也将此题存档

moranhuishou

下面引用由luyuanhong在 2009/09/25 06:11pm 发表的内容：
从楼上帖子可以看出，楼主还是能够认认真真、实事求是地考虑问题的，而不是胡搅蛮缠、死不认错的，这一点值得表扬！

首先谢谢先生。
关于先生的驳论的再回复：
刚才又想了想，我的19楼的回答犯了一个很低级的错误，就是把简单问题复杂化了——
其实问题很简单：您给出的这个反例方程不是重根方程，它有两个解
一个是-2，一个是-20.
400-360-40=0
而我的证明仅限同根方程。
所以确定，先生的驳论不能成立。你说是吗？

moranhuishou

下面引用由luyuanhong在 2009/09/25 09:28am 发表的内容：
  不知道你是根据什么逻辑来推导的？”

现在回过头来回答这个“逻辑”问题：
其实，这与一元二次方程的解式完全一致：
（喊吃饭了，一会再谈）

moranhuishou

按标准解法：如果一元二次方程有有理数重根，其充要条件就是
b^2-4ac=0
因为标准方程a=0,也就等同于
（b/2）^2=c
这与本证给出的条件完全一致。也就是说，其理论基础是统一的，仅仅是表述上有所不同而已。
而对这样的不同表述的理解，是对解决数学题目很有帮助的。

moranhuishou

上贴应更为：因为标准方程a=1,也就等同于 ...

luyuanhong

在这个问题中，根本没有“x 必须是重根”的要求，x 可以是方程的重根，也可以不是方程的重根。
如果你只是在“x 是重根”的条件下证明了 x 不可能是有理数，
没有在“x 不是重根”的条件下证明 x 不可能是有理数，
那么，你的证明还是不完整的。
其实，你自己在第1楼的证明中，也是分成“x 是重根”和“x 不是重根”两种情况来证明的。
你的证明发生错误的地方，恰恰就在“x 不是重根”的那一部分证明中。
所以，我举的反例，当然也是针对“x 不是重根”的那一部分来说的。

moranhuishou

下面引用由luyuanhong在 2009/09/25 10:45pm 发表的内容：
在这个问题中，根本没有“x 必须是重根”的要求，x 可以是方程的重根，也可以不是方程的重根。
如果你只是在“x 是重根”的条件下证明了 x 不可能是有理数，
没有在“x 不是重根”的条件下证明 x 不可能是有理数 ...

先生这样理解是错误的：
我是两种情况都证明了的，在证明“x 不是重根”时，是把两个根分作两步证明的，因为我的得到两个解式，将c=-(a^2+d^2)/d “代入”另一个解式（*）之后方程自然消除了根c而成了只剩下一个根d的方程了，然后再代回来消除了的，得出根c的解式。
请再认真审查。

moranhuishou

修改一下——
先生这样理解是错误的：
我是两种情况都证明了的，在证明“x 不是重根”时，是把x的两个根分作两步证明的，因为我们得到两个解式实际已将方程分开，将c=-(a^2+d^2)/d “代入”另一个解式（*）之后方程自然消除了根c而成了只剩下一个根d的方程了，这时，未知数变成了d,我们要证明的就是这个未知数d是不是有理数。然后再代回来消除了d，得出根c的解式,...
请再认真审查。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/26 08:05am 第 2 次编辑]

下面引用由moranhuishou在 2009/09/26 01:23am 发表的内容： 我是两种情况都证明了的，在证明“x 不是重根”时，是把两个根分作两步证明的，因为我的得到两个解式，将c=-(a^2+d^2)/d “代入”另一个解式（*）之后方程自然消除了根c而成了只剩下一个根d的方程了，然后再代回来消除了的，得出根c的解式。

你说：“将 c＝-(a^2+d^2)/d 代入另一个解式（*）之后方程自然消除了根 c 而成了只剩下一个根 d 的方程了” 这种说法，其实是一点道理也没有的。 为了让你明白这种说法是错误的，我做一个具体的数字代换： 令原方程中的 a＝1 , b＝2 。这时 2(a+b)＝2*(1+2)＝6 ， a^2+b^2＝1^2+2^2＝5 。 原方程变成 x^2+6x-5＝0 ，这个方程有两个不同的根 x1＝-3+√14 和 x2＝-3-√14 。 下面，左边是你原来的推导，右边是用数字代入后的推导，你看看会得到什么： 证明（第二种情况）如下： <====> 证明（第二种情况）如下： 整理方程得 <====> 整理方程得 x^2+2(a+b)x-(a^2+b^2)＝0 <====> x^2+6x-5＝0 方程若有二根，设 x1＝c , x2＝d . <====> 方程若有二根，设 x1＝c , x2＝d . 则方程可化为 <====> 则方程可化为 x^2-(c+d)x+cd＝0 <====> x^2-(c+d)x+cd＝0 c+d＝-2(a+b) (*) <====> c+d＝-6 (*) cd＝-(a^2+b^2) <====> cd＝-5 将 <====> 将 c＝-(a^2+b^2)/d <====> c＝-5/d 代入（*）,整理得 <====> 代入（*）,整理得 d^2+2(a+b)d-(a^2+b^2)＝0 <====> d^2+6d-5＝0 同样，因为 <====> 同样，因为 (a+b)^2<>a^2+b^2 <====> (1+2)^2<>1^2+2^2 所以 d 不可能为整数， <====> 所以 d 不可能为整数， 请看上面的推导，“将 c＝-(a^2+d^2)/d 代入另一个解式（*）” 之后，得到的是方程 d^2+6d-5＝0 ， 它仍然是一个有两个不同根 d＝-3±√14 的方程，怎么会变成“只剩下一个根 d 的方程了”呢？

moranhuishou

刚打开电脑,先大致回复如下——
先生犯了一个原则错误：
本证明实际上是证明这个方程是不是有理方程，因为用的是反证，所以设定的是方程的根是有理数，由此推出方程不成立。
而先生设定的根就是一个无理数底，中间的推导也完全是按设定的无理数根给出的，那怎么会得出正确的结果呢？