从素数数量π(x)分析当x趋大10倍时素数π(x)的倍率变化以及素数出现率变化趋势

重生888@

谢谢愚工先生！

G（9692178024）=27450698       真值

  G（9692178024）=27366182     愚工计算数据                     27366182/27450698=0.996921

D（9692178024）=26184124       我事先计算数据                  26184124/27450698=0.953860

杨先生看到我的计算，可作比较了吧？

yangchuanju

重生888@ 发表于 2021-12-10 14:32
谢谢愚工先生！

G（9692178024）=27450698       真值

上海愚工老师已经给出偶数9692178024的单计哥猜真实数值是27450698，折双计哥猜数是54901396，
比先前计算的数字52154063稍大一点，54901396/52154063=1.052677。
估算精度为52154063/54901396=0.949959。

请吴代业老师看一看你的计算误差吧！
52368248/54901396=0.953860；比我大计算精度还要高呢！

白新岭

yangchuanju 发表于 2021-12-10 12:50
【转载】上海愚工688
G( 10^10) = 18200488; ( 2.539 sec)
G( 10^11) = 149091160; (38.146 sec)

10^n        偶数为10的n次方(理论值)        愚工688给的数据单记        比值(理论/实际）
2        14               
3        56               
4        282               
5        1661               
6        10993               
7        78335               
8        587153               
9        4567073               
10        36548552        18200488        1.004054177
11        299158483        149091160        1.003273712
12        2494079818        1243722370        1.002667427
13        21112797736        10533150855        1.002207128
14        1.8104035318900000E+11        9.0350630388000000E+10        1.001876536
15        1.5696113224770000E+12        7.8353834185200000E+11        1.001617431
16        1.3738923405990000E+13        6.8526741128787000E+12        1.002449787

白新岭

yangchuanju 发表于 2021-12-10 14:53
上海愚工老师已经给出偶数9692178024的单计哥猜真实数值是27450698，折双计哥猜数是54901396，
比先前计 ...

回复下楼点评。我的是安自己的公式给出，以不变应万变。因为，我的公式始终如一，不需要做修正调整，k1，k2，u等值都不需要。
       误差，随着范围的扩大，绝对误差增大，相对误差减小，可以无限制的向0趋近。

重生888@

白新岭 发表于 2021-12-10 16:20
回复下楼点评。我的是安自己的公式给出，以不变应万变。因为，我的公式始终如一，不需要做修正调整，k1， ...

我没看到白先生公式，请写在这里。谢谢！

重生888@

10^n        偶数为10的n次方(理论值)        愚工688给的数据单记        比值(理论/实际）   吴计算              
  10                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        36548552        18200488                                                                                                          1.004054177
11        29                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    9158483        149091160        1.003273712
12        2494079818        1243722370        1.002667427
13        21112797736        10533150855        1.002207128                                                                                                                                                   

愚工688

前面偶数的素对下界计算值的精度如下：


G(9692178024) = 27450698；
inf( 9692178024 )≈  27366182.6 , jd ≈0.9969,infS(m) = 13226988.26 , k(m)= 2.06897
G(9692178026) = 13888355；
inf( 9692178026 )≈  13847313.3 , jd ≈0.9970,infS(m) = 13226988.26 , k(m)= 1.0469
G(9692178028) = 14473451；
inf( 9692178028 )≈  14429441.8 , jd ≈0.99696,infS(m) = 13226988.27 , k(m)= 1.09091
G(9692178030) = 35392172；
inf( 9692178030 )≈  35286124.5 , jd ≈0.9970,infS(m) = 13226988.27 , k(m)= 2.66774
G(9692178032) = 13267908；
inf( 9692178032 )≈  13226988.3 , jd ≈0.99692,infS(m) = 13226988.27 , k(m)= 1
G(9692178034) = 17791145；
inf( 9692178034 )≈  17735622.7 , jd ≈0.99688,infS(m) = 13226988.28 , k(m)= 1.34087
G(9692178036) = 26996038；
inf( 9692178036 )≈  26918081.4 , jd ≈0.99711,infS(m) = 13226988.28 , k(m)= 2.03509
G(9692178038) = 13563447；
inf( 9692178038 )≈  13520921.4 , jd ≈0.99686,infS(m) = 13226988.28 , k(m)= 1.02222
G(9692178040) = 18892970；
inf( 9692178040 )≈  18834145.0 , jd ≈0.99689,infS(m) = 13226988.28 , k(m)= 1.42392
G(9692178042) = 26908890；
inf( 9692178042 )≈  26826301.2 , jd ≈0.99693,infS(m) = 13226988.29 , k(m)= 2.02815
G(9692178044) = 13814593；
inf( 9692178044 )≈  13769431.8 , jd ≈0.99673,infS(m) = 13226988.29 , k(m)= 1.04101
G(9692178046) = 14451614；
inf( 9692178046 )≈  14405190.6 , jd ≈0.99679,infS(m) = 13226988.29 , k(m)= 1.08908
time start =12:00:19  ,time end =12:03:05   ,time use =


全部素对下界计算值的精度都在0.99以上，挺不错吧！

愚工688

其实在1楼中已经用事实素数的出现数量的比值K(10^n)讲清楚了，可以明显的看到：

1，随着数10^n 的n不断增大，实际素数数量的倍率k(x)是单调增大的；

2，随数n的增大，倍率K(10^n)=π[10^（n+1)]/π(10^n)的比值K(10^n)逐渐的接近10；
      同理有 x→∞时 倍率K(x)=π（2x)/π(x)→2 ，这是必然的结果。

3，随数n的增大，倍率k(x)的增大量越来越小，即Δk(x)→0。

因此事实证明了x趋于无穷大时素数出现率趋于0是错误的，是不符合事实的，也不符合现有的实际素数出现率数据的变化趋势。

大傻8888888

愚工688 发表于 2021-12-11 21:00
其实在1楼中已经用事实素数的出现数量的比值K(10^n)讲清楚了，可以明显的看到：

1，随着数10^n 的n不断 ...

x=10 ,  π(10)=4;
x=10^2, π(10^2)=25;  k(10)=6.25;
x=10^3, π(10^3)=168;  k(10^2)=6.72;
......
根据上面
π(10)/10=4/10=2/5
π(10^2)/(10^2)=(4*6.25)/（10^2）
π(10^3)/(10^3)=(4*6.25*6.27)/（10^3）
.......
可以看出
π(10^n)/(10^n)=(4*6.25*6.27*......)/（10^n）中(4*6.25*6.27*......)中有n项小于10的数相乘的积和分母（10^n）相比值越来越小，这个值会收敛吗？答案是否定的，根据素数定理这个值不会收敛，因为π（N）/N=1/lnN，可以知道随着10^n的n趋近无限大，π(10^n)/(10^n)=1/n（ln10）的值趋近无限小，也就是趋于无穷大时素数出现率趋于0。
愚工688的计算能力在这个论坛可以说是数一数二。但是一直认为x趋于无穷大时素数出现率趋于0是错误的，本来想标新立异，推翻大家公认的定理，提高自己的威望，结果只能是碰的头破血流，甚是可惜。

愚工688

大傻8888888 发表于 2021-12-11 14:44
x=10 ,  π(10)=4;
x=10^2, π(10^2)=25;  k(10)=6.25;
x=10^3, π(10^3)=168;  k(10^2)=6.72;

闭着眼睛说瞎话！
脱离了事实说瞎话只能说出的是永远不符合实际瞎话！

极限理论告诉我们：
x→∞时，有 lim (i/x)→0;
但是 谁告诉你：
x→∞时，有 lim (1/lnx)→0 的？
难道你不知道1/x与1/（ln x) 是两个不同阶的无穷小量吗？
难道就能够套用x→∞时 极限 lim (1/x)→0 ，得出x→∞时  lim (i/lnx)→0 吗？
而素数定理明明告诉我们的是；
x→∞时 有lim [π(x)/x]=1/ln x  ;
它的左边
lim [π(x)/x]=lim [1/π(x)]÷lim( 1/x ) ;就是两个无穷小量的比值。
而我帖子内的数据已经明白的显示出这两个无穷小量是同阶的无穷小量；

教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：（摘自《高等数学》教材28页，书号：13012.096）
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多，则称为u为比v低价的无穷小量；
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。



现在我们再来看看另一种素数发生率的表示形式 ，来判断π(1-1/p）的极限：

在x→∞时，p→∞,
  π(1-1/p）=π[(p-1)/p[=π(p-1)／π(p)；
  π(p-1)→∞与π(p）→∞ ,则π[1/(p-1)]→0，π[1/(p)]→0，

那么这两个无穷小量是否是同阶无穷小量呢？
以实验数据作依据，即可得到结论：
p( 2 )= 3  , π[1/(p)]= .3333333333333333 , π[1/(p-1)]= .5
p( 3 )= 5  , π[1/(p)]= 6.666666666666667D-02 , π[1/(p-1)]= .125
p( 4 )= 7  , π[1/(p)]= 9.523809523809523D-03 , π[1/(p-1)]= 2.083333333333333D-02
p( 5 )= 11  , π[1/(p)]= 8.658008658008657D-04 , π[1/(p-1)]= 2.083333333333333D-03
……
p( 135 )= 761  , π[1/(p)]= 1.592007967968415D-318 , π[1/(p-1)]= 9.46898549143166D-318
p( 136 )= 769  , π[1/(p)]= 2.070135056074823D-321 , π[1/(p-1)]= 1.23269378637391D-320
p( 137 )= 773  , π[1/(p)]= 0 , π[1/(p-1)]= 0
p( 138 )= 787  , π[1/(p)]= 0 , π[1/(p-1)]= 0

显然两者趋于0的速度差不多，但是  π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]≠1，故两者是同阶无穷小量。
因此依据同阶无穷小量比较定理，若lim α(x)／β(x)= c ≠0, 则α(x)与β(x)是同阶无穷小.

据此得出结论：x →∞时 素数出现率→0 是不符合极限理论，也是不符合实际数据验证的。


顺便告诉你，你的言论是符合专家的理论的。

关于素数的出现率，目前的数学界主流理论是：
  x→∞时，1/lnx→0；也就是π(x)/x→0 ；书《数论导引》（华罗庚编著）93页定理）
以及 王元先生的著作《谈谈素数》章节12.中有：x→∞时， 素数的出现概率π(1-1/p）为零。

但是不符合事实上素数出现的情况是显而易见的。
你可以搬任意的救兵，看看能否改变素数出现率→0的不符合极限无穷小量的比较定理的结论。