[闲谈] 数轴上相邻两点无间隙

顽石

大傻8888888先生：
    我曾经说过对“点、线、面、体。”的简单理解：
    点、线、面、体。
    （1）点，什么也没有，这是人为的需要指定一个位置，而不是放上一把椅子，说这把有体积的椅子就是这个点。如果一定要与空间相联系，那么，点，就是0维空间，或者叫0空间。0空间，就是没有空间。
    （2）线，一维空间。有长度，但是，没有宽度，也没有厚度。不要以为它象一条绳子。
    （3）面，二维空间。有长度和宽度，没有厚度，不能设想它象纸或者布那样。
    （4）体，三维空间。有长、宽、高。可以想象我们现实生活中的任何实物。
      “首先我认为数学上的点是一个既没有长度，也没有宽度和高度，数值为无限小，但是又大于0。所以点是实的，不是虚的。如果点等于0，就会出现你我都认同的两条直线交于一点变成四条射线的明显错误。另外如果点等于0，那么线只有长度，线的宽度也应该等于0，这样线也就和点一样成了虚的。同样面的厚度等于0，面也成了虚的。甚至体因为存在的时间等于0，体也是虚的。线如果是虚的，您的线是由缝隙组成也就不成立了。再说您一直强调缝隙就是小的线段，线段组成线和说房子组成房子一样犯了循环证明的逻辑错误。    关于点组成线是怎么来的，我想可能是因为从线组成面，面组成体反推过来点就应该组成线。同时在实际上我们在纸上画一条直线也是从点开始的。再干脆一点说把直线是由点组成当成公理，只要从这个公理出发，建立一个没有矛盾的体系就行。我认为现在的数学体系就是如此。当然如果您想从另一个公理出发新建一套体系，那又另当别论。”
    你的上述说法与我说法正好全部相反。现在我只能说主要几点：
    （1）若点不能构成线，被确认，那么，线不能构成面；面不能构成体，也都成立。
    （2）点没有大小，点不能被分割，是现有理论共识。如果认为点的体积是大于0的没有比它更小的无穷小体积，就会产生：这个点的体积是多少呢？无穷小体积形状是什么？如果回答是无穷小球体，又因为现有理论不承认有缝隙，紧密相连的小球体与小球体中间有切点，切点是不是小球体呢？如果不是，那是什么呢？…等一连串问题都全部不能回答清楚。
    （3）有限多个小线段组成更长的线段，是简单相加。无穷多个小线段组成无穷长的直线。或者反过来说，都没有逻辑上的问题。现有的数学理论和实际的数学运算都是如此。
    （4）1 = 1 × 1
         1 = 1/2×2
         1 = 1/3×3
         1 = 1/4×4
         1 = 1/5×5
          ………
         1 = 1/（n - 1）×（n - 1）
         1 = 1/n × n
     n为任何非0的实数，n直至无穷大。如果0至1的线段长度为1，那么，1/n 就是间隙长度，1/n越小，n越大。如果无穷小间隙1/n = 0，那么，1 = 1/n × n 这个等式不能维持。在这里，分割为n 等份的点，完全没有它的地位。我们没有必要让没有长度的点来参与。例如：
         1 = 1/3×3的本来意义是以下等式：
         1 = 1/3 + 0 + 1/3 + 0 + 1/3
     上述等式右边的5个数字相加中的两个0代表分割三等份的两个没有长度的点，完全可以省略成为如下的等式：
         1 = 1/3 + 1/3  + 1/3
     进一步省略如上等式为如下等式：
         1 = 1/3 × 3
     上述本来就不值得解释的东西。但是严酷的事实是：竟然有99%的人都不懂得；或者是出于不明原因，或者出于不便公开说的原因，大家都假装都不知道！
     请申一言先生为我指点迷津。

大傻8888888

顽石先生：
    我认为线不论是由点组成或者还是点运动产生线，点都不可能等于0.而您认为点等于0，这是我们之间的根本分歧。我们谁也说服不了谁，我建议这个问题的讨论到此为止。咱们以前曾经在东陆论坛讨论过什么是唯一的n生素数，因为东陆论坛出问题中断了这个话题。来到数学中国这个论坛后我为这个问题发过一个帖子，现在大概在第八页或者第九页，但是一直到现在也没有人回复，我很想听听您的意见。望您不吝赐教。

申一言

[这个贴子最后由申一言在 2008/09/20 00:02am 第 1 次编辑]

顽石 :您好!
    我认为您对纯粹数学中的点,线,面,体理解的基本正确!
如果您把间隙,距离理解为构成正整数的单位就更正确了!
    鄙人通过对《中华单位论》的探讨,发现正整数不是自然数!
自然数n在纯粹数学中只代表点,位序,位数,位项,,,因此没有大小之分.
    而正整数则是由各种单位构成的.
1.基本单位:
1)√Pn,
2)D当Pn=n^2时√Pn=n,n=1,2,3,,,
它们都是单位线段,0-1,0-√2,0-1-2-3,,,,,
当然0--1≌0---------------------------------∞
但是0--1内的单位(线段)再短也不为0,因为单位本身无大小!
2.单位p 1^2=■----基本单位元,在1mm^2内也有无穷多单位元!
比如单位圆的圆周率都等于π,
其中最最根本的原因是在纯粹数学中,人们探讨的是构成几何图形的各个元素(构件)
之间的比列关系!
如:   
      C                  πR
   π=-----,   C=πR,  π=-------,这里R是单位,无论它是1纳米,还是1光年,都不影响π值.
      R                   R[br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 申一言 在 时添加 -=-=-=-=-
1纳米恐怕任何人用肉眼也看不见吧?但她也不是点,仍然是单位(线段长度)!
    而圆心⊙o才是点!
我们用圆规尖脚扎的圆心事实上不是点!
如果地球为小米粒大小,则该圆心比月亮还大!
      胡说一气,请谅解!
                      谢谢!

顽石

                         有趣的一一对应
     康托尔的一一对应法则，用于以下两个集合中的代表元素的点的数量比较。会产生极为奇妙的现象，发人深省。
     一.以正方形□左边的边长1至2，为一个等距长度单位，以正方形左下角的1为起点，向上无限延长，直至无穷大。
     二.正方形左下角1至右上角0的对角线为1至0斜线段，
     三.以正方形右下角A为起点，以A至1为水平放射线向左无限延伸。
     四.A至1为水平放射线以A为圆心，作顺时针旋转到正方形□右边A至0止。这样，通过放射线将1至0线段上的全部实数点与1至无穷大直线的全部实数点，无一例外地完成了康托尔的一一对应。人们无法说：两者点的数量不同。
     五.每条放射线的两个对应点，互为倒数。例如1至0线段上的0.999999，0.25，1/3，0.0000125，1/1523，10^-218799685，…等的点，分别对应直线上的1.000001，4，3，80000，1523…，10^218799685，…等的点。一个质子的半径仅仅是1.6×10^-13厘米，体积为1.7×10^-40立方厘米，10^-218799685如果也以立方厘米为单位，它微小的程度，无法想象！如果，整个可观察宇宙填满质子数量级别为一个计量单位，那么，10^218799685立方厘米的巨大体积，大大地超过了可观察宇宙体积的10^218799600倍！
     六.1至无穷大的整个直线，其实可看成为1至0线段，被奇特的无穷放大！越靠近左端，放大倍数越小；越靠近右端，放大倍数越大，在右极端处，极其微小的几乎消失的1段缝隙，可放大到接近无穷长的线段！
     朋友们：缝隙可以被忽略吗？能视而不见吗？

尚九天

先生差矣!
         ---- 数轴上相邻的两点若有“间隙”,则正实数不能连续矣!   

顽石

     1和0.99999999999…，是不是两个相邻的点？您怎么回答？
     对0.99999999999…，除非不承认它是一个小数！它是0.9，0.99，0.999，0.9999，0.99999，无穷数列。它们中的每个小数都和1相邻。而现行的数学理论认为它不是无穷序列，是一个小数。或者甚至认为不是两个相邻的点，而是同一个点！1 = 0.99999999999…。不承认1 - 0.99999999999… = 1/10^n，其中n趋向无穷大。等同于顽固地认为：1/10^n = 0
     （1）.当n趋向于无穷大时，1/10^n = 0，无缝隙。
     （2）.当n趋向于无穷大时，1/10^n ＞ 0，有缝隙。
     您只能选择其中的一个答案。

尚九天

下面引用由顽石在 2008/09/21 11:02am 发表的内容：
1和0.99999999999…，是不是两个相邻的点？您怎么回答？
     对0.99999999999…，除非不承认它是一个小数！它是0.9，0.99，0.999，0.9999，0.99999，无穷数列。它们中的每个小数都和1相邻。而现行的数学理论认　...

    当 n→∞时,  
                                 1/10^n > 0 ,
且是与 0 相邻的正实数, 没有间隙.
    当 n 非无穷大,而是有限数时,
                                ---- 才有间隙.

顽石

    当n趋向无穷大时，无穷小1/10^n至0这个微小线段，就是缝隙，无穷小已经被现有数学理论定义为“极限为0的变量”，“无穷小是大于0的非标准实数”（《二十世纪数学史话》P92、P93）”。因此，它永远是消灭不了的缝隙！无数伟大的数学家，都曾尝试很多次否定无穷小，“几乎销声匿迹”！结果是：“无穷小毕竟堂而皇之地重返数论坛，成为逻辑上站得住脚的数学中的一员，这是令人高兴的。从哲学上看，也自有它的意义。（《二十世纪数学史话》P93）”。这种企图时有发生，并且会持续很多年，最后总是无可奈何地结束。

尚九天

    当 0.99999999999…… 中,有无穷多个 9 的时候,
                1 > 0.99999999999……
1 与 0.99999999999…… 是两个相邻的正实数.两者之间没有间隙.

顽石

0.99999999999…… 是一个大于1的正实数吗？