[原创]超越复数的三元数-从复平面到三维数空间

ahnuzfm

下面引用由starwhite在 2007/12/21 10:59pm 发表的内容：
西方数学家对数的性质尚有要求,我国的高等代数书交代的不清楚,不论数环、还是数域都是以群的概念为基础的，现在的三元数甚至都不能在整体上形成一个乘法群，更谈不上数域了，不过，从几何角度看，数空间分成无数 ...

所以我认为这个三元数应该是一个线性空间. 线性空间的每一个一维子空间都是一个数域.

伐木道人

ahnuzfm先生:
       你好!
       我感觉你的见解有一定道理,但,不忙下结论.
       关于实系数的一元N次代数方程,在三维数空间，有下面有趣结论:
       如果实系数的一元N次代数方程在复平面上有X个实根、Y对虚根，则在三维数空间中有X个离散的实根、Y个圆的连续根（这里未取名虚根，在高维空间，实、虚数的分类已欠妥），设P1=x+yi+zj,模为r1,为定值，p2=a+bi+cj,a、b、c为定值，模为r2,则两数相乘的积的模r3最大值为r1*r2，最小值为a*r1(a＞0，带绝对值不好打字），以上结论，用初等数学的知识即可证明，复平面上的结论恰好是两三元数在同一个数平面上时，取得最大值的情形。
       关于一般系数的一元N次代数方程在三维数空间的情况,现在只知至少有一根，具体情形尚不完全清楚，你如有兴趣，不妨试研究之（要对棘手的非线性代数方程组的难度有所准备），目前，杨路老师的数学机械化的理论可能对我们有帮助。
    愿我们多联系，最好能告知你的E-MAIL，好方便交流。
    鄙人已不准备花太多时间去研究数学了，现在公务繁忙，毕竟搞活经济比搞数学研究实惠的多。况且，研究数学对我只是兴趣使然，长远看是无利可图的事业，虽然本人也是一个挂名的学会理事。  
      

starwhite

大家好！
　　我以为ahnuzfm先生的看法过于依赖现有的数学体系,从一个新的角度来看,三元数理论与原有的复数理论并无冲突,数的范围扩大之后，逻辑上并无问题，虽有意想不到的情况出现，它也只是提出了一些复数范围内未遇到的奇怪问题,就空间的含义而言,定义了加、减、乘、除的空间，是否称为代数空间更为妥当！
　　这个代数空间可以从数的坐标的函数出发，将向量空间等也包含在内，这样理论上岂不是更为简单？
　　

伐木道人

    经了解，目前，国内至少有湖北夏新念教授与河南屈鹏展教授也独立提出的另外两种三元数理论，其基础也同样是代数方程组的理论，相比较而言，与几何相联系的理论或许更为自然，更便于被人接受，同时，新的理论越简单、直观，也越便于细致的研究，虽然从代数方程组理论可以产生多种数系，但，从复数基础上自然成长起来的含有函数运算的越来越大的数系，看起来生命力可能更强大些。
   当然，这也只是一家之言，仅供参考。

starwhite

    昨天发现人教出版社论坛数学资源版块斑竹五龙打包压缩转载了这篇论文,但不注明论文出处及标明作者,经交涉,该论坛斑竹五龙已改正了错误.

数学小不点

     好像高等教育出版社，北京师范大学张禾瑞、郝鈵新老师的书--高等代数上第23页对数环和数域的介绍很明确：如果S是一个非空数集，对任意两个数a、b,a+b,a-b,ab,都在S中，则S是一个数环，若，a/b也在S中，则，S是一个数域，其中，并没有要求其它条件，因此，如果三元数代数运算中，一般地，四则运算的结果仍封闭，那么，称三元数形成一个数域，似乎也无不可，这有什么可奇怪的。

伐木道人

     需要指出的是，从数学史的角度来看，数系扩展时不仅要先找到她的代数形式、三角形式，要考虑所谓结合律、交换律，还要对乘积律作出合理的解释，即在复数范围内，两数乘积为零，两个数至少有一个为零。
    现在，在三维数空间情况又如何呢？对于P1=a+bi+cj,P2=x+yi+zj,其乘积为零的条件是：1.两个三元数至少一个为零或者，a=x=0,且by+cz=0,注意，后一个条件告诉我们，两个都不为零的三元数也可以乘积为零！不过，在复数范围内，上述条件也对，公式会变为by=0（此时c=z=0)且，a=x=0,由于a、b、c、x、y、z均为实数，当然a=x=0且b=0或x=0,又回到了至少两个数中一个为零上，一旦超过复数范围，就出现了新的耐人寻味的更合理的解释，原理论成为了新理论的特例，这正是数学这门学科的有趣之处，她总是将新的更完美的结构建在旧的结构之上，又代数方程有解的条件，a不为零（代数方程最高次项系数不为零），利用行列式理论，与复数范围内的条件也能获得统一的认识，D不为零又获得了有趣的新的理解，实际上有一通项公式，复平面上，D2=a0(a2+b2)=,a2+b2（因a0=1,数的零次幂当然为1），若等于零，只有a=b=0,即高次项系数为零，在三维数空间，D3=a(a2+b2)（a的一次幂得a),此式不为零，当然，仅要求a不为零即可，倒并不要求系数为零，三元数的首项为零即可。
    1861年，数学家魏尔斯曾证明了：有有限个基元素的实系数或复系数线性结合代数，如果要服从乘积定律和乘法交换律，就只有实数代数和复数代数。这并没有错，但魏尔斯乘积定律的提法是欠妥的，怎么能仅凭一个扁平平面上的结论，就立即定为定律呢？既然可以从三维数空间理论推导而出，似称为一个定理更为合适，和其它科学一样，数学总是要去研究新的数学现象，过早将平面上的东西武断的推理到空间中去，这是不够严谨的，很有商榷之处，当时并不知道，三元数也会有一个优美的三角形式，如果不步入三维数空间，就无法领略幂级数的收敛圆盘（象许多人猜测的那样）为什么在空间变成了一个球，看来，过分迷信所谓权威，而不去做有趣的尝试，这常常阻碍了我们数学水平的进步。
    你们的看法如何呢？

伐木道人

    偶然来到《数学中国》网站，竟然发现，原来搞数学还有所谓“官科、民科”之分。
    既然科学只讲真理，又哪来的“官、民”之争，只要你喜欢数学，就可以凭兴趣去研究，这是利国利民的好事，何况，许多研究者，既不要国家的经费，也不要单位的赞助，至于科学结论的正确与否，更谈不上需要所谓国内权威的认定，如果你的结论不错，权威的称赞不能使它更正确，如果结论不正确，权威的反对，亦不会使它更错误。
    更何况，在面对一个新课题时，大家基本在一个起跑线，所谓的权威并不真正内行。虽然，有时这些权威出于种种原因已担任着许多学术要职，其实，他们并不具备评判的能力。
    西方一个有名的科学家说过：正确的、新的科学理论并不是靠说服一些所谓的权威来获得社会的认可的，事情往往是，一个新的理论发表后一段时间，旧的权威慢慢都死掉了，广大的基层科学民众自然而然地接受了正确的理论。
    说服权威比向一般民众推广新理论更困难，这就象在一块白地里种庄稼容易，而在一块长满杂草的地里种庄稼则难。
    相对于新的农作物，旧权威的大脑已长满了杂草，除之难矣。
    所以，如果大家喜欢研究，就只管去努力做到最好，不必顾忌别人的意见。
    成熟了的课题，就果断拿去发表（最好拿到国外的有关杂志）。  
    我相信，如果一个国家判定一个数学定理的正确有否，没有所谓官家皇帝的圣旨裁定（获得所谓宫廷御用数学家的认可）正确就不予认可，这个国家的学术水平是很难提高的，更谈不上科学大国之梦了。
    当然，以上仅一家之言，欢迎大家指正！

数学小不点

    目前关于数系的传统理论是只承认复数、实数的合法地位，似乎不易再提出其他理论，数学界恐不易接受三元数、N元数等新的数系理论，虽然在逻辑上、几何上几乎找不出什么漏洞来。

数学小不点

     数学的研究有时很奇怪，一个数学真理在最初的状态和最终的状态都是非常简单的，但在分析的中途却纷繁复杂，几乎无法完全把握，由最初的一个点，到最终的一系列越来越趋于重合的椭球，一元n次方程在自变量从零到无穷大逐渐变化时，表现出非常不同的性质，十分耐人寻味，或许只有plato真正搞懂了什么是数学，“上帝创造了一切，却并未提供任何的设计图纸”，不同的工程师对上帝原始的图纸有着不同的见解，不同的数学家按照自己的猜测，建立了各种不同的数学。
    而真理却隐藏在迷雾中，不肯露面，她引导着人们一代又一代地去不懈探索。