本原勾股方程

蔡家雄

等差勾股方程新表述

设 p 的素因子均为 8k -1型 或 8k+1型，

且 a 与 p 互素，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。

若 p 有 t个 不同的素因子，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组 通项公式。

蔡家雄

等和勾股方程新表述

设 p 的素因子均为 8k -1型 或 8k+1型，

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= p ，

若 p 有 t个 不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

蔡家雄

由 \((y^2 - x^2)^2+(2xy)^2=(y^2+x^2)^2\) ,

设 \(x, y\) 为正整数，且 \(x < y\)，且 \(x与y\) 互素，

求 \(|y^2 - x^2 - 2xy| =2023\) 的 \(2^2\) 组 \(( x , y )\) 的通解公式，

即 两直角边相差 \(2023\) 的本原勾股方程 的通解公式。

\(x, y\) 是 \(A_{n}=\frac{(64 - 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 + 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(x, y\) 是 \(B_{n}=\frac{(88 - 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 + 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(x, y\) 是 \(C_{n}=\frac{(64 + 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 - 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(x, y\) 是 \(D_{n}=\frac{(88 + 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 - 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

蔡家雄

求解：毕氏方程
a^2+b^2 = c^4

(1)式 7^2+24^2=5^4
(2)式 119^2+120^2=13^4
(3)式 527^2+336^2=25^4
(4)式 1519^2+720^2=41^4
(5)式 3479^2+1320^2=61^4
(6)式 6887^2+2184^2=85^4

由我另类公式解：
a = (2k^2+2k -1)^2 -2,
b = 4k(k+1)(2k+1),
c = 2k^2+2k+1.

此时：(1)式   (2)式 是 a < b ，a为勾，b为股，
但  (3) (4) (5) (6)式 是 a > b ，b为勾，a为股，
即 a 可为勾，可为股，b 亦如是。


罗士琳勾股数本原解公式

设 奇数Q=m+n,（m,n 互质 且 m>n, m,n 均为正整数）

则 [Q*(m-n)]^2+(2mn)^2=[m^2+n^2]^2 有 E/2组的本原勾股数。

其中，E 就是著名的 Euler 函数。但，不是朱火华的公式。

蔡家雄

兔子数列中的勾股数

\(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181, ......\)

设兔子数列中的任意四个连续的兔子数：

\(第一个为a,第二个为b,第三个为c,第四个为d\),

则 \((ad)^2+(2bc)^2=(b^2+c^2)^2\)

兔子数的平方性质
\(f_n = [((1+√5)/2)^n - ((1 - √5)/2)^n] /√5
    = 1，1，2，3，5，8，13，21，......\)

\(f_{2n}, f_{2n+2}, f_{2n+4} 和 4*f_{2n+1}*f_{2n+2}*f_{2n+3}\),
在这四个数中，任意两个的乘积，再+1，是一个完全平方数。
1*3+1=2^2
1*8+1=3^2
1*120+1=11^2
3*8+1=5^2
3*120+1=19^2
8*120+1=31^2

蔡家雄

本原勾股数新公式

设 \(n\)为正整数，\(k\)为非负整数，

设 \(a= 2^{k+1}*(2^k+2n -1)\)
    \(b= ((2n+2^k -1))^2 -2^{2k}\)
    \(c= ((2n+2^k -1))^2 -2^{2k}+2^{2k+1}\)

则 \(a^2+b^2 =c^2\)

当 \(k=0\) 时，有 \(a=4n,  b=4*n^2 -1,  c=4*n^2+1\).

当 \(k=1\) 时，有 \(a=8n+4,  b=(2n+1)^2 -4,  c=(2n+1)^2+4\).

当 \(n <=Floor[\frac{1 + 2^k\sqrt{2}}{2}]\) 时，\(a\) 是股，不是勾，


本原勾股数新公式

设 \((2k -1)\) 与 \((2n+1)\) 同奇且互素，

设 \(a= (2k -1)*(2n+1)\)
    \(b= 2*n^2+4kn -2n\)
    \(c= 2*n^2+4kn -2n+(2k -1)^2\)

则 \(a^2+b^2 =c^2\)

当 \(k=1\) 时，有 \(a=2n+1,  b=2*n^2+2n,  c=2*n^2+2n+1\).

设 \(A=b^2-a^2\), \(B=2ab\) ,

则 \((b^2-a^2)^2+(2ab)^2=A^2+B^2=C^4\) ,

例 \(a=7, b=24, c=25\), 则 \(A\)是股不是勾，\(B\)是勾不是股，

蔡家雄

鲁氏求一解法，不是大衍求一术

恒等式：\(2^n+2^n=2^{n+1}\)

恒等式：\(2^n+2^n+2^{n+1}=2^{n+2}\)

求：\(x^{n+1}+y^{n+1}=z^{n}\)

解：\((2^{n-1})^{n+1}+(2^{n-1})^{n+1}=(2^{n})^{n}\)

求：\(x^n+y^{n+1}=z^n\)

解：\((a^n-1)^n+(a^n-1)^{n+1}=(a*(a^n-1))^n\)，\(a > 1\) .

求：\(x^{n+1}+y^n=z^{n+1}\)

解：\((a^{n^2-1}-1)^{n+1}+(a^{n^2-1}-1)^n=(a*(a^{n^2-1}-1))^{n+1}\)，\(a > 1\) .

求：\(x^{2n}+y^{2n+1}=z^{2n+2}\)

解：\(((a^{2n+2}-1)^{2n+2})^{2n}+((a^{2n+2}-1)^{2n+1})^{2n+1}=(a*(a^{2n+2}-1)^{2n})^{2n+2}\)，\(a > 1\) .

求：\(x^{2n+1}+y^{2n+2}=z^{2n+3}\)

解：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

Treenewbee

\[\{x,y\}=\{2,5\},\{6,21\}\]

蔡家雄

求：\(x^{2021}+y^{2023}+z^{2025}+u^{2027}=w^{2029}\)

解：\((2^{3246769192275})^{2021}+(2^{3243559336425})^{2023}+(2^{3240355821031})^{2025}+(2^{3237158627325})^{2027}=(2^{3233967736613})^{2029}\)

蔡家雄

求：\(x^{20202021}+y^{20222023}+z^{20242025}+u^{20262027}=w^{20282029}\)

\(X=2^{51556092952812052708981532700}\)

\(Y=2^{51505097808990776930673642900}\)

\(Z=2^{51454203446081165193697360428}\)

\(U=2^{51403409565620512591358792100}\)

\(W=2^{51352715870323481831130002438}\)