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证明 a^2+b^2=2(a+b)X+X^2 (防止00000000删帖)立此为据!!
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若 a，b 为整数，并且 a^2 + b^2 = 2（a + b）x + x^2，则 x 和 x^2 均为无理数。
-------- M。克莱因。古今数学思想（1-4）。上海科技出版社，1979-1982。
说明： 请各位心平气和，有理有据地讨论问题（陆元鸿除外），到有人答出为止！<<<
证
由原式得:
X^2+2(a+b)X-(a^2+b^2)=0
由韦达定理知:
X1+X2=-2(a+b)---------(1)
X1X2=-(a^2+b^2)-------(2)
(2)式两边分别减2ab得:
X1X2-2ab=-(a^+2ab+b^2)=-(a+b)^2---------(3)
(1)式两边平方得:
(X1+X2)^2=4(a+b)^2-----------------------(4)
即 (a+b)^2=(X1+X2)^2/4-------------------(5)
把(5)式代入(3)式得:
(X1+X2)^2/4+X1X2-2ab=0
(X1+X2)^2+4X1X2-8ab=0,-------------各项乘以4
X1^2+2X1X2+X2^2+4X1X2-8ab=0
X1^2-2X1X2+X2^2+8X1X2-8ab=0
(X1-X2)^2=8ab+8(a^2+b^2)
X1-X2=2[2ab+2a^2+2b^2]^1/2--------------(6)
(1)+(6)
X1+X2+X1-X2=2(a+b)+2(2ab+2a^2+2b^2)
2X1=2(a+b)+2(2a^2+2b^2+2ab)^1/2
X1=a+b+[2a^2+2b^2+2ab)^1/2------------------(7)
(1)-(6)
2X2=2(a+b)-2(2a^2+2b^2+2ab)^1/2
X2=a+b-(2a^2+2b^2+2ab)^1/2--------------------(8)
因为 2(a^+ab+b^2) 不是完全平方数,
所以 X1,X2都是"无理数"
因此
X1^2,X2^2也都是"无理数".
证毕.
若 a，b 为整数，并且 a^2 + b^2 = 2（a + b）x + x^2，则 x 和 x^2 均为无理数。
⒈a^2 + b^2 = 2（a + b）x + x^2，令：ｘ＝ａ，则
⒉①＝＞b^2= 2a^2 ＋2a b＝＞【2a^2＝b^2－2a b】．
⒊②＝＞２＝b^2／a^2－2a b／a^2．若 a，b 为整数，㈠a＝b时，
⒋２≠１－２＝－１．若 a，b 为整数，㈡a＞b时与a＜b时，②ｘ＝ａ只能是无理数！故∶x 和 x^2 均为无理数。
上面推导中，“令：ｘ＝ａ”这一步就有问题：为什么一定要 ｘ＝ａ 呢？ ｘ≠ａ 难道就不可以吗？
回：过程中潜则 x 和 x^2 均为无理数。反设ｘ＝ａ为己知（ｘ＝ｂ时类同）应能看出．是我不详请凉解！但不知本解可否？网中解答已看过，那是正统之法，这是民法．谢谢您∶ luyuanhong ．好朋友！
那就是
X1=a+b+√2(a^2+ab+b^2)^1/2
X2=a+b-√2(a^2+ab+b^2)^1/2
因为该方程的根都含有"无理数"√2
所以 X1^2,X2^2也含有"无理数"√2.
因此 X,X^2都是:"无理数"
观问天念
木偶到処都存在·
杇木表现成住坏·
真言一句识未来·
自在快活大无边·2009/11/１３．
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IP卡
狗仔卡
发表于 2009-9-27 18:58
显身卡
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