用降幂法构造等幂和

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LBSALE[500]LBSALE[这个贴子最后由cwl在 2008/03/25 07:59pm 第 2 次编辑]

定理   若p1≡p2≡1  (mod 4)  则三次等幂和为
(N+a1*b2+a2*b1)+(N+a1*a2-b1*b2)+(N-a1*b2-a2*b1)+(N-a1*a2+b1*b)=(N+a1*b2-a2*b1)+(N+a1*a2+b1*b2)+(N-a1*b2+a2*b1)+(N-a1*a2-b1*b)
(N+a1*b2+a2*b1)^2+(N+a1*a2-b1*b2)^2+(N-a1*b2-a2*b1)^2+(N-a1*a2+b1*b)^2=(N+a1*b2-a2*b1)^2+(N+a1*a2+b1*b2)^2+(N-a1*b2+a2*b1)^2+(N-a1*a2-b1*b)^2
(N+a1*b2+a2*b1)^3+(N+a1*a2-b1*b2)^3+(N-a1*b2-a2*b1)^3+(N-a1*a2+b1*b)^3=(N+a1*b2-a2*b1)^3+(N+a1*a2+b1*b2)^3+(N-a1*b2+a2*b1)^3+(N-a1*a2-b1*b)^3
(其中p1=a1^2+b1^2,p2=a2^2+b2^2
证明   根据 p1≡p2≡1  (mod 4)  则有
      p1=a1^2+b1^2  p2=a2^2+b2^2
      p1*p2=(a1^2+b1^2)*(a2^2+b2^2)
           =(a1*b2+a2*b1)^2+(a1*a2-b1*b2)^2
           =(a1*b2-a2*b1)^2+(a1*a2+b1*b2)^2
      所以,令a(1,1)=N+(a1*b2+a2*b1)
             a(1,2)=N-(a1*b2+a2*b1)
             a(1,3)=N+(a1*a2-b1*b2)
             a(1,4)=N-(a1*a2-b1*b2)
             a(2,1)=N+(a1*b2-a2*b1)
             a(2,2)=N-(a1*b2-a2*b1)
             a(2,3)=N+(a1*a2+b1*b2)
             a(2,4)=N-(a1*a2+b1*b2)
    代入[a(1,1),a(1,2),a(1,3),a(1,4)]3=[a(2,1),a(2,2),a(2,3),a(2,4)]3
   得证

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[这个贴子最后由cwl在 2008/03/31 02:13pm 第 2 次编辑]

设   a1=1+x, a2=1-x , a3=y-k, a4=y+k, a5=2*(k-1)
    (其中k为非平方数的正整数
   x,y的值由下列方程式给出
   x^2-k*y^2=(2*k-1)^2-k^3
由贝尔方程  x^2-k*y^2=1
我们令x0,y0是x,y的解,则
      x+y*k^(1/2)=(2*k-1+k^(3/2))*(x0±y*k^(1/2))^m
    (其中m为整数)

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定理  设N=p1*p2*p3…pm
若p1≡p2≡p3≡…≡pm≡1   (mod 4)
则三次等幂和的构造有2^(m-1)种.

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证明 因为 p1≡p2≡p3≡…≡pm≡1   (mod 4)
    所以 令p1=(Cg(p1))^2+(Sg(p1))^2,p2=(Cg(p2))^2+(Sg(p2))^2,…,pm=(Cg(pm))^2+(Sg(pm))^2
则有   p1*p2*…*pm=(Cg(p1±p2±…±pm))^2+(Sg(p1±p2±…±pm))^2         
我们令a(1,1)=k+Cg(p1+p2+…+pm),a(1,2)=k-Cg(p1+p2+…+pm),a(1,3)=k+Sg(p1+p2+…+pm),a(1,4)=k-Sg(p1+p2+…+pm);
a(2,1)=k+Cg(p1-p2+…+pm),a(2,2)=k-Cg(p1-p2+…+pm),a(2,3)=k+Sg(p1-p2+…+pm),a(2,4)=k-Sg(p1-p2+…+pm);
……,……
a(2^(m-1),1)=k+Cg(p1-p2-…-pm),a(2^(m-1),2)=k-Cg(p1-p2-…-pm),a(2^(m-1),3)=k+Sg(p1-p2-…-pm),a(2^(m-1),4)=k-Sg(p1-p2-…-pm).
它的组合有2^(m-1)种.
(注其中Cg(p)叫勾函数,Sg(p)叫股函数)

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LBSALE[500]LBSALE[这个贴子最后由cwl在 2008/04/03 04:05pm 第 1 次编辑]

证明:  令a(1,1)=N+a1,a(1,2)=N+a2,a(1,3)=N+a3,a(1,4)=N+a4,a(1,5)=N+a5;
        a(2,1)=N-a1,a(2,2)=N-a2,a(2,3)=N-a3,a(2,4)=N-a4,a(2,5)=N-a5
       (其中N≥ai,i=1,2,3,4,5)
      代入四次五阶等幂和式子,并解得:
      a1+a2+a3+a4+a5=0
      a1^3+a2^3+a3^3+a4^3+a5^3=0
      令  a1=(1+x)/2,a2=(1-x),a3=(k+y)/2,a4=(k-y)/2,a5=-k-1代入上式解得:
        x^2+k*y^2=(1+2*k)^2+k^3
      (其中令k为负数且不为平方数的整数)
     则 x^2+k*y^2=(1+2*k)^2+k^3是一贝尔方程
     由贝尔方程  x^2+k*y^2=1
     我们令x0,y0是x,y的解,则
      x+y*k^(1/2)=(1+2*k+k^(3/2))*(x0±y*k^(1/2))^m
       (其中m为整数)

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四次五阶等幂和不可能出现三组不同数字等式

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贝尔方程  x^2+k*y^2=1
是一双曲线,在同一直角座标内只有两个相互对称的点
故不可能同时出现三组不同数字的等式

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