我怎样看“0”和“无穷小量”的关系

刘合亮

<<但是并不等于它们相等。>>是的；但在一定条件下舍去无限小，即把无限小视为0，发现与实际非常相符。这样就把这种方法接受下来了。

数学爱好者A

另外，楼上说：“实数也不能通过自身运算变成超实数吧？”我不明白是什么意思，也请详细说明一下。
a,b∈R，⊙为算术运算。c=a⊙b。那么有c∈R

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/08 03:17pm 第 1 次编辑]

楼上的意思我明白了，是说在实数中，算术运算是封闭的。实数与实数运算的结果，不会得到实数以外的超实数。
这当然没错，但是，这与实数域能不能扩充到超实数域，没有什么关系。
从实数域扩充到超实数域，并不是通过算术运算来扩充的，而是通过引入“无穷大量”“无穷小量”来扩充的。

申一言

[这个贴子最后由申一言在 2008/09/01 10:44am 第 1 次编辑]

敬请各位教授,学者,老师注意!
    在纯粹数学中0是点,没有"无穷小量",无穷大量"
    你们所谈及的r为无穷大的圆正好涉及此问题.
    单位圆以及其外切正方形有9个点,4个切点,4个顶点,1个圆心(点)!
如果圆心点O(0,0),则其他8点可确定!
   顶点,A(-X,Y),B(X,Y),C(X,-Y),D(-X,-Y)
   切点,a(0,Y),b(X,0),c(0,-Y),d(-X,0)
如果a+b+c+d=ε,ε是任意小的"实数",则正方形ABCD不可能为正方形了?
  因为a,b,c,d,ε是单位,■则AB,BC,CD,DA为带状,不是线了?!
   又因为所有的"数"(二次域单位)----代数数都在该无穷大正方形(即无穷大单位中)
因此无论r趋于无穷还是不趋于无穷,圆就是圆(圆弧不能成为直线)方就是方!
     否则就应了中国人的那句老话了----没有规矩不成方圆!
       U(S)=(2r)^2,r=1,2,3,,,
       U(V^3)=(2r)^3,r=1,2,3,,,
                                门外汉个人见解,仅供参考.
线  段A                                                     B
非线段A.....................................................B
      A-----------------------------------------------------B
      A*****************************************************B
      A■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ B

数学爱好者A

下面引用由luyuanhong在 2008/08/30 11:25pm 发表的内容：
在超实数中定义圆，只要把圆的定义中的“实数”都改为“超实数”就可以了。
凡是对实数成立的各种运算法则，如果把其中的“实数”都改为“超实数”，对超实数仍然成立。
如果你觉得上述说法不对，请举例详细说明 ...

当然重新定义圆的概念是没问题的！
不过这个圆和称为广义圆或超圆更合适些！

尚九天

    圆內单位长弓形之高, 可否为 0 ?

nmgnewsun

0和“无穷小量”的关系就相当于0和1的关系。
比如把1分成100份，最小单位为0.01，但是可以分为1000份，最小单位又是0.001。不论如何分，总有一个更小的量出现。无穷小量是建立在趋势上，只有更小，没有最小；数学中无穷小量和无穷大量都可以参与运算，有无穷小量和无穷大量参与的运算都是根据收敛和发散的趋势决定数值。而真正的0是确定的量，参与运算的结果也是确定的。
1/x和1/x平方，当x趋于无穷大时，都是无穷小量，但趋向0的收敛速度不一样。

数学爱好者A

下面引用由nmgnewsun在 2008/09/03 08:55am 发表的内容：
0和“无穷小量”的关系就相当于0和1的关系。
比如把1分成100份，最小单位为0.01，但是可以分为1000份，最小单位又是0.001。不论如何分，总有一个更小的量出现。无穷小量是建立在趋势上，只有更小，没有最小；数　...

在实数体系中是这样。
但将实数体系扩展后产生的新理论又不一样了。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/08 03:18pm 第 1 次编辑]

第27楼中 nmgnewsun 的观点，是现在常见的数学教科书中的观点，是正统数学中标准的微积分的看法。
在标准的微积分中，其实是不承认有“无穷大量”“无穷小量”存在的。
在标准的微积分中，有时也说到“无穷大量”“无穷小量”，但是，只是把它们作为一种“趋势”来看待：
如果一个量，它的绝对值可以不断增大，而且是“要多大就多大”，就说这个量“趋于 ∞” ，处在这种变化趋势中的量，
作为一种通俗的说法，有时就把它称为“无穷大量”；
如果一个量，它的绝对值可以不断减小，而且是“要多小就多小（但永远不等于0）”，就说这个量“趋于 0 ”，处在这种
变化趋势中的量，作为一种通俗的说法，有时就把它称为“无穷小量”。
标准微积分的这种说法，并不等于承认“无穷大量”“无穷小量”是一种“数”，只不过把它们看作是一种“趋势”而已。
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但是，正如楼上 数学爱好者A 所说：“将实数体系扩展后产生的新理论又不一样了。”
在上个世纪60年代初，数理逻辑学家罗宾逊（Robinson）建立了一套“非标准分析（Nonstandard Analysis）”的新理论。
在“非标准分析”中，不是把“无穷小量”“无穷大量”看作“趋势”，而是看作“数”（当然是不同于普通实数的“数”），
在实数域中引入了“无穷小量”“无穷大量”后，实数域扩充为“超实数（Surreal Numbers）”。
“超实数”可以像普通实数一样进行各种运算，服从同样的运算法则，使用起来非常方便，不会产生任何逻辑上的矛盾。

从标准微积分到“非标准分析”，从传统的理论到新理论，需要我们在思想上作一次大胆的“跳跃”：从不承认“无穷大量”
“无穷小量”是一种数，“跳跃”到承认“无穷大量”“无穷小量”是一种数（即“超实数”）。
愿意不愿意在思想上做这种“跳跃”，是各人的自由选择。“非标准分析”的新理论，与“标准微积分”的传统理论，是两种
可以任意选择的理论体系，两者都是讲得通的，从逻辑上看都是可以成立的，两者之间并不存在谁“推翻”了谁的问题。
如果有人不愿意做这种思想“跳跃”，还是要坚持传统的标准微积分的观点，当然可以，完全没有问题。
但是，我个人觉得，接受“非标准分析”观点，会带来很多方便，许多原来很难解释、解释不清的疑问（例如数学网上网友们
关于“无穷大”“无穷小”争论不休的问题），都可以得到很好的解释；在传统微积分教科书中，许多复杂难懂的推导证明，
都可以变得简单易懂。所以，我个人是很愿意在思想上做一次这样的“跳跃”的。

数学爱好者A

但要理解“非标准分析”的理论基础的难度同样很大！
尤其是对我们这种业余爱好者！