[推荐]三元数的几篇文章

数学爱好者A

在我看的那个链接中因为没有讲明零因子不能参加逆运算,所以我没有搞明白.现在完全明白了
在单元半群中零因子不存在逆元的证明：
设a≠0,b≠0 ab=0,e为单位元
假设存在a';为a逆元，
a';ab=a';0=0
a';ab=(a';a)b=eb=b
有b=0，与b≠0矛盾
故单元半群中零因子不存在逆元
由于零因子不存在逆元，故零因子也不满足消去律

数学小不点

   0没有逆元是对的，但，允许0作除数，也不会产生逻辑上的矛盾，无非要么得到所有的数，要么得不到任何数，是个空集，也能说的过去。
   当然，一开始，就不让0作除数，定义上显得更简单一些，一般中学教材都是这么说的。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
我理解，一个数除以一个数，得到唯一的一个数，得到不止的一个数，或得不到任何的数，这三种结果都是可以接受的，都符合数学的确定、明晰等的要求。有没有逆元并不要紧。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
只要运算的结果可以确定，运算关系才是重要的，没有逆元，或有不止一个逆元都是可以接受的。

数学小不点

    请看下面推导过程（与luyuanhong老师及simpley 的观点不同），供你参考！
    如果零因子参加除法又会如何？
    (1+i+j)(1+i-2j)=(1+i+j)(1-2i+j)中，simpley 的看法是两边想都除以一个零因子1+i+j，现在上面两式相等，0=0(甚至不必考虑结合律），除以零因子后两边仍然相等，不妨，分开来进行研究，左边实际变为是0/（1+i+j)设为p=x+yi+zj,乘过去得到方程组，解是x+y+z=0,显然，解是一个平面，有无穷多的解。右边的情况与左边相同，也是得到无穷多的解，相除后结果不是一个数，但两边仍能相等。
   不满足消去律是对的，但，零因子作除数仍然是可以运算的，解方程组就可以了。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
    所以，luyuanhong老师的理论本来就没有漏洞，也不必定义0与零因子不能作除数，只要严格按照定义运算就行，不必规定0和零因子不能参加逆运算,本无漏洞，谈何补之？有时，避而不谈，或侃侃而谈都是上策，像下围棋一样，可留些余味让读者去思索思索。不知，诸位以为如何？

luyuanhong

我觉得楼上数学小不点的看法很有道理，如果我们只是简单地说：“0 和零因子不能做除数”，未免太粗糙了。
其实，对于用 0 和零因子做除数的除法运算，是可以仔细分析研究的。
在我介绍的那种“满足交换律和结合律的三元数”中，三元数其实可以分为 4 类：
（1） 0  ； （2）满足 a+b+c=0 的零因子；  （3）满足 a=b=c 的零因子； （4）非 0 非零因子的普通三元数。
在除法中，如果用这 4 类数分别做被除数和除数，共有 4×4=16 种情况。
在这 16 种情况下，除法的结果有没有解？是只有唯一解，还是有无数解？解属于哪一类三元数？
这些，如果仔细研究起来，我想应该是很有趣的，也是很有意思的，欢迎大家一起来研究。

simpley

[这个贴子最后由simpley在 2008/09/18 03:08am 第 3 次编辑]

设0可以做除数.0/0=X,则0=X0
因为X=1时等式成立,所以1为单元.
0/0=1(这也符合陆教授的除法定义)
因为系统满足结合律,所以逆元惟一(即/0)
0Y=0
所以Y值惟一.矛盾.
所以,要让0可以做除数,系统必须不能满足结合律.
实际上,任何一种理论,只要你把和这个理论有矛盾的因素删除后,它都是成立的.
陆教授系统要求满足结合律,我们讨论问题是在陆教授的定义(规则)范围内讨论的,你把规则改了,讨论就没有意义.因为前提不确定是没法讨论的.

数学爱好者A

在代数理论里，a和b做除法运算，就是a和b的逆元做乘法运算。因此“0 和零因子不能做除数”的结论应该没问题。

simpley

在系统不满足结合律的情况下,0 和零因子做除数可以成立,运算结果可得到多个值.

数学小不点

这次你对了，确实是由于结合律的问题，尚需进一步明确之。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
   不过，即使在实数范围内讨论0作除数的问题，也不会产生矛盾，而实数集显然是满足结合律的，所以，结合律有一定关系，但仍不是主要问题，主要问题在于非零的数除以零，得到的不是一个数，像一般的除法一样，而是得到无穷多的数，这才是主要问题，0更为特殊一些，所以，国内一般的教材才回避这个问题。不过，其实，这并不难解决，luyuanhong老师应该已经搞明白了，数A却还没有。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
1/0与0/0的两种结果，或者无解，或者不止一个解。

数学爱好者A

那么怎么定义除运算?

luyuanhong

我在《一种满足交换律和结合律的三元数》中介绍了一种三元数，并给出了它的 9 条性质：
    性质1  这种三元数对于加法和乘法都是封闭的。
    性质2  这种三元数，加法和乘法都满足交换律。
    性质3  这种三元数，加法和乘法都满足结合律。
    性质4  这种三元数，乘法对于加法满足分配律。
    性质5  这种三元数中，存在加法不变元，即零元 0 。
    性质6  这种三元数中，存在加法的逆运算，即减法。
    性质7  这种三元数中，存在乘法不变元，即单位元 1 。
    性质8  这种三元数中，存在乘法的逆运算，即除法。
    性质9  这种三元数中存在零因子，即有 x≠0 ，y≠0 ，使得  xy＝0 。
           一个不等于 0 的三元数 x=a+bi+cj（其中 a,b,c 不全为0）是一个零因子的充分必要条件为：
           或者有（1）a+b+c=0  或者有 （2）a=b=c 。

注意：在这些性质中，我完全没有提到“乘法逆元”，我从来没有说过“任何一个三元数都存在唯一的乘法逆元。”
事实上，也不可能做到这一点，0 和零因子，显然都不存在唯一的乘法逆元。
我在性质8中，说“这种三元数中，存在乘法的逆运算，即除法”，只是表明，在三元数中，可以定义乘法的逆运算——除法，
但是，这并不意味着“对任何两个三元数，都可以做除法运算，而且运算的结果唯一”。
　　“在三元数除法运算中，0 和零因子能不能做除数？” 我觉得，这是一个可以讨论的问题。
如果简单地规定“0 和零因子不能做除数”，这当然不会有错，与前面介绍的 9 条性质都不会产生矛盾，还可以补充一条性质：
    “除了 0 和零因子以外，任何一个三元数都存在唯一的乘法逆元。”
但是，如果像数学小不点所建议的那样，不是简单地规定“0 和零因子不能做除数”，而是仔细地考虑 0 和零因子作除数时，
会发生什么事情，只是把除法看作乘法的逆运算，不要求除法运算的结果唯一，也不要求乘法逆元唯一，我觉得也是可以的，
这样做，与前面介绍的 9 条性质同样也不会产生矛盾。
如果我们采用上述建议，把 0 和零因子做除数的各种情况，也列入我们的考察研究范围，就会发现很多有趣的规律，比如说：
    0 除以一个满足 a+b+c=0 的零因子，会得到什么样的数？
    0 除以一个满足 a=b=c 的零因子，会得到什么样的数？
    一个满足 a+b+c=0 的零因子，除以一个满足 a+b+c=0 的零因子，会得到什么样的数？
  
    一个满足 a=b=c 的零因子，除以一个满足 a=b=c 的零因子，会得到什么样的数？等等。
欢迎大家一起来探讨研究这些问题。