[原创]孪生素数与素数的几率公式

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/08/17 09:52am 第 2 次编辑]


今天要恭喜 ysr 先生，您说的那个结论完全正确，昨天电脑自动算了一晚上，今天早上得出如下结果：
   在 2000 亿内计算——
   n2 + n4 = 424084653 + 424077103 = 848161756，
  n6 + nn6 = 774313470 + 73808680  = 848122150，
（n2 + n4）：（n6 + nn6）= 1.0000467，因此可以相信，当考虑范围越来越大时，二者的数量将越来越趋于相等。
   注：
   nn6 是间距为 6 的“不相邻素数对”的数量，而间距为 6 的“相邻素数对”的数量是 n6，
  n2 为间距为 2 的素数对的数量，也就是孪生素数对的数量；
  n4 为间距为 4 的相邻素数对的数量。
  注意，nn2 和 nn4 都是零，就是说，间距是 2 或 4 的两个素数之间，不可能再有第三个素数。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 天山草 在 时添加 -=-=-=-=-
其实，nn4=1，因为 7-3=4，中间还有个 5 也是素数。这个例子很特殊，nn4 只此一家，别无分号。

天山草

“不相邻间距为 6 ”的素数对的例子：
  5            11
  7            13
  11           17
  13           19
  17           23
  37           43
  41           47
  67           73
  97           103
  101          107
  103          109
  107          113
  191          197
  193          199
  223          229
  227          233
  277          283
  307          313
  311          317
  347          353
  457          463
  461          467
  613          619
  641          647
  821          827
  823          829
  853          859
  857          863
  877          883
  881          887

ysr

谢谢天山草老师,您的论证或验证是有价值的,将有利于改写其他素数对个数公式!

ysr

我们把能产生素数的公式叫素数几率公式，如2N+1，4X+1，4X+3，6X+1，6X+5，2^P-1,2^F+1,……，等等。
   能产生无穷多素数的，可以无限优化（在某区域使素数和合数比例反转）的，叫可优化素数几率公式。是可以无穷的优化的。
   只产生有限个素数的，叫合数公式或有限素数几率公式。
如下为优化的几率公式，n=11m-3,f1(n)=n(n+1)+101,f2(n)=f1(n)+2,f3(n)=f1(n)-2,
其中f1(n)前21项中只有2个合数，表中有4对孪生素数，（此法也算1种优化法，但不是最好的，丢了许多素数如n=11m-1的情况，最好的用到高斯函数）
m   n=11m-3 f1(n)  f2(n)   f3(n)

1,8,173,175,171
2,19,481,483,479
3,30,1031,1033,1029
4,41,1823,1825,1821
5,52,2857,2859,2855
6,63,4133,4135,4131
7,74,5651,5653,5649
8,85,7411,7413,7409
9,96,9413,9415,9411
10,107,11657,11659,11655
11,118,14143,14145,14141
12,129,16871,16873,16869
13,140,19841,19843,19839
14,151,23053,23055,23051
15,162,26507,26509,26505
16,173,30203,30205,30201
17,184,34141,34143,34139
18,195,38321,38323,38319
19,206,42743,42745,42741
20,217,47407,47409,47405
21,228,52313,52315,52311
22,239,57461,57463,57459
23,250,62851,62853,62849
24,261,68483,68485,68481
25,272,74357,74359,74355
26,283,80473,80475,80471
27,294,86831,86833,86829
28,305,93431,93433,93429
29,316,100273,100275,100271
30,327,107357,107359,107355
31,338,114683,114685,114681
32,349,122251,122253,122249
33,360,130061,130063,130059
34,371,138113,138115,138111
35,382,146407,146409,146405
36,393,154943,154945,154941
37,404,163721,163723,163719
38,415,172741,172743,172739
     
素数的可优化几率公式，在理论上有重要应用，如证明数论问题。
孪生素数猜想的1种证明：
    设f(n)=(n+1)(n+2)-5,则可以证明4(f(n))+1,4(f(n))+3,都是可优化几率公式，就是含无穷素数的，
    设f1(n)是优化后的函数，且4(f1(n1))+1,4(f1(n2))+3都是素数，则4(f1(n1))+1,4(f1(n2))+3在全集（某区域）中占多数，当n1=n2时为孪生素数。
    设n1元素组成集合A，n2的元素组成集合B，AB的全集相等，则AB的交集C必不为空集，（在全集中占到超过1半的2个子集必有交集）。
    如下图：
  由于该公式可以无穷的优化，所以，C中的元素是无穷的，故孪生素数有无穷多对。
      同理可证明，
     差为4的素数对有无穷多对，
     差为6的素数对有无穷多对，
     差为8的素数对有无穷多对，
     ……
     差为2N的素数对有无穷多对，
得定理1：任意2个素数的差（包括自身相减）得到全体偶数。
  定理2：任意2个素数的和可构成大于等于4的全体偶数（这就是哥猜），是前面定理1的推论，看来是简单的，为何“官猜”认为是没有理论工具可以解决呢？？
     这可是基础理论！
如下数列的前44项中有11对孪生素数，X=N(N+1)-5，Y1=4X+1，Y2=4X+3，
N X   Y1  Y2
1,-3,-11,-9
2,1,5,7
3,7,29,31
4,15,61,63
5,25,101,103
6,37,149,151
7,51,205,207
8,67,269,271
9,85,341,343
10,105,421,423
11,127,509,511
12,151,605,607
13,177,709,711
14,205,821,823
15,235,941,943
16,267,1069,1071
17,301,1205,1207
18,337,1349,1351
19,375,1501,1503
20,415,1661,1663
21,457,1829,1831
22,501,2005,2007
23,547,2189,2191
24,595,2381,2383
25,645,2581,2583
26,697,2789,2791
27,751,3005,3007
28,807,3229,3231
29,865,3461,3463
30,925,3701,3703
31,987,3949,3951
32,1051,4205,4207
33,1117,4469,4471
34,1185,4741,4743
35,1255,5021,5023
36,1327,5309,5311
37,1401,5605,5607
38,1477,5909,5911
39,1555,6221,6223
40,1635,6541,6543
41,1717,6869,6871
42,1801,7205,7207
43,1887,7549,7551
44,1975,7901,7903
45,2065,8261,8263
46,2157,8629,8631
47,2251,9005,9007
48,2347,9389,9391
49,2445,9781,9783
50,2545,10181,10183
  数列X=N（N+1）+101含有无穷素数，以及其他类似数列含有无穷多素数的证明，是很重要的。可以有多种方法，我的方法太烦琐，道理简单，各位朋友可能有巧妙简单的方法，所以我的不发了。


命题:F(N)=(N+1)(N+2)-5，Y1=4F(N)+1，Y2=4F(N)+3,数列Y1,Y2中含无穷素数,
证:
  对称性:若Y1中第A项为合数,能被M整除,则在M项中,以某项为中心,对称的另1项必能被M整除.(M必须为素数,下同,若M为合数,则在同一周期会有许多对称中心,会有多个合数,因为该周期是由多个小周期组成.)
证明:4*(F(M-A-3))+1=4((M-A-1)(M-A-2)-5)+1=4(M^2-2AM-3M)+4F(A)+1
由于4F(A)+1能被M整除,则4*(F(M-A-3))+1能被M整除,对称性成立.
  周期性:若Y1中第A项为合数,能被M整除,则在后面每M项中的第A项为合数,能被M整除,
     证明:4*(F(KM-A-3))+1=4((KM-A-1)(KM-A-2)-5)+1=4(K^2*M^2-2KAM-3KM)+4F(A)+1
由于4F(A)+1能被M整除,则4*(F(KM-A-3))+1能被M整除,周期性成立.
  非对称性:某奇数M1,在M1项内有且只有1个能被M1整除.
  证明:M1为特殊素数,在同一周期内能被M1整除的项位置特殊,对称项是他本身,所以只有1项,如其正好是对称中心.实际我们用的是函数F(N)=(N+X)(N+X+1)-2X或(2X+1),与F(N)=N(N+1)-1不同,实际对称中心与X有关系(设M为素数,一般的,对函数F(N)=(N+X)(N+X+1)-2X,若F(A)为合数,则F(M-A-2X-1)必为合数,所以对称中心项为第(M-2X-1)/2项).
   据素数M做除数,余数在同一周期的对称中心1侧,没有重复的项,这1规律(可以用数学归纳法证明,略),在同一周期,最多只能有2项能被素数M整除.
   所以,在M^2项以内,不能被M1,M2,M3.……M整除的项所占比例为:
   (M1-2)(M2-2)……(MX-1)……(M-2)/M1M2M3……MX……M,(可以用数学归纳法证明)
分子小于分母,分子增大速度小于分母,故极限为0,就是说,当且仅当M为无穷大,比例才为0,实际无穷大是永远不会达到的,古人说"1尺之棰,日取其半,万世不竭",就是这个道理,据素数判定定理,M^2以内不能被M1,M2,M3.……M整除的项,必为素数,所以M^2以内有无穷多素数.
  同理可证其中的合数也是无穷多.
    由于素数与合数是互补的,所以合数的比例为:
1-(M1-2)(M2-2)……(MX-1)……(M-2)/M1M2M3……MX……M,
  极限为1,当且仅当M为无穷大时比例才为1.(有人说素数是有限的,合数是无穷的,达到某值后,再也没有素数了,这是错误的,与极限理论矛盾,与古人研究矛盾.)
  所以数列Y1中有无穷素数,同理,Y2中有无穷素数.
证毕!

据前面命题,Y1,Y2有无穷素数,所以是可以无限优化的,所以,据前面的交集运算规律知,Y1Y2中含有无穷孪生素数对.
  则孪生素数猜想正确!
由定理1能推出定理2吗?是肯定的/
证明:
命题:大于等于4的偶数可以表示为2个素数的和.
证:设P1,P2,P3为任意素数,且P1>=P2>=P3>=3
     由定理1知,P1-P2=2,4,6,……
则P1=P2+2，4，6,……,则P1+P3=P2+P3+2,4,6,……
右侧有连续偶数,P2+P3>=6,故右侧为连续偶数,
又2+2=4,
故大于等于4的偶数可以表示为2个素数的和.
再看如下方程组:
  P1+P2=2M,
P1-P2=2N,
  故P1=M+N,P2=M-N,
表面看M或N不连续不影响N和M的连续,实际是由于P1或P2中某类素数缺少所至,若M或N中有1处不连续,则N或M中必有多处不连续,故2者互为因果.
   故定理2得证!

ysr

[这个贴子最后由ysr在 2013/08/30 08:37pm 第 2 次编辑]

补充1点：
令X=N(N+1)-5，Y1=4X+1，Y2=4X+3，对X优化时要同时照顾到Y1Y2，当Y1有素因子为3，7，而Y2有5，11时，在X中同时去掉能使Y1Y2能被这这4个素因子整除的项，这样使Y1Y2的项数的集合的全集1致，直到使Y1Y2中的素数合数比例反转，或使其中1个在某数段素数连续，而另1个数列在相同数段仍含有素数，这样就有孪生素数对。这是必然的，证明如下。
    必然性的证明：这2个数列完全不同，尤其其中的素数完全不同，新的素数一旦出现，必然在后面数列中成为新的素因子，证明如下。
命题：X=(N+1)(N+2)-5，Y1=4X+1，Y2=4X+3，若N=A时，P=4X+1为素数，则N=P+A时，Y1=4X+1必然能被P整除。
证：N=P+A，Y1=4X+1=4*((P+A+1)(P+A+2)-5)+1=4*(（P+A）^2+3P+3A+2-5)+1=4*(P^2+2PA+3P+A^2+3A+2-5)+1=4*(P^2+2PA+3P+(A+1)(A+2)-5)+1=4*(P^2+2PA+3P)+P,
   故能被P整除.
所以，在任何数段都不会素因子完全相同，而只有素因子完全相同，才会使2个数列中的素数合数正好交互出现，
每个素因子总是贯穿始终的，任何1个素因子从开始出现就按其固定周期循环出现，以至无穷，所以，在任何数段都不会素因子完全相同，
    这样，只要都含有无穷素数，素数出现位置相同的情况就永远存在，故孪生素数对就是无穷的，
  素数因子必然有相同的，素数合数在2个数列中交互出现的情况也永远存在，所以，孪生素数对是越来越稀。故，孪生素数猜想成立！（这回论据充分了吧）

ysr

此文被退稿,退稿信如下:
ysr2857  先生/女士：您好！
首先，感谢您对本栏目的关注！
经过审阅，我们认为您的来稿(查看稿件)不符合本栏目的定位和要求，因此予以退稿。
此致
敬礼！
《科学智慧火花》编辑组
2013年08月27日

ysr

各位朋友，请发表1番！

ysr

[这个贴子最后由ysr在 2013/09/02 09:01pm 第 1 次编辑]

为何只有素因子完全相同，才会使2个数列中的素数合数正好交互出现？
  这个证明如下：
令X=N(N+1)-5，Y1=4X+1，Y2=4X+3，当Y1=4X+1某项能被P整除时，记为Y1=4X+1=PX，而对应的另1个数列的对应项为Y2=4X+3=PX+2则不能被P整除，若2数列素因子完全相同，记为Y1=4X+1=P1*P2*P3*……*PX+A，Y2=4X+3=P1*P2*P3*……*PX+A+2，显然对应项除以相同因子余数不能同时为0，
    则不能同时为合数，素数合数交错出现，但也可以同时为素数，所以孪生素数必然存在。若出现1个不同的素因子，则情况被破坏，就可以出项同时为合数的情况。
   设Y1=4X+1=P1*P2*P3*……*P*Q1X+A，Y2=4X+3=P1*P2*P3*……*P*Q2*X+A+2，
由于Q1≠Q2，则能被Q1整除的项和能被Q2整除的项循环出现周期不同，2者大部分情况不会正好是对应（相同位置），可以有某点相同，所以对应的情况是少数，而孪生素数对比它反而是多数，若某点出现合数对，则可以周期出现，
    故孪生素数对虽然越来越稀但永远存在，直到极限为0。（这回算证据确凿了吧）
   欢迎沟通！
   

ysr

如何没人发言？请朋友沟通！

ysr

(M1-2)(M2-2)……(MX-1)……(M-2)/M1M2M3……MX……M,(可以用数学归纳法证明)
分子小于分母,分子增大速度小于分母,故极限为0,就是说,当且仅当M为无穷大,比例才为0,实际无穷大是永远不会达到的,古人说"1尺之棰,日取其半,万世不竭",就是这个道理,据素数判定定理,M^2以内不能被M1,M2,M3.……M整除的项,必为素数,所以M^2以内有无穷多素数.
同理可证其中的合数也是无穷多.
   由于素数与合数是互补的,所以合数的比例为:
1-(M1-2)(M2-2)……(MX-1)……(M-2)/M1M2M3……MX……M,
极限为1,当且仅当M为无穷大时比例才为1.(有人说素数是有限的,合数是无穷的,达到某值后,再也没有素数了,这是错误的,与极限理论矛盾,与古人研究矛盾.)
所以数列Y1中有无穷素数,同理,Y2中有无穷素数.
这里是指M越多合数越稠密，M个数不变，只是增大，则合数变稀，作用相反