\6&2&1\end{bmatrix}\end{matrix}\]
而比如m=16,可以有
\[\begin{matrix}m=16&\begin{matrix}1&2&4&8&16\end{matrix}\\
\begin{matrix} 1\\ 2\\ 4\\ 8\\ 16\end{matrix}&
\begin{bmatrix}0&0&0&-1&1\\0&0&-2&1&1\\0&-4&2&1&1\\8&4&2&1&1\\-8&4&2&1&1\end{bmatrix}\end{matrix}\]
分析结果好像如下,定义有理数域中函数g(x)如下,
\(g(p^a)=\begin{cases}0&a\ge2\\\frac1{1-p}&a==1\\1&a\le0\end{cases}\)
\(g(p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_t^{a_t})=g(p_1^{a_1})g(p_2^{a_2})\cdots g(p_t^{a_t})\)
那么$c(m,d,h)=(-1)^{m-d}\varphi(\frac m d)g(\frac{m}{dh})$
即
\[F_{h}(n,m)=C_M(M,n,h)=\frac1m\sum_{d|m}(-1)^{m-d}\varphi\left(\frac m d\right)g\left(\frac{m}{dh}\right){[dn/m]\choose d}\]
这是从数学研发论坛复制过来的。从1--n中取出m个不同数，其和正好整除m的有多少个。
把整个帖子复制过来了。
由管理员mathe编写的。 |
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狗仔卡
发表于 2021-8-18 22:13
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