[原创]连续统假设

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/10/18 06:55am 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2010/10/17 08:39pm 发表的内容：
换句话说，超自然数集不是标准集合论中的集合？

对，如果把“标准集合论中的集合”必须满足的条件，限制得非常狭窄，不作适当的推广，
那么，在某种意义上，可以说“超自然数集不是标准集合论中的集合”。
Cantor 当年建立集合论时，非标准分析还远远没有提出，他根本想不到还有“超自然数”、
“超有理数”、“超实数”这样的集合存在。所以，传统的集合论必须作一些适当的推广，
才能把这些非标准分析的概念包含进来。

elimqiu

下面引用由luyuanhong在 2010/10/18 06:49am 发表的内容：
对，如果把“标准集合论中的集合”必须满足的条件，限制得非常狭窄，不作适当的推广，
那么，在某种意义上，可以说“超自然数集不是标准集合论中的集合”。
Cantor 当年建立集合论时，非标准分析还远远没有提出　...

不是这么回事么。非标准分析用的还是标准的集合论。集合论在任何意义下“非常狭窄”吗？

luyuanhong

下面引用由elimqiu在 2010/10/18 00:33am 发表的内容：
不是这么回事么。非标准分析用的还是标准的集合论。集合论在任何意义下“非常狭窄”吗？

比如说，如果有人提出：一个集合的基数，只能是原来 Cantor 集合论中的那些基数，
如果一个集合的基数，不是原来 Cantor 集合论中的那些基数，就认为它不是一个集合。
那么，在这样狭窄的限制下，就不能认为超自然数集是一个集合了。

elimqiu

下面引用由awei在 2010/10/17 02:46pm 发表的内容：
所有集合的元素个数都是自然数，没有半个元素，也没有0.3个元素，那么自然数是度量集合元素的唯一的尺。所有无限集的基数应该是相等，这才是正确的结论。

你的基数是如何界定的？

elimqiu

下面引用由luyuanhong在 2010/10/18 09:47am 发表的内容：
比如说，如果有人提出：一个集合的基数，只能是原来 Cantor 集合论中的那些基数，
如果一个集合的基数，不是原来 Cantor 集合论中的那些基数，就认为它不是一个集合。
那么，在这样狭窄的限制下，就不能认为超自 ...

康托从来没有穷举基数。所以说康托的那些基数没什么意义。康托确实给出了基数的定义：以对等（一一对应）为等价关系所确定的集合的等价类。在这样的定义下， {1,…,Ω} 当然就有一个康托意义下的基数，虽然康托没见过{1,…,Ω}也毫不改变这一点。所谓基数的算术，那是纯粹由集合论的公理ZFC推出来的东西。如果{1,…,Ω}的基数不满足ZFC的基数算术的定理，那么你有两种解释方法，一是你的 ω< ω+ω 不对，一是{1,…,Ω}不是ZFC的集合。先不说我认为是前者，我认为虽然非标准分析毫无疑问是建筑在ZFC上的，超实数系是ZFC的集合没问题，但这个{1,…,Ω}是很值得怀疑的。问题在于Ω的选择是完全任意的。你取一个无穷大实数当作无穷大自然数单位，我就可以选2Ω+k 做同样的事。我们的结果基数会差多少？

elimqiu

如果 ω< ω+ω 成立，那么广义连续统假设很有可能就以否定的形式解决了。
因为 ω+ω < 2^ω 在ZFC里成立。

ygq的马甲

问题在于Ω的选择是完全任意的。你取一个无穷大实数当作无穷大自然数单位，我就可以选2Ω+k 做同样的事。我们的结果基数会差多少？

从【有限】作为开始的 =============> 具备【确定性】
以 Ω 作为开始的  =============> 不再具备【确定性】

luyuanhong

下面引用由elimqiu在 2010/10/18 03:08am 发表的内容：
康托从来没有穷举基数。所以说康托的那些基数没什么意义。康托确实给出了基数的定义：以对等（一一对应）为等价关系所确定的集合的等价类。在这样的定义下， {1,…,Ω} 当然就有一个康托意义下的基数，虽然康托　...

当 n 是一个自然数时，我们知道：
{1,2,…,n} 的基数是 n ，{1,2,…,2n} 的基数是 2n ,{1,2,…,n^2} 的基数是 n^2 ，…
根据“转换公理”，我们可以推知，当 Ω  是一个超自然数时，必有：
{1,2,…,Ω} 的基数是 Ω ，{1,2,…,2Ω} 的基数是 2Ω ,{1,2,…,Ω^2} 的基数是 Ω^2 ，…
这些基数 Ω ,2Ω ，Ω^2,… ,既不同于原来集合论中的有限基数，因为它们大于任何有限基数，
也不同于原来集合论中的无穷基数，因为有 Ω +Ω =2Ω  ，而不是 阿列夫+阿列夫=阿列夫 。
这样的基数，可以称为“超有限基数”。

elimqiu

下面引用由luyuanhong在 2010/10/18 03:55pm 发表的内容：
这些基数 Ω ,2Ω ，Ω^2,… ,既不同于原来集合论中的有限基数，因为它们大于任何有限基数，
也不同于原来集合论中的无穷基数，因为有 Ω +Ω =2Ω  ，而不是 阿列夫+阿列夫=阿列夫

它们是原来集合论意义下无穷基数。没有“不同于原来集合论中的无穷基数”一说么。 认为标准集合论的基数理论只对阿列夫或有限基数有效，是没有根据的。
只有一个可能使得我这种论断无效：{1,...,Ω} 不是ZFC 意义下的集合。这不是不可能。因为Ω没有什么确定性。

luyuanhong

下面引用由elimqiu在 2010/10/18 09:33am 发表的内容：
它们是原来集合论意义下无穷基数。没有“不同于原来集合论中的无穷基数”一说么。 认为标准集合论的基数理论只对阿列夫或有限基数有效，是没有根据的。
只有一个可能使得我这种论断无效：{1,...,Ω} 不是ZFC 意　...

    如果我们定义：凡是大于任何有限基数的基数，都称为“无穷基数”，那么，
像 Ω，2Ω ，Ω^2 ，… 这样的基数，当然也可以算是“无穷基数”。
    但是，这样一来，定理“如果 a, b 之一是无穷基数，那么 a+b = max{a,b}”
就不成立了。其实，当初证明这个定理时，考虑的“无穷基数”，只是像“阿列夫”
那样的无穷基数，根本没有把 Ω，2Ω ，Ω^2 ，… 这样的“无穷基数”考虑进去。
如果考虑进去，当初就不会有这个定理了。
    所以，有两种办法：一种是扩大“无穷基数”的定义，把 Ω，2Ω ，Ω^2 ，
… 这样的基数算作是“无穷基数”，但要触动原来一些有关“无穷基数”的定理。
另一种办法是不触动原来有关“无穷基数”的定理，但不把 Ω，2Ω ，Ω^2 ，…
这样的基数算作是“无穷基数”，而是算作一种新型的基数，比如说“超有限基数”。