在同样周长的平面图形中，圆的面积最大。

wangyangke

关于命题的胡思乱想和牵强附会
命题：如果所有周长相等的平面图形中存在面积最大的图形，则这个图形必定是圆。
1.平面图形与周长描绘.
在平面中任何一条闭合曲线,将且仅将平面分成两个区域:一个区域的面积为无穷大,一个区域的面积为有限大.周长可由不同长度的凹凸曲线段、直线段联结而成.对于面积为有限大的区域，称曲线或线的交点的凸端指向域内为凹, 凸端指向域外为凸，直线段为平. 现就面积为有限大的区域的面积、周长围绕命题------周长最短和面积最大------进行敷衍.
2.周长最短与面积最大之一.
在此封闭曲线上,凹相对于不凹于论题不利.因是封闭线,那末在凹的两端,必各有一由凹进入不凹的临界点;联此两点成一线段,擦除此两点间的曲线,则新的封闭域面积较前大而周长较前小,……此在思维中反复进行,可得一周长最短而面积最大的无凹封闭线、域.
3.形心及径线分域
按上述思维得出的无凹封闭线、域,其形心必在域内.现在形心划n条射线将周角分成足够大的n等分,每分夹角是（2∏/n）；每相紧临的两条射线及其所夹的无凹封闭线部分在n足够大的前提下其面积的主要部分是过形心的两射线与无凹封闭线的两交点组成的三角形面积,其面积的次要部分是两射线与无凹封闭线的两交点的联线与此两交点间的无凹封闭线所围面积.在n足够大时,次要部分是主要部分的高阶无穷小,可以忽略.
4.周长最短与面积最大之二
对于某紧临两射线与其间无凹封闭线所围面积近似以上述三角形面积表示,两径线边分别为.Ri,R(i+1),其中i=1~n.此三角形面积是
Si=0.5•.Ri•R(i+1)•sin（2∏/n）
对于确定的n, sin（2∏/n）是确定的.根据初等数学的不等式:a+b大于等于2乘以ab开平方,即a+b在a与的b大小接近或相等时有极小值, 而a与b的积ab在即a=b时有极大值.
再者, a=b时,既.Ri=R(i+1)，Si最大,同时两射线间无凹封闭线的长度也最短.联i=1~n而思维,要求所有的.Ri均等,形心是园心.如此，无凹封闭线、域周长最短与面积最大。
命题得证------牵强附会的证!
有请指批!

ywl

楼上前三项的证明，已将问题理解，分析得很深刻。但柯西不等式的应用要注意范围，特别是在曲线上.有限和无限上。

wangyangke

[这个贴子最后由wangyangke在 2007/08/26 05:24am 第 1 次编辑]

16楼或楼上,你好!
在16楼之1.-------同样周长的平面图形中，凸形的面积最大。---------不成立!
例如:有一长轴大大的大于短轴的椭员和另一与此椭园周长接近而其长轴短轴的长度也较为接近的椭圆,它们的面积有大悬殊,后者将远大于前者;将后者周边的一个小区域凹陷,又将何如?
你可以拿三个等长的封闭绳圈按上述摆三个椭园,可立见!
在楼上-----但柯西不等式的应用要注意范围，特别是在曲线上.有限和无限上。----一时还不明所言之究竟,是否就此主题或21楼进行些解说或纠错性演示!

ywl

[quote]下面引用由wangyangke在 2007/08/25 08:24pm 发表的内容：
16楼或楼上,你好!
在16楼之1.-------同样周长的平面图形中，凸形的面积最大。---------不成立!
例如:有一长轴大大的大于短轴的椭员和另一与此椭园周长接近而其长轴短轴的长度也较为接近的椭圆,它们的面积有大悬　...
[/quote
  假定有一凹形封闭曲线，把凹形的这一段曲线対称翻转成为凸形，周长没有改变，但面积显然增大了，所以，同样周长的平面图形中，凸形的面积最大。

wangyangke

24楼中的例子说明了:
1.同样周长的平面图形中，凸形的面积可以比凹形的面积大;且客观实事大多如此!
2.这类例子可随手沾来,多!
但是,23楼的一例说明:
同样周长的平面图形中，凸形的面积最大。---------不成立!
24楼在以偏概全------此归纳推理之忌!

ywl

同样周长的平面图形中，凸形的面积最大。---------不成立!
   请举出反例!

wangyangke

例如:
一长轴大大的大于短轴的椭员和另一与此椭园周长相等而其长轴短轴的长度却较为接近的椭圆,它们的面积有大悬殊,后者将远大于前者;将后者周边的一个相对较小的区域凹陷,又将何如?
你可以拿三个等长的封闭绳圈按上述摆三个椭园可立见!
显然,后者是凹,前者是凸.此即反例,前面已陈述了.

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/04/22 07:31pm 第 3 次编辑]

ywl 说：“同样周长的平面图形中，凸形的面积最大。”
可以理解为其中包含两个命题：
命题１  如果一个平面图形，它的面积大于等于其他任何一个同样周长的平面图形，那么它一定是凸图形。
命题２  如果一个平面图形，它是凸图形，那么它的面积一定大于等于其他任何一个同样周长的平面图形。
显然，“命题１”是成立的，“命题２”是不成立的。
wangyangke 所举的反例，就是说明“命题２”的不成立，这与“命题１”的成立并不矛盾。
由于“命题２”不成立，所以，说：“同样周长的平面图形中，凸形的面积最大。” 容易引起误解，是不妥当的。
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我说：“在同样周长的平面图形中，圆的面积最大。”
也可以理解为其中包含两个命题：
命题１  如果一个平面图形，它的面积大于等于其他任何一个同样周长的平面图形，那么它一定是圆。
命题２  如果一个平面图形，它是圆，那么它的面积一定大于等于其他任何一个同样周长的平面图形。
显然，这时“命题１”和“命题２”都是成立的。

ywl

“一长轴大大的大于短轴的椭员和另一与此椭园周长相等而其长轴短轴的长度却较为接近的椭圆,它们的面积有大悬殊,后者将远大于前者”，如何做到这一点？如何证明这一点？
  有关原命题（1.所有等周长的平面图形中，面积最大的那个图形一定是凸形。2.在所有等周长的简单闭曲线的集合中，面积最大的是圆）的证明请参看《奥林匹克数学教程》（裘宗沪主编，开明出版社，1999.01，P44）

ywl