【讨论】将 3x+1 问题推广成 qx+1 问题，结果如何？

技术员

看了，收获不小。我觉得对于q大于3的奇数，有些不能收敛为1的奇数是否会存在死循环。对于qx+1,天山草老师，你可以研究下q=5，x=5的情况，你会发现个死循环。而这种死循环是否有无穷多个？

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/11 00:20pm 第 1 次编辑]

下面引用由技术员在 2013/09/11 11:45am 发表的内容：
我觉得对于q大于3的奇数，有些不能收敛为1的奇数是否会存在死循环。这种死循环是否有无穷多个？

   当然，不能收敛到 1 就是因为出现了“死循环”，掉进了“黑洞”出不去了。以 q = 5 为例，26， 66 都是黑洞。另外，是出现了“发散”情况，数字越来越大，当然也无法收敛到 1 了。

技术员

下面引用由天山草在 2013/09/11 00:05pm 发表的内容：
   当然，不能收敛到 1 就是因为出现了“死循环”，掉进了“黑洞”出不去了。以 q = 5 为例，26， 66 都是黑洞。另外，是出现了“发散”情况，数字越来越大，当然也无法收敛到 1 了。

好像黑洞尾数都带6，很奇怪。这样的黑洞是否有规律呢？找得出规律来吗？
为什么对于3x+1问题，没有黑洞的出现呢？

kingwang82

我前面都说了 换成二进制就很好理解。3X进位的概率位3/2  而退位的概率趋势于2
所以3X进行步骤越多就越趋势于位数减少。
5X及以上为什么不是对于每个数都符合，因为5X进位概率9/4  退位的概率不变，所以5X以上的变化随着步骤变多，有些数会偏离的更远！

技术员

下面引用由kingwang82在 2013/09/11 08:21pm 发表的内容：
我前面都说了 换成二进制就很好理解。3X进位的概率位3/2  而退位的概率趋势于2<BR>所以3X进行步骤越多就越趋势于位数减少。<BR>5X及以上为什么不是对于每个数都符合，因为5X进位概率9/4  退位的概率不变，所以5X ...

你的概率的说法，不能证明对于3x+1问题没有黑洞的出现。

kingwang82

这个就好比执骰子，执1.2.3.4我赢，执5.6你赢，当我赢的次数超过你N次，比赛结束（N是个定值），那么不考虑时间的关系，这个比赛最终是结束的。
而5X的时候就变成了1.2我赢 3.4.5.6你赢，当我赢的次数超过你N次的时候比赛结束。从输赢概率看，我赢的机会明显比你赢的低，随着比赛次数的增加，我赢的次数机会就更低，所以5X以上的猜想不是对于所有数都适用的！！

天山草

下面引用由技术员在 2013/09/11 08:02pm 发表的内容：
好像黑洞尾数都带6，很奇怪。这样的黑洞是否有规律呢？找得出规律来吗？
为什么对于3x+1问题，没有黑洞的出现呢？

   初始 x 是 13 或 17  或 27 时， 黑洞就是它们本身。
   对于 3x+1 问题，是没有黑洞的，而只有“白洞”——就是 2 的方幂数【2，4，8，16，……】，它们构成了一串“白洞”，运算过程中则必然“掉入白洞”、收敛为 1。说是这样说，但是要严格证明出来，那可不容易：为什么会没有“黑洞”？为什么不会有发散的情况出现？为什么必然掉入“白洞”？ 不容易说得明白。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/12 10:10am 第 1 次编辑]


如果 q = 0.2， 若运算到偶数时除以 2，运算到奇数时乘 0.2 再加 1，但结果取整【或是乘 0.2 后立即取整，再加上 1】。会怎样呢？
结果跟 3x+1 一样，必然会收敛到 1。
从 1 验证到 100万，都能收敛到 1。并且迭代次数都小于 25。

技术员

下面引用由kingwang82在 2013/09/12 09:02am 发表的内容：
这个就好比执骰子，执1.2.3.4我赢，执5.6你赢，当我赢的次数超过你N次，比赛结束（N是个定值），那么不考虑时间的关系，这个比赛最终是结束的。<BR>而5X的时候就变成了1.2我赢 3.4.5.6你赢，当我赢的次数超过你N ...

　　考拉兹猜想，又称为3n+1猜想、角谷猜想、哈塞猜想、乌拉姆猜想或叙拉古猜想，
是由日本数学家角谷静夫发现，是指对於每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，
如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。
    我暂且把奇数乘3再加1，连续除2，称作一次3x+1转化。
    一个奇数经过一次3x+1转化都能得到一个和自身不同奇数。
　　一个奇数可用8n+1、8n+3、8n+5、8n+7这四种形式来表示。（n为整数)
　　任意一奇数2n+1经过一次3x+1转化：
　　        （2n+1)*3+1=2*(3n+2)
　　3n+2表示成奇数或偶数的概率是相同的，各为1/2.也就是说任意一奇数2n+1经过一次3x+1转化后增大减小的概率各为一半。
　　3n+2表示成奇数时，可用6n+5来表示。因为6n+5 能表示成8n+1、8n+3、8n+5、8n+7这四种形式的概率是相同的，所以奇数8n+1、8n+3、8n+5、8n+7其中一种形式经过3x+1转化得到的奇数的4种形式的概率是相同的，各为1/4。比如8n+1经过3x+1转化能得到8n+1、8n+3、8n+5、8n+7这4种形式，而它们的概率是相同的,各为1/4.也就是说奇数8n+1、8n+3、8n+5、8n+7其中一种形式经过一次3x+1转化成另外3种形式的概率为3/4，转化为自身形式的概率为1/4，其中8n+3经过一次3x+1转化成8n+1和8n+5的概率比转化成8n+7的概率大一倍。所以一般不会出现8n+3->8n+7->8n+3->8n+7...循环的局面。
    将这四种形式的奇数再经过一次3x+1转化：
     (8n+1)*3+1=4*(6n+1) 得到奇数6n+1。
     (8n+3)*3+1=2*(12n+5)  得到奇数12n+5。
     (8n+5)*3+1=8*(3n+2) 得到的数3n+2为奇数或偶数的概率各为1/2,由于为偶数时再除2的得到奇数更小,但我们暂且把得到的奇数考虑成3n+2。
     (8n+7)*3+1=2*(12n+11) 得到奇数12n+11。
原数除以转化后的数：
(8n+1)/(6n+1)=4/3-1/(18n+3) 这为减小的情况
(8n+3)/(12n+5)=2/3-1/(36n+15) 这为增大的情况
(8n+5)/(3n+2)=8/3-1/(9n+6)  这为减小的情况
(8n+7)/(12n+11)=2/3-1/(36n+33) 这为增大的情况
将四种形式的原数除以转化后的数相乘得：
(4/3-1/(18n+3))(2/3-1/(36n+15))(8/3-1/(9n+6))(2/3-1/(36n+33))
=(8/9-4/(108n+45)-2/(54n+9)+1/((18n+3)(36n+15)))*
(16/9-8/(108n+99)-2/(27n+18)+1/(9n+6)(36n+33))
当n=1时,此式最小,变化率=(8/9-4/153-2/63+1/1070)(16/9-8/207-2/45+1/1035)>1
　　也就是说任意一奇数经过一次3x+1的转化增大的概率等于减小的概率，得到的奇数再经过乘3再加1，再连续除2，这时减小情况的概率等于增大情况的概率，而减小的幅度大于增大的幅度，如此循环，必减小为1。
　　事实上任意一奇数经过考拉兹转化时，得到的奇数8m+1、8m+3、8m+5、8m+7这4类形式，出现的比例会不同，开始有可能出现增大的情况较多，数会变大，但3x+1转化的次数越多，他们出现的比例开始接近（当3x+1次数趋于无穷大时，他们出现的比例是相等的），到最后，增大的情况永远不可能大于减小的情况，而减小的幅度始终大于增大的幅度，如此循环，最终只能减小为1。
　　我把角谷猜想比喻成一个人站在高山上，他要下山，不管山坡起起伏伏，他必能到达山底。我的证明就是证明了当上坡和下坡次数相等时，下坡比上坡幅度大，所以他必能到达山底。
　　这是我原来对角谷猜想的证明，你认为是对的吗？

技术员

下面引用由天山草在 2013/09/12 10:03am 发表的内容：
如果 q = 0.2， 若运算到偶数时除以 2，运算到奇数时乘 0.2 再加 1，但结果取整【或是乘 0.2 后立即取整，再加上 1】。会怎样呢？<BR>结果跟 3x+1 一样，必然会收敛到 1。<BR>从 1 验证到 100万，都能收敛到 1。 ...

的确收敛这个问题跟概率有关，关键是要证明3x+1没有黑洞。只要证明了没有黑洞，再加上概率上的证明，就可以证明角谷猜想。