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楼主: ysr

哥德巴赫猜想的证明及哥猜素数和对的绝对下限(续文)

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 楼主| 发表于 2019-10-3 08:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 ysr 于 2019-10-24 14:26 编辑

对《哥德巴赫猜想的证明及哥猜素数和对的绝对下限》一文中一段话的实证


原文:由于M内的素数不会消耗完,(当且仅当A含有M内的全部素因子时才能全光,而此时乘积已远远大于2A,[√(2A)]>>M,M~[√(2A)]间还有素数,矛盾。)所以,去掉2外M内的m-1个素因子至少会剩一个,由于M外的素因子消耗机率稍低,故每m-1个至少剩1个成立。
(其中M为偶数2A的方根,p为方根M内的最大的素数,m为方根内的素数个数。)
这段话是当2A>=23500时成立。论述如下:



公式:(p/4)*(1/3)*……*(1-2/p),由于p+1才是偶数公式也可以为((p+1)/4)*(1/3)*……*(1-2/p)。
这个连乘积公式是个不减函数,考虑小数点后的数字的话就是增函数。

证明连乘积公式((p+1)/4)*(1/3)*(3/5)*……*(1-2/p)是不减函数。

证明:把此公式乘以4则第一项的分母变成了1,最后一个乘数项的分子其实是p-2,因为1-2/p=(p-2)/p,由于p+1>p,依次错位比较,得:p-2>=px,……,9>7,5=5,3=3,1=1.所以分子大于分母,分子的增长速度大于分母的增长速度,所以是不减函数,此函数除以4,仍然是不减函数,证毕!
     同理可证:(n/4)*(1/3)*(3/5)*……*(1-2/p)是不减函数,
同理:(p^2/4)*(1/3)*(3/5)*……*(1-2/p)是不减函数。

         当2A>=10000时,根号10000=100,而100*(1/4)*(1/3)*(3/5)*……*(95/97)=0.95,

可能是再减掉1就对了,可能减掉1就是把数字1与另一排的一个素数的和为2A的情况去掉。0.95-1=-0.05.
       所以,当2A>=10000时,在偶数的方根内至少有一个素数可以构成素数和对等于该偶数,偶尔有特例方根内为0个素数和对。



实际10200~10300之间仅出现了一个0的情况也可算理论范围内的:
10268连乘积0.9,96
实际10268   0    98
而其实0.9-1=-0.1,理论是是有道理的,概率公式积于概率上的均匀性应许有不规则的特例,大区间就是近似均匀的就没有0了,再验证一下20100以上是否还有0呢?





    实际验证13100~14000已经没有0了,我们再看看大于14000  的情况,这是理论证明的值。而实际值从14000~14200仅有一个0,即偶数14198.
连乘积:(2a=14198 m=119.15536076904 m内的=1.03758604444878 总素数对=123.633939455216)
这里有个特例:14198-1=14197是个素数。
连乘积公式结果: 偶数14198 其方根为119.15536076904  其方根内最大素数113 方根内的素数个数m=30  每m-1个中的平均值3.83415287462452  总个数为123.633939455216  方根内能产生的素数对个数:1.03758604444878

实际14198   0    121

14198是个反例,在其方根内没有产生哥德巴赫猜想的素数和对,而14197是素数,若把1当素数的话,就不算反例,14198=1+14197,从23500开始方根内的再没有0,所以理论上从十万开始是保守的说法(由连乘积公式得到十万的方根内的素数和对个数为1.95)。
实际值:
23426   0    215
23456   0    197
23486     1   190

       实际值从23500开始没有0,由连乘积公式知,是到十万(100000)其方根内的才1.94571772899961,不减1就是超前于实际,减1就滞后于实际,我们宁愿滞后一点。再向后验证一下。

验证实际值,从23500~30000都没有0,后面就不会有了,理论和实际符合。

连乘积公式:20000   方根141     方根内的1.15922892396385    163.93

1000018   方根1000    方根内的4.32819666     总数4328.23

4328-4061=267     267/24=11.125
实际
20000    6    231
1000018    10    4061

        前面的公式也可以为:(p/2)*(1/2)*(1/3)*……*(1-2/p),或者是(M/2)*(1/2)*(1/3)*……*(1-2/p),其中M为偶数2A的方根,p为方根内的最大的素数。乘以一个(1/2)是因为偶数要分两排,再乘一个(1/2)是去掉其中的偶数项。此时代入偶数10000或M=100得数为0.95,不到1个了。这样理论和实际是符合的。

      程序的连乘积公式计算结果:
连乘积公式结果: 偶数10000 其方根为100  其方根内最大素数97 方根内的素数个数m=25  每m-1个中的平均值3.75350895581372  总个数为95.7426027628115  方根内能产生的素数对个数:0.957426027628115

连乘积公式结果: 偶数500 其方根为22.3606797749979  其方根内最大素数19 方根内的素数个数m=8  每m-1个中的平均值1.00667189952904  总个数为9.75997686524001  方根内能产生的素数对个数:0.436479434590039

连乘积公式结果: 偶数300 其方根为17.3205080756888  其方根内最大素数17 方根内的素数个数m=7  每m-1个中的平均值1.05082417582417  总个数为6.54492566257271  方根内能产生的素数对个数:0.377871459311245

连乘积公式结果: 偶数13000 其方根为114.017542509914  其方根内最大素数113 方根内的素数个数m=30  每m-1个中的平均值3.83415287462452  总个数为113.201944845598  方根内能产生的素数对个数:0.992846735279839

连乘积公式结果: 偶数13200 其方根为114.891252930761  其方根内最大素数113 方根内的素数个数m=30  每m-1个中的平均值3.83415287462452  总个数为114.943513227838  方根内能产生的素数对个数:1.00045486750074

此时方根内的已经达到1了。

连乘积公式结果: 偶数14198 其方根为119.15536076904  其方根内最大素数113 方根内的素数个数m=30  每m-1个中的平均值3.83415287462452  总个数为123.633939455216  方根内能产生的素数对个数:1.03758604444878

连乘积公式结果: 偶数14200 其方根为119.16375287813  其方根内最大素数113 方根内的素数个数m=30  每m-1个中的平均值3.83415287462452  总个数为123.651355139038  方根内能产生的素数对个数:1.03765912160804

连乘积公式结果: 偶数20000 其方根为141.42135623731  其方根内最大素数139 方根内的素数个数m=34  每m-1个中的平均值4.79921129993499  总个数为163.939726616484  方根内能产生的素数对个数:1.15922892396385

连乘积公式的结果:偶数(100000)就是十万,其方根为  316.227766016838    其方根内最大的素数是  313    方根内的素数个数m=65(这是实际值,程序数出来的)    每m-1个中的平均值   9.41864736617429     总个数为  615.289970740903     方根内能产生的素数和对个数为:1.94571772899961

连乘积公式结果: 偶数1000018 其方根为1000.0089999595  其方根内最大素数997 方根内的素数个数m=168  每m-1个中的平均值25.7618426423293  总个数为4328.23562097322  方根内能产生的素数对个数:4.3281966673785

连乘积公式结果: 偶数1000020 其方根为1000.00999995  其方根内最大素数997 方根内的素数个数m=168  每m-1个中的平均值25.7618426423293  总个数为4328.24427728865  方根内能产生的素数对个数:4.3282009954951

连乘积公式的结果:偶数(10 0000 0000)就是十亿,其方根为  31622.7766016838  其方根内最大的素数是  31607  方根内的素数个数m=3401(这是实际值,程序数出来的)    每m-1个中的平均值   569.122782043535    总个数为  1936949.66502331 方根内能产生的素数和对个数为:61.2517265457385

       所以若不把1当素数命题在偶数大于23500时才成立。(这个问题证毕)


实际验证1000000~1000050之间,方根内的已经在10以上,最小的:
1000016   10    4042
1000018    10    4061
1000022    10    4071
最大的是:
1000020     51      12984

这个多么大!计算量大程序运行了大约7分钟,实际值,资料不容易,保存做纪念。

1000018=2*500009,而500009是素数。
1000020=2*2*3*5*7*2381

拆分数值是可以弄出准确公式的,如1000018实际值是4061,要用连乘积公式结果比此值高一点,因为此偶数特殊,1000018=2*500009,而500009是素数,所以少一点,其方根为1000,在1000以内有168个素数,把500009内的素数每167个一个区间,分167个区间,4061/167=24,连乘积公式的结果比实际差11个24还少3,经过调整就可以得到准确的公式而不必拆分。那又怎么样?没人认可!

而对于偶数1000018,和1000020,我的绝对下限公式都是得到167个,若用欧拉公式计算比这个还少,所以是绝对下限。

下面证明每m-1个素数至少产生几个素数和对的问题。


偶数方根内的素数至少能产生几个素数和对,与每(m-1)个素数 中平均有几个素数和对是不同的,前者是不减函数(前已经证明从14000开始已经大于1了),后者是波动的,原因是素数和对波动式上升的,前者是由连乘积公式严格证明的。

而每(m-1)个素数中平均有几个素数和对的最低值又是一个槪念,这个最低值也是不减函数。
而原文用的就是这个平均值的最低值。

而每m-1个素数中平均值的最低值大于等于1在整个大于等于4的偶数范围是成立的,理论上严格证明的,公式
((P^2)/4)*(1/3)*(3*/5)*......*(1-2/P)/(m-1)>1.

由于p^2+1才是偶数公式也可以改成这样,公式
((P^2+1)/4)*(1/3)*(3*/5)*......*(1-2/P)/(m-1)>1.(其中m-1>=2公式才成立)

证明连乘积公式:((p^2+1)/4)*(1/3)*(3/5)*……*(1-2/p)/(m-1)为不减函数,(其中m-1>=2)

证明:由于p^2+1>p>m,所以连乘积分子大于分母m-1,也可以这样做,我们去掉分母m-1不讨论,先讨论分子连乘积的大小,第一项乘数(p^2+1)/4不考虑先去掉,剩下的为(1/3)*(3/5)*……(1-2/p),这是个减函数,若把分母都变为连续的奇数,则为(1/3)*(3/5)*……*(1-2/(2s+1))(设2s+1=p),错位约分得到结果为1/(2s+1)=1/p,由于这是个减函数,项数越多越小,比原来的连乘积多了不少项,所以是小于原来的连乘积的,由于p^2+1>p>m,所以若p>=97,则p/4>m-1,(因为97以内有25个素数,此时m-1=24),(p^2+1)/p>(p^2+1)/(4p)>m-1,则因为分子大于(p^2+1)/(4p),则有此时分子大于分母m-1,分子的增长速度大于分母的增长速度故是不减函数,而在p小于97时,我们可以代入数值验证其整数部分是不减函数,则原函数是不减函数,证毕!

连乘积公式结果: 500  方根内最大素数19 方根内的素数个数8  每m-1个中的平均值1.00667189952904  总个数为9.75997686524001(由连乘积公式计算从300开始,在每m-1个素数中的平均值已经开始大于1了,这里说的从500开始是保守的说法。)
理论公式平均值是这个:((p^2+1)/2)*(1/2)*(1/3)*……*(1-2/p)/(m-1)

由于是不减函数,后面都大于1了,
理论上500以上平均值才是至少一个,500以内即4~500之间经过验证平均值至少一个是成立的。
实际500拆分为:
500的方根为22.3606797749979,方根内有1个总数有13个:500=13+ 487
37+ 463
43+ 457
61+ 439
67+ 433
79+ 421
103+ 397
127+ 373
151+ 349
163+ 337
193+ 307
223+ 277
229+ 271
所以平均值的最低值是大于等于1的,按1计算是绝对下限。


所以我们已经严格证明了每(m-1)素数中至少产生一个素数和对是成立的,且随着偶数增大远远成立,则(m-1)为偶数的哥德巴赫猜想的素数和对的绝对下线,其中m为偶数方根内的素数个数,如10的方根为3,以内有2个素数则m=2,m-1=1,随着偶数的增大m也增大,越来越大于1,所以哥德巴赫猜想是远远成立的,这就是严格的证明。4=2+2,6=3+3,8=3+5,这些谁都知道,还有啥怀疑?

m为偶数的方根内的素数个数,每m-1个素数算一个区间共可分m-1个区间,剩余的就不用考虑了,仅考查这m-1个区间,我已经证明过了,偶数2A,仅A内的素数个数就大于(m-1)^2(这一点原文已经证明过了在此不再重复),平均每个区间至少一个,则有m-1个素数和对,实际多的多,是绝对底线,只要有一对“1+1”哥德巴赫猜想就成立,而m-1是不减函数,所以哥德巴赫猜想远远成立。


道理是这样的:偶数2A内的数分成上下排,对应项数字和为2A,偶数必然相对所以不必考虑,乘以1/2就解决,设A为素数,这种情况哥德巴赫猜想的素数和对最少,但2A内的合数全部含有根号2A内的素因子,而此时由于A为素数,所以相同的因子不会对应在一起,错位对应后一个因子就会消灭2个数,不管是合数还是素数,都当做合数对去掉,就是把半对子也去掉了,剩下的就是素数对,当然这个是最低值,实际要多,最低值也是个 不减函数,若考虑到小数点后的数字就是增函数。则得如下连乘积公式:
公式:n*(1/2)*(1/3)*(3/5)*……*(1-2/p),当n=A,且p为根号2A内的最大的素数,则得数为2A的哥德巴赫猜想的素数和对个数的下线,但偶尔有突破下线的,如10000~10100之间有两个为92,有一个为93,有3个突破底线,公式计算10100的结果是96,实际是131,公式是在概率级的均匀上有小区间的不规则的出现。
      若x=2A则公式变为:(x/4)*(1/3)*(3/5)*……*(1-2/p)。

这个连乘积公式还可以证明,偶数2A中不同的素因子越多则其哥德巴赫猜想的素数和对越多,因为若含有某个小于其方根的素因子,该因子对应的乘数项就由(1-2/p)变为(1-1/p) ,此项分数值变大因此乘积结果也变大,偶数都含有因子2,所以仅有因子2的不必考虑如A=2^n,因为偶数和偶数必须相对和才是偶数,对公式没有影响,这样的偶数其哥德巴赫猜想的素数和对就少,若A为素数其哥德巴赫猜想的素数和对也少,道理一样。

      连乘积公式,从某偶数开始无论怎么算整数部分都不会为0的,且是随偶数增大而增大的即所谓的不减函数。
这一点足以证明哥德巴赫猜想是成立的远远成立,这是哥猜素数和对下线的基本规律,是确定的事实。
偶尔有偶数哥猜素数和对个数的连乘积结果高于实际,这是因为:素数和对是波动式上升的,波动原因是偶数的不同的素因子个数不同,因子个数多素数和对就多,反之就少,前面证明了绝对下限是远远低于实际的且是不减函数,所以哥德巴赫猜想的素数和对不会为0.
哥猜素数和对是波动式上升的,平均每m-1个素数中含有几个素数和对也是波动的,最低值则是不减函数,这个是事实,所以哥猜是成立的,不用太复杂的道理。

要用公式表示的话,偶数2A的绝对下限为,设根号2A的方根为M则由欧拉公式得,其哥德巴赫猜想的素数和对个数的绝对下限为M/lnM减1就省略了,因为欧拉公式为下限公式比实际值小的多,如果直接代入偶数2A就是公式:2(2A)^(1/2)/ln(2A),由于欧拉公式在某数后才是下限公式,如4/ln4=2.885,不符合实际不对了,为了照顾到大于等于4的全体偶数,公式再除以2,得到(2A)^(1/2)/ln(2A)为偶数2A的绝对下限。

    由于8/ln8=3.84,才符合实际,故公式2*x^(1/2)/lnx,当x>=8^2=64时才适用,才有意义。而x^(1/2)/lnx对>=4的全体偶数都有意义。

这个公式是绝对下限,省去了减1,所以大于等于4的偶数都是可以代入的,代入4得数的整数部分是1,则大于等于4的偶数的哥德巴赫猜想的素数和对都是大于等于1的,所以哥德巴赫猜想远远成立。
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 楼主| 发表于 2019-10-3 17:15 | 显示全部楼层
连乘积公式结果: 偶数300 其方根为17.3205080756888  其方根内最大素数17 方根内的素数个数m=7  每m-1个中的平均值1.05082417582417  总个数为6.54492566257271  方根内能产生的素数对个数:0.377871459311245

连乘积公式结果: 偶数13000 其方根为114.017542509914  其方根内最大素数113 方根内的素数个数m=30  每m-1个中的平均值3.83415287462452  总个数为113.201944845598  方根内能产生的素数对个数:0.992846735279839

连乘积公式结果: 偶数13200 其方根为114.891252930761  其方根内最大素数113 方根内的素数个数m=30  每m-1个中的平均值3.83415287462452  总个数为114.943513227838  方根内能产生的素数对个数:1.00045486750074
此时方根内的已经达到1了。
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 楼主| 发表于 2019-10-3 17:49 | 显示全部楼层
14198是个反例,在其方根内没有产生哥德巴赫猜想的素数和对,而14197是素数,若把1当素数的话,就不算反例,14198=1+14197,从14200开始方根内的再没有0,所以从20000开始也是保守的说法。
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 楼主| 发表于 2019-10-3 17:52 | 显示全部楼层
其实由连乘积公式计算从300开始,在每m-1个素数中的平均值已经开始大于1了,前面说的从500是保守的说法,再压缩一下改一下。

14198是个反例,在其方根内没有产生哥德巴赫猜想的素数和对,而14197是素数,若把1当素数的话,就不算,14198=1+14197,从14200开始方根内的再没有0,所以从20000开始也是保守的说法。
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 楼主| 发表于 2019-10-3 20:49 | 显示全部楼层
前楼文章整理编辑改动了一下,感兴趣的看看吧,欢迎讨论欢迎批评!下面讲一个特例:
连乘积公式结果: 偶数320 其方根为17.8885438199983  其方根内最大素数17 方根内的素数个数m=7  每m-1个中的平均值1.05082417582417  总个数为6.98125404007756  方根内能产生的素数对个数:0.390263965045212

320=2*2*2*2*2*2*5,所以实际其哥德巴赫猜想的素数和对很少,是个特例,但仍然符合前面的绝对下线公式,实际拆分为:

320的方根为17.8885438199983,方根内有3个总数有11个:320=3+ 317
7+ 313
13+ 307
37+ 283
43+ 277
79+ 241
97+ 223
109+ 211
127+ 193
139+ 181
157+ 163
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 楼主| 发表于 2019-10-3 21:09 | 显示全部楼层
实际值:332=2*2*83,所以其哥德巴赫猜想的素数和对很低,但也符合前面的绝对下线。
332的方根为18.2208671582886,方根内有0个总数有6个:332=19+ 313
61+ 271
103+ 229
109+ 223
139+ 193
151+ 181

300~400实际拆分数:
300 2  21
302 0  9
304 1  10
306 1  15
308 0  8
310 2  12
312 1  17
314 2  9
316 2  10
318 3  15
320 3  11
322 2  11
324 4  20
326 1  7
328 2  10
330 2  24
332 0  6
334 2  11
336 1  19
338 1  9
340 1  13
342 2  17
344 2  10
346 0  9
348 2  16
350 2  13
352 2  10
354 3  20
356 2  9
358 2  10
360 3  22
362 2  8
364 3  14
366 4  18
368 1  8
370 3  14
372 3  18
374 1  10
376 2  11
378 3  22
380 2  13
382 1  10
384 3  19
386 4  12
388 1  9
390 3  27
392 3  11
394 2  11
396 3  21
398 1  7
400 3  14

下面是332的连乘积结果:
连乘积公式结果: 偶数332 其方根为18.2208671582886  其方根内最大素数17 方根内的素数个数m=7  每m-1个中的平均值1.05082417582417  总个数为7.24305106658047  方根内能产生的素数对个数:0.397514070195371
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 楼主| 发表于 2019-10-3 21:19 | 显示全部楼层
再比如偶数398=2*199,所以其哥德巴赫猜想的素数和对也很少,但仍然符合绝对下线公式:
连乘积公式结果: 偶数398 其方根为19.94993734326  其方根内最大素数19 方根内的素数个数m=8  每m-1个中的平均值1.00667189952904  总个数为7.76894158473105  方根内能产生的素数对个数:0.389421853866411

398的方根为19.94993734326,方根内有1个总数有7个:398=19+ 379
31+ 367
61+ 337
67+ 331
127+ 271
157+ 241
199+ 199
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 楼主| 发表于 2019-10-3 21:19 | 显示全部楼层
再比如偶数398=2*199,所以其哥德巴赫猜想的素数和对也很少,但仍然符合绝对下线公式:
连乘积公式结果: 偶数398 其方根为19.94993734326  其方根内最大素数19 方根内的素数个数m=8  每m-1个中的平均值1.00667189952904  总个数为7.76894158473105  方根内能产生的素数对个数:0.389421853866411

398的方根为19.94993734326,方根内有1个总数有7个:398=19+ 379
31+ 367
61+ 337
67+ 331
127+ 271
157+ 241
199+ 199
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 楼主| 发表于 2019-10-3 21:24 | 显示全部楼层
在300~400之间最多的是390=2*3*5*13,有27个;

390的方根为19.7484176581315,方根内有3个总数有27个:390=7+ 383
11+ 379
17+ 373
23+ 367
31+ 359
37+ 353
41+ 349
43+ 347
53+ 337
59+ 331
73+ 317
79+ 311
83+ 307
97+ 293
107+ 283
109+ 281
113+ 277
127+ 263
139+ 251
149+ 241
151+ 239
157+ 233
163+ 227
167+ 223
179+ 211
191+ 199
193+ 197
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 楼主| 发表于 2019-10-4 06:45 | 显示全部楼层
连乘积公式结果: 偶数300000000 其方根为17320.5080756888  其方根内最大素数17317 方根内的素数个数m=1990  每m-1个中的平均值329.03805617841  总个数为654721.88010677  方根内能产生的素数对个数:37.8003853723982

用公式计算瞬间完成,要是实际拆分那可就慢了,咱的程序效率不高。
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